九年级数学圆单元知识点总结及习题练习教师版.doc

九年级数学《圆》知识点祥解及习题检测
一、圆的概念
集合形式的概念： 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
、点在圆内 点在圆内；
、点在圆上 点在圆上；
、点在圆外 点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
、直线与圆相离 无交点；
、直线与圆相切 有一个交点；
、直线与圆相交 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图） 无交点 ；
外切（图） 有一个交点 ；
相交（图） 有两个交点 ；
内切（图） 有一个交点 ；
内含（图） 无交点 ；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论：（）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共个定理，简称推定理：此定理中共个结论中，只要知道其中个即可推出其它个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意个条件推出其他个结论。
推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧

六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称推定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的个相等，则可以推出其它的个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圆周角定理
、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
、圆周角定理的推论：
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
推论：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴

九、切线的性质与判定定理
（）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
十一、圆幂定理
（）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
（）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（）公切线长：中，；
（）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算
（）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
、扇形：（）弧长公式：；
（）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
、圆柱：
（）圆柱侧面展开图

（）圆柱的体积：
（）圆锥侧面展开图
（）
（）圆锥的体积：

九年级数学第二十四章圆测试题（）
时间：分钟 分数：分
一、选择题（每小题分，共分）
图——
．若⊙所在平面内一点到⊙上的点的最大距离为，最小距离为则此圆的半径为（ ）
． ． ． 或 ． 或

．如图——，⊙的直径为，圆心到弦的距离的长为，则弦的长是（ ）
． ． ． ．
．已知点为△的外心，若∠°，则∠的度数为（ ）
．° ．° ．° ．°
．如图——，△内接于⊙，若∠°，则∠的度数为（ ）
．° ．° ．° ．°
图——
图——
图——
图——

．如图——，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子、在点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上，读得刻度个单位，个单位，则圆的直径为（ ）
．个单位 ．个单位
．个单位 ．个单位
．如图——，为⊙的直径，点在⊙上，若∠°，则∠等于（ ）
．° ．° ．° ．°
．如图——，为⊙外一点，、分别切⊙于、，切⊙于点，分别交、于点、，若，则△的周长为（ ）
． ． ． ．
．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为，母线长为，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ）
． ． ． ．
图——
图——
．如图——，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，大圆的弦经过点，且，，则两圆组成的圆环的面积是（ ）
．π ．π ．π ．π

．已知在△中，，，那么△的内切圆的半径为（ ）
． ． ． ．
．如图——，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依、、、、、、、、的顺序沿着圆周上的段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这段路径上不断爬行，直到行走π后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
．点 ．点 ．点 ．点

二、填空题（每小题分，共分）
．如图——，在⊙中，弦等于⊙的半径，⊥交⊙于点，则∠ 。
．如图——，、与⊙相切于点、，∠゜，为⊙上异于、的一个动点，则∠的度数为 。
图——
图——

图——

．已知⊙的半径为，点为⊙外一点，长为，那么以为圆心且与⊙相切的圆的半径为 。
．一个圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积是 。
．扇形的弧长为π，面积为π，则扇形的半径为 。
．如图——，半径为的圆形纸片，沿半径、裁成：两部分，用得到的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径分别为 。
．在△中，∠゜，，，以为圆心，为半径作圆与斜边相切，则的值为 。
．已知等腰△的三个顶点都在半径为的⊙上，如果底边的长为，那么边上的高为 。
．已知扇形的周长为，面积为，那么扇形的半径为 。
图——
．如图——，为半圆直径， 为圆心，为半圆上一点，是弧的中点，交弦于点。若，，则的长为 。

三、作图题（分）
．如图——，扇形的圆心角为°，半径为.
⑴请用尺规作出扇形的对称轴(不写做法,保留作图痕迹).
图——
⑵若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝),求圆锥的底面积.

四．解答题（小题分、小题分， 小题分，共分）
．如图——，、是⊙的两条弦，且，
求证：。
图——

图——
⌒
．如图——，已知⊙的半径为，点为半径的延长线上一点，射线切⊙于点，的长为，求线段的长。

．已知：△内接于⊙，过点作直线。
（）如图——，为直径，要使为⊙的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：
① ；② ；③ 。
（）如图——，是非直径的弦，∠∠，求证：是⊙的切线。

图—— 图——

第二十四章圆（）
一、选择题
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
二、填空题
．゜ ．゜或゜ ．或 ．π ．
． ． ． ．或 ．
三、作图题
．（）提示：作∠的角平分线，延长成为直线即可；
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
（）∵扇形的弧长为，∴底面的半径为，∴圆锥的底面积为。
⌒
．证明：∵，∴，∴，即，∴。
．解：设∠，∵的长为，∴，解得。
∵为⊙的切线，∴△为直角三角形，∴，∴。
．（）①⊥；②∠∠；③∠°。
（）连接并延长交⊙于点，连接，
则为⊙的直径，∴∠∠°。
∵∠与∠同对弧，∴∠∠，
又∵∠∠，∴∠∠，
∴∠∠°，
∴是⊙的切线。

九年级数学第二十四章圆测试题（）
时间：分钟 分数：分
一、选择题（每小题分，共分）
．已知⊙的半径为，为线段的中点，当时，点与⊙的位置关系是（ ）
．点在⊙内 ．点在⊙上
．点在⊙外 ．不能确定
．过⊙内一点的最长弦为 ，最短弦长为，则的长为（ ）
图——
． ． ． ．
．在△中，是内心，∠ °，则∠的度数为（ ）
．° ．° ．° ．°
．如图——，⊙的直径与的夹角为°，切线与的延长线交于点，若⊙的半径为，则的长为（ ）
． ． ． ．
．如图——，若等边△内接于等边△的内切圆，则的值为（ ）
图——

． ． ． ．

图——
．如图——，⊙与轴相切于原点，平行于轴的直线交圆于、两点，点在点的下方，若点的坐标是（，），则圆心的坐标是（ ）
．（，） ．（，） ．（，） ．（，）

．已知圆锥的侧面展开图的面积是π，母线长是，则圆锥的底面半径为（ ）
． ． ． ．

．如图——，⊙和⊙内切，它们的半径分别为和，过作⊙的切线，切点为，则的长是（ ）
图——
． ． ． ．

图——
．如图——，⊙的直径为，周长为，在⊙内的个圆心在上且依次相外切的等圆，且其中左、右两侧的等圆分别与⊙内切于、，若这个等圆的周长之和为，则和的大小关系是（ ）
．< ． ．> ．不能确定

．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是、、，则下列关系成立的是（ ）
． ．>> ．<< ．>>
⌒
⌒
二、填空题（每小题分，共分）
．如图——，是⊙的直径， ，∠°，则∠ 。
图——
图——
图——
图——
．如图——，是⊙的直径，⊥于点，，则 .
图——

．⌒
⌒
如图——，、分别是⊙ 的半径、上的点，⊥，⊥，，则与弧长的大小关系是 。
⌒
．如图——，、是⊙的 半径，是⊙上一点，若已知∠º ∠°,则∠ .
．（·江苏南通）如图——，正方形内接于⊙，点在 上，则∠ .
图——
图——
图——

图——

．（·山西）如图——，已知∠°，为边上一点，以为圆心，长为半径作⊙，若点在边上运动，则当 时，⊙与相切。
.如图——，在⊙中，弦，圆周角∠°，则⊙的直径等于 。
．如图——，、、是⊙上三点，当平分∠时，能得出结论： （任写一个）。
．如图——，在⊙中，直径与弦相交于点，若，，，则⊙的半径是 。
图——
．（·潍坊）如图——，正方形的边长为，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点，则图中阴影部分的面积是 。

三、作图题（分）
．如图——，已知在△⊙中，∠ °，请用圆规和直尺作⊙，使圆心在上，且与、两边都相切。（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）
图——

四、解答题（第、小题每题各分，第小题分，共分）
图——
．如图——，是⊙的弦（非直径），、是上的两点，并且。求证：。

．如图——，在⊙中，是直径，是弦，⊥。
图——
（）是优弧上一点（不与、重合），求证：∠∠；
（）点′在劣弧上（不与、重合）时，∠′与∠有什么数量关系？请证明你的结论。

五、综合题
．如图——，在平面直角坐标系中，⊙与轴相切，且点坐标为（，），直线过点（—，），与⊙相切于点，求直线的解析式。
图——

第二十四章圆（）
一、选择题
． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
二、填空题
．° ． ．相等 ．° ．° ． ． ． ． ．
三、作图题
．如图所示

四、解答题
．证法一：分别连接、。
∵，∴∠∠。又∵，∴△≌△，∴，

证法二：过点作⊥于，∴。∵，∴，∴△≌△，∴。
．（）证明：连接，∵是直径，⊥，∴∠∠。
又∵∠，∴∠∠。
（）∠′与∠的数量关系是：∠′∠°。
证明：∵∠∠′°，∠∠，∴∠′∠°。

五、综合题
第题
．解：如图所示，连接，∵直线为⊙的切线，∴⊥。
∵点坐标为（，），∴，即⊙的半径为，∴。
又∵点的坐标为（—，），∴，∴∠°。
作⊥于点，则∠∠°，

∴，
—，
.
，∴，∴点的坐标为（，）。
设直线的函数解析式为，则 解得，，
∴直线的函数解析式为.