八年级上数学课外辅导讲座-新人教版.doc

第一讲 三角形
一、教学目标
1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.
2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .
4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
二、例子
【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________　；当周长为奇数时，x＝______________.

【变式题组】
1．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.
2．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.
3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是(　　　).
A．1 B．2 C．3 D．4

【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.

【变式题组】
1．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是(　　　)
A．24cmB．30cmC．24cm或30cmD．18cm
2．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是(　　　)
A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm
3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.

【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.

【变式题组】
1．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.

2．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.
3．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.

【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝______________.

【变式题组】
1．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝______________.

2．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.

3．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F ＝______________.

【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝ ______________.

【变式题组】
1．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.

3．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.

【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.

【变式题组】
1.（改）如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，则∠BFE＝__________.

2．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不重合) ，过点F作EF⊥BC交于点E，下列结论:①∠P+∠DEF为定值，②∠P－∠DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.

*【例７】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70°，则旋转角α＝______________.

【变式题组】
1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的直角α＝______________.

2．如图，在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′，若点A′在AB上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB＝90°，∠B＝30°)

3．如图，△ABE和△ACD是△ABC沿着AB边，AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝130°，则∠α＝______________.

三、练习
1．如图，图中三角形的个数为(　　　)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(　　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不确定
3．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是(　　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列语句中，正确的是(　　　)
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和
C．三角形的外角中，至少有两个钝角
D．三角形的外角中，至少有一个钝角
5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(　　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是(　　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
7．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________.
8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.
9．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠B与∠C的三等分线，分别交于点D、E，则∠BDC的度数是______________.

10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.
11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________.
12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝______________.
13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝∠BAC，求∠BAC的度数

培优升级·奥赛检测
1．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A+∠B，则△ABC是(　　　)
A．锐角三角形 　　　　　　　　B．钝角三角形
C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形
B． C．
2．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有(　　　)
A．21个 B．28个 C．49个 D．54个
3．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，则∠BOC＝______________.
4．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________.
5．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠C＝38°，则∠P＝ ______________.

6．如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为(0，a)和(9，a).点E在AB上 ，且AE＝AB．点F在OC上 ，且OF＝OC，点G在OA上，且使△GEC的面积为16，试求α的值.

7．如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB＝180°，两组对边延长后分别交于P、Q两点，∠P、∠Q的平分线交于M，求证PM⊥QM.

第二讲 全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；
2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ）
B
A
C
D
E
F
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对

【变式题组】
1．（武汉2011）下列判断中错误的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等

A
F
C
E
D
B
2．（黄冈）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.

3．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.
⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；
A
B
C
D
O
F
E
⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.

A
C
E
F
B
D
【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE.

【变式题组】
1．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
A
E
第1题图
A
B
C
D
E
B
C
D
O
第2题图

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.
\
3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC.
A
F
E
C
B
D

【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.
B（E）
O
C
F
图③
F
A
B
C
D
E
F
A
B(E)
C
D
D
A
图②
图①

【变式题组】
1．（绍兴2013）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（ ）
A．42°B．48°C．52°D．58°
2．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ）
A．△ABC≌△DEFB．∠DEF＝90°
C． AC＝DF D．EC＝CF
E
F
B
A
B
P
D
E
C
第1题图
A
C
D
G
第2题图

3．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证：AB⊥ED；
⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.
B
F
A
C
E
N
M
P
D
D
A
C
B
F
E

【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ
2
1
A
B
C
P
Q
E
F
D

【变式题组】
A
B
C
D
F
E
1．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.

2．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）
A．B．C．bmD．am
A
E
C
B
A
75°
C
45°
B
N
M
第2题图
第3题图
D

3． 如图，已知五边形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________

演练巩固·反馈提高
1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
第3题图
第1题图
C
A
O
D
B
P
第2题图
A
C
A/
B
B/
a
α
c
c
a
50°
b
72°
58°

2．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，则∠ACA/的度数是（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
3．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
4．（武汉2012）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A. CB＝CDB.∠BAC＝∠DAC
C. ∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°
E
2
1
N
A
B
D
C
第5题图
A
B
C
D
E
A
B
C
D
第4题图
第6题图
M

5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）
A. △ABE≌△CBDB. ∠ABE＝∠CBD
C. ∠ABC＝∠EBD＝45°D. AC∥BE
6．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（ ）
A. 小华、小明都对B. 小华、小明都不对
C. 小华对、小明不对D.小华不对、小明对
7．如图，已知AC＝EC, BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.
8．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______
第10题图
A
B
C
D
E
第9题图
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
O
C
A
E
B
D
第7题图
第8题图

10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____.
11．如图, AB＝CD, AB∥CD. BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.
D
A
C
.
Q
P
.
B

D
B
A
C
E
F
12．如图, △ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
⑴求证：AE＝CD；
⑵若AC＝12cm, 求BD的长.

A
E
B
F
D
C
13．（吉林）如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.

14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.
B
D
E
C
l
A
⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；
⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）

15．如图，AC⊥BC, AD⊥BD, AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.
A
E
F
B
D
C

培优升级·奥赛检测
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
F
第6题图
2
1
A
B
C
E
N
M
3
2
1
A
D
E
B
C
F
A
D
E
C
O
A
E
O
B
F
C
D
第1题图
B
第2题图
第3题图

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③连接DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
3．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（）
A．DCB. BCC. ABD.AE＋AC
4．下面有四个命题，其中真命题是（ ）
A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等
B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
5．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.
6．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C, AE＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号）
7．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.
⑴求证：BE⊥AC；
A
E
F
C
D
B
⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.

8． 如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.
求证：AC＝2AE.
A
B
E
D
C

9．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90°, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°.
A
E
B
D
C

A
D
E
G
C
H
B
10．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE.

第三讲 角平分线的性质与判定
考点·方法·破译
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典·考题·赏析
【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PN

【变式题组】
1．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.

2．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PN

【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度数

【变式题组】
1．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求

2．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.

【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD

【变式题组】
1．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.

2．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.
⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；
⑵求证：AE＋CD＝AC.

演练巩固·反馈提高
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（ ）
A．mnB．mnC． mnD．2 mn
2．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（ ）个
A． 1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ）
A． ①③B．②③C．①②D．①②③

4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是（ ）
A．②③B．②④C．②③④D．①②③④
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB的度数为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
6．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
7．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上
C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90°D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P

8．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_________
11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF

12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.

培优升级·奥赛检测
1．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）
A．一处B．二处C．三处D．四处
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（ ）
A．18B．16C．14D．12
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________

4．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________
5．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________
6．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝(∠ACB－∠B)

7．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC

8．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP

第四讲 轴对称及轴对称变换
考点·方法·破译
1．轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2．线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.
经典·考题·赏析
【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）

【变式题组】
1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）

2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）

【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（0，－1） B．（1，1） C．（2，－1） D．（1，－1）

【变式题组】
1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ）
A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3
2．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.
3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.
【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（ ）
A．30°B．20°C．15°D．10°

【变式题组】
1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（ ）
A．70°B．65°C．50°D．25°
2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.

【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．

【变式题组】
1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．

2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．
3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．
4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．

【例5】（荆州）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．

【变式题组】
1．如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．
2．如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
⑵涂黑部分成轴对称图形。
如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）

【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？

【变式题组】
1．（山西）设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）

2．若点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．

演练巩固·反馈提高
1．（黄冈）如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（ ）．
A．48°B．54°C．74°D．78°

2．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（ ）
A．80°B．85°C．95°D．110°

4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，－3），N（－1，－3） B．M（－1，－3），N（－1，3）
C．M（－1，－3），N（1，－3） D．M（－1，3），N（1，－3）
5．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（ ）
A．（3，－5） B．（－5，3） C．（3，5） D．（5，3）
06．已知M（1－a，2a＋2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－1
7．如图，镜子中号码的实际号码是___________．
8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2.
9．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a