高考题汇编立体几何.doc

2010年高考数学试题分类汇编——立体几何
（2010浙江理数）（6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
（A）若，，则 （B）若，，则
（C）若，，则 （D）若，，则
解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题
（2010全国卷2理数）（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个
【答案】D
【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.
（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（A）1 （B） （C）2 （D）3
【答案】C
【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.
【解析】设底面边长为a，则高所以体积，
设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.
（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]
（A）2 （B）1
（C） （D）
解析：本题考查立体图形三视图及体积公式
如图，该立体图形为直三棱柱
所以其体积为
（2010辽宁文数）（11）已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于
（A）4 （B）3 （C）2 （D）
解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为
（2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是
(A)（0,） (B)（1,）
(C) (,） (D) （0,）
【答案】A
【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。
【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有<2+，即，即有a<

(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;
综上分析可知a∈（0,）
（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个
【解析】D：本题考查了空间想象能力
∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，
（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为
（A） (B)
(C) (D)
【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
A
B
C
S
E
F
过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴
（2010江西理数）10.过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D
【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。
（2010安徽文数）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是
（A）372 （B）360
（C）292 （D）280
9.B
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
.
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
（2010重庆文数）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
（A）只有1个 （B）恰有3个
（C）恰有4个 （D）有无穷多个

解析：放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、
HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，
所以排除A、B、C，选D
亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等
（2010浙江文数）
（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是
（A）cm3 （B）cm3
（C）cm3 （D）cm3
解析：选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题
（2010山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
答案：D
（2010北京文数）（8）如图，正方体的棱长2，
动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点
P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，
则三棱锥P-EFQ的体积：
（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；
（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；
答案：C
（2010北京理数）(8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关
　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关
　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关
　　　（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
答案：D
（2010北京理数）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为

答案：C
（2010广东理数）6.如图1，△ ABC为三角形，// // ,  ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是

6．D．
（2010福建文数）3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )
A． B．2 C． D．6
【答案】D
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为，选D．
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
（2010全国卷1文数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
(A) (B) (C) (D)
12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故
（2010全国卷1文数）（9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为
（A） （B） （C） （D）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
【解析1】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,
则,.
所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.
【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，
（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱中，若，，则异面直线
与所成的角等于
(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°
6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.
【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线
与所成的角，又三角形为等边三角形，
（2010全国卷1理数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
(A) (B) (C) (D)

（2010全国卷1理数）（7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为
（A） （B） （C） （D）

（2010四川文数）（12）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是
（A） （B）
（C） （D）
解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝
cos∠BAC＝

连结OM，则△OAM为等腰三角形
AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD
而AC＝R,CD＝R
故MN：CD＝AN:AC
Þ MN＝，
连结OM、ON，有OM＝ON＝R
于是cos∠MON＝
所以M、N两点间的球面距离是
答案：A
（2010湖北文数）4.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；
③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.
A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④

（2010山东理数）(3)在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行
（D）垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。
【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。
（2010福建理数）

所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，
∥，所以平面，又平面， 故，所以选项B也正确，故选D。
【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。
2010年高考数学试题分类汇编——立体几何
（2010上海文数）6.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 96 。
解析：考查棱锥体积公式
（2010湖南文数）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= 4 cm

（2010浙江理数）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________.
解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题
（2010辽宁文数）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画
出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的
长为 .
解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，

所以最长的一条棱的长为

（2010江西理数）16.如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 。
【答案】
【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。
（2010北京文数）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是
，则的最小正周期为 ；
在其两个相邻零点间的图像与x轴
所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。
答案：4
（2010北京理数）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。
答案：4
（2010四川理数）（15）如图，二面角的大小是60°，线段.，
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D
连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
C
D
故∠ADC为二面角的平面角，为60°
又由已知，∠ABD＝30°
连结CB，则∠ABC为与平面所成的角
设AD＝2，则AC＝，CD＝1
AB＝＝4
∴sin∠ABC＝答案：
（2010天津文数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。
【答案】3
【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。
由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为
【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。
（2010天津理数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
【答案】
【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。
由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+ =
【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。
（2010湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.
【答案】4
【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.
（2010湖南理数）13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ．

【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.
（2010福建理数）
12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．

【答案】
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为，所以其表面积为。
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
2010年高考数学试题分类汇编——立体几何

（2010上海文数）20.（本大题满分14分）
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出
用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，
所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
(2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略．
（2010湖南文数）18.（本小题满分12分）
如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点
（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1

（2010浙江理数）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；

（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。
解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。
（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,
又因为平面平面.
如图建立空间直角坐标系A-xyz
则（2，2，），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）.
故=（-2，2，2），=（6，0，0）.
设=（x,y,z）为平面的一个法向量，
-2x+2y+2z=0
所以
6x=0.

取，则。
又平面的一个法向量，
故。
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设则，
因为翻折后，与重合，所以，
故， ，得，
经检验，此时点在线段上，
所以。
方法二：
（Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。
因为=及是的中点，
所以
又因为平面平面，
所以平面,
又平面,
故，
又因为、是、的中点，
易知∥，
所以，
于是面，
所以为二面角的平面角，
在中，=，=2，=
所以.
故二面角的余弦值为。
（Ⅱ）解：设,
因为翻折后，与重合，
所以，
而，

得，
经检验，此时点在线段上，
所以。

（2010全国卷2理数）（19）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．
（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．
【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.
【参考答案】
(19)解法一：
（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.
因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ………………3分
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.
又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°
设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=.
作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.
（2010陕西文数）18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；
(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.
解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD,∴EF∥AD,
又∵AD平面PAD,EF平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,
则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.
在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.
∴S△ABC=AB·BC=××2=,
∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.
（2010辽宁文数）（19）（本小题满分12分）
如图，棱柱的侧面是菱形，
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值.
解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以
又已知
所又平面A1BC1，又平面AB1C ，
所以平面平面A1BC1 .
（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，
因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.
即A1D：DC1=1.
（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分
（Ⅰ）,
因为，
所以CM⊥SN ……6分
（Ⅱ）,
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则 ……9分
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分
（2010全国卷2文数）（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小
【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。
（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。
（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。
（2010江西理数）20. （本小题满分12分）
如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。
（1） 求点A到平面MBC的距离；
（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，
OM⊥CD.又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：
OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得：。
（2）CE是平面与平面的交线.
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，
，
所以，所求二面角的正弦值是.
【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），
（1）设是平面MBC的法向量，则，
，由得；由得；取，则距离

（2），.
设平面ACM的法向量为，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量为，则
设所求二面角为，则.
【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎

（2010安徽文数）19.(本小题满分13分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;
（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.
【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得∥平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，平面；（3）证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.

【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.
（2010重庆文数）（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
如题（20）图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.

（2010浙江文数）（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。
（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。

（2010重庆理数）（19）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）
如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。
（I） 求直线AD与平面PBC的距离；
（II） 若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

（2010山东文数）（20）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是正方形，
平面，，、、分别为、、的中点，且.
（I）求证：平面平面；
（II）求三棱锥与四棱锥的体积
之比.

（2010北京文数）（17）（本小题共13分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC，AB=,CE=EF=1
（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;
证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1
所以四边形AGEF为平行四边形
所以AF∥EG
因为EG平面BDE,AF平面BDE,
所以AF∥平面BDE
（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
（2010北京文数）(18) （本小题共14分）
设定函数，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。
解：由 得
因为的两个根分别为1,4，所以 （*）
（Ⅰ）当时，又由（*）式得
解得
又因为曲线过原点，所以
故
（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。
由（*）式得。
又
解 得
即的取值范围
（2010北京理数）（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

证明：（I） 设AC与BD交与点G。
因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF//平面EG，
因为平面BDE，AF平面BDE，
所以AF//平面BDE.
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面
相互垂直，且CEAC，
所以CE平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.
则C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）.
所以，，.
所以,
所以,.
所以BDE.
(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.
设平面ABE的法向量,则，.
即
所以且
令则.
所以.
从而。
因为二面角为锐角，
所以二面角的大小为.

（2010四川理数）（18）（本小题满分12分）

已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.

本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK
因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点
所以AM
所以MO

由AA’⊥AK，得MO⊥AA’
因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’
所以AK⊥BD’
所以MO⊥BD’
又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线
（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’
过点N作NH⊥BC’于H，连结MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角
MN=1,NH=Bnsin45°=
在Rt△MNH中，tan∠MHN=

故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2
(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内
点O到平面MA’D’距离h＝
VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=
解法二：
以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)
(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点
所以M(1,0, ),O(,,)
,=(0,0,1),=(-1,-1,1)
=0, +0=0

所以OM⊥AA’,OM⊥BD’
又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分
(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)
=(0,-1,), ＝(－1,0,1)
即
取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=(2,1,2)

取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)
cos
由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角
故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分
(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝
设平面OBC的一个法向量为＝(x1,y1,z1)

＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)
即
取z1＝1,得y1＝1，从而＝(0,1,1)
点M到平面OBC的距离d＝

VM－OBC＝…………………………………………12分
（2010天津文数）（19）（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；