东南大学物理实验报告-受迫振动.docx

物理实验报告

标题：受迫振动的研究实验
摘要：
振动是自然界中最常见的运动形式之一，由受迫振动引发的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理设计制作。它既有实用价值，也有破坏作用。本实验采用玻耳共振仪定量测定了阻尼振动的振幅比值，绘制了受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并分析了阻尼对振动的影响以及受迫振动的幅频特性和相频特性。另外，实验中利用了频闪法来测定动态的相位差。

目录
1引言 3
2.实验方法 3
2.1实验原理 3
2.1.1受迫振动 3
2.1.2共振 4
2.1.3阻尼系数δ的测量 5
2.2实验仪器 6
3实验内容、结果与讨论 7
3.1测定电磁阻尼为0情况下摆轮的振幅与振动周期的对应关系 7
3.2研究摆轮的阻尼振动 8
3.3测定摆轮受迫振动的幅频与相频特性曲线，并求阻尼系数δ 9
3.4比较不同阻尼的幅频与相频特性曲线 13
4.总结 15
5.参考文献 15

1引言
振动是自然界中最常见的运动形式之一，由受迫振动引发的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如为研究物质的微观结构，常采用核共振方法。但是共振现象也有极大的破坏性，减震和防震是工程技术和科学研究的一项重要任务。表征受迫振动性质的是受迫振动的振幅—频率特性和相位—频率特性（简称幅频和相频特性）。本实验采用玻耳共振仪定量测定了阻尼振动的振幅比值，绘制了受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并分析了阻尼对振动的影响以及受迫振动的幅频特性和相频特性。
2.实验方法
2.1实验原理
2.1.1受迫振动
本实验中采用的是玻耳共振仪，其构造如图1所示：

图一

铜质圆形摆轮系统作受迫振动时它受到三种力的作用：蜗卷弹簧B提供的弹性力矩-kθ,轴承、空气和电磁阻尼力矩-bdθdt,电动机偏心系统经卷簧的外夹持端提供的驱动力矩M=M0cosωt。
根据转动定理，有
Jd2θdt2=-kθ-bdθdt+M0cosωt （1）
式中，J为摆轮的转动惯量，M0为驱动力矩的幅值，ω为驱动力矩的角频率，令
ω02=kJ，2δ=bJ，m=M0J
则式（1）可写为
d2θdt2+2δdθdt+ω02θ=mcosωt (2)
式中δ为阻尼系数，ω0为摆轮系统的固有频率。在小阻尼(δ2-ω2)条件下，方程（2）的通解为：
θ=θae-δtcosω0t+a+θbcos(ωt+φ)
此解为两项之和，可见摆轮的受迫振动分为两个分运动。随着时间推移，阻尼振动项可以衰减到忽略不计。另一项表示与驱动力同频率且振幅为θb的振动。可见，虽然刚开始振动比较复杂，但是在不长的时间之后，受迫振动会到达一种稳定的状态，成为一种简谐振动，可以表示成：
θ=θbcosωt+φ (3)
振幅θb和初相位φ（φ为受迫振动的角位移与驱动力矩之间的相位差）既与振动系统的性质与阻尼情况有关，也与驱动力的频率ω和力矩的幅度M0有关，而与振动的初始条件无关（初始条件只是影响达到稳定状态所用的时间）。θb与φ由下述两项决定：
θb=m(ω02-ω2)2+4δ2ω2 （4）
φ=arctan-2δωω02-ω2 （5）
2.1.2共振
由极值条件∂θb∂ω=0可以得出，当驱动力的角频率为ω=ω02-2δ2时，受迫振动的振幅达到最大值，产生共振。共振时的共振的角频率ωr、振幅θr和相位差φr分别为：
ωr=ω02-2δ2
θr=m2δω02-δ2 （6）
φr=arctan⁡(-ω02-2δ2δ)
由上式可以看出，阻尼系数越小，共振的角频率ωr越接近于系统的固有频率ω0，共振振幅θr也越大，振动的角位移的相位滞后于驱动力矩的相位越接近于π/2。
图2和图3给出了不同阻尼系数δ的条件下受迫振动系统的振幅的频率相应（幅频特性）曲线和相位差的频率响应（相频特性）曲线。
图3
图2

2.1.3阻尼系数δ的测量
(1)由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系数δ
摆轮A如果只受到蜗卷弹簧B提供的弹性力矩-kθ，轴承、空气和电磁阻尼力矩-bdθdt，阻尼较小（δ2<ω02）时，振动系统作阻尼振动，对应的振动方程和方程的解为：
d2θdt2+2δdθdt+ω02θ=0
θ=θae-δtcosωat+a
ωa=ω02-δ2
由于阻尼振动的振幅随时间按指数律衰减，对相隔n个周期的两振幅之比取对数，则有：
lnθ0θn=lnθae-δtθae-δ(t+nT)=nδT
实际的测量之中，可以以此来算出δ值。其中，n为阻尼振动的周期数，θ0为计时开始时振动振幅，θn为的n次振动时振幅，T为阻尼振动时周期。
（2）由受迫振动系统的幅频特性曲线求阻尼系数δ（只适合于δ2≪ω02时的情况）
由幅频特性可以看出，弱阻尼δ2≪ω02情况下，共振峰附近ωω0≈1，ω+ω0≈2ω0，由（4）和（6）可得：
θbθr=2δω02-δ2(ω02-ω2)2+4δ2ω2≈δ(ω-ω0)2+δ2
当θb=θr2时，由上式可得：ω-ω0≈±δ。
在幅频特性曲线上可以直接读出θb=θr2 处对应的两个横坐标ω+ω0和ω-ω0，从而可得：
ω+-ω-=2δ （8）
2.2实验仪器
本实验使用的玻耳共振仪由共振仪和控制仪两部分组成，并用电缆互联。玻耳共振仪的示意图见前文图1。振动系统由铜质圆形摆轮A与弹簧B构成，弹簧的一端固定在机架支柱上，另一端与摆轮轴相联，在弹簧弹性力作用下，摆轮可绕轴自由往复振动。外激励是由转速十分稳定的可调电机的偏心轴通过连杆 和摆杆 加到振动系统上。当电机匀速转动时，可看作是一种简谐激励。若改变电机转速，就相当于改变激励的周期。电磁阻尼由阻尼线圈 产生，调节线圈电流可以改变电磁铁气隙中磁场，以达到改变阻尼力矩的作用。角度读数盘上方处也装有光电门，与控制电路相连接，可以用来测量强迫力矩的周期。
图4
共振仪部分的结构如图4所示。左边是振幅显示窗，显示三位数字的摆轮振幅；右边时间显示窗，显示5位数字振动周期，精度为10-3s。“摆轮、强迫力”和“周期选择”开关，分别用来测量摆轮强迫力矩的1次或者10次周期所需的时间。电机转速调节旋钮用来改变强迫力周期，它是通过精确改变电机转速来达到,其精度仅供参考。阻尼选择开关用来改变阻尼线圈直流电位的大小，。电机开关用来控制电机转动，当测量阻尼系数和摆轮固有频率与振幅关系时，电机开关处于断状态。
3实验内容、结果与讨论
3.1测定电磁阻尼为0情况下摆轮的振幅与振动周期的对应关系
实验数据如下：
振幅θ
周期T0/s
150
1.570
140
1.571
131
1.572
119
1.573
110
1.574
101
1.575
89
1.576
81
1.577
67
1.578
54
1.578
50
1.578
对这些数据进行做点画图，得到：
θ-T0的关系曲线
作图日期：2014.9.3
作者：岳晨涛
周期T0
振幅θ

发现振幅为54和50时数据偏离较大，去掉这两个点后经行线性拟合如下：
作图日期：2014.9.3
作者：岳晨涛
周期T0
振幅θ
θ-T0的线性拟合曲线

能够知道振幅和周期的关系式为：
T0=-9.80179*10-5*θ+1.58476

3.2研究摆轮的阻尼振动
测得数据如下：
振幅θ
160
146
134
123
113
104
95
87
79
72
周期T*10/s
15.745
15.745
15.745
15.745
15.745
15.745
15.745
15.745
15.745
15.745
根据公式：
lnθ0θn=lnθae-δtθae-δ(t+nT)=nδT

得： 15.745*δ=0.7985
所以： δ=0.05071
3.3测定摆轮受迫振动的幅频与相频特性曲线，并求阻尼系数δ
选择“阻尼1”时，实验数据：
摆轮振幅θ
振动周期*10/s
振动周期*1/s
相位差
原始周期T0
T0/T =ω0/ω
58
16.317
1.6317
23.0
1.5791
0.9677
67
16.217
1.6217
27.5
1.5782
0.9732
78
16.130
1.6130
33.0
1.5771
0.9778
97
16.010
1.6010
42.0
1.5753
0.9839
111
15.940
1.5940
49.0
1.5739
0.9874
126
15.870
1.5870
59.0
1.5724
0.9908
135
15.821
1.5821
65.5
1.5715
0.9933
147
15.709
1.5709
90.0
1.5704
0.9997
148
15.684
1.5684
97.0
1.5703
1.0012
144
15.655
1.5655
107.0
1.5706
1.0033
126
15.610
1.5610
121.0
1.5724
1.0073
124
15.592
1.5592
127.0
1.5726
1.0086
110
15.584
1.5584
132.0
1.5745
1.0103
78
15.446
1.5446
149.0
1.5771
1.0211
62
15.351
1.5351
156.0
1.5787
1.0284
53
15.264
1.5264
160.0
1.5796
1.0348
43
15.146
1.5146
163.5
1.5805
1.0435

做出这种情况下的幅频特性曲线，并进行拟合：
ω0ω
作图日期：2014.9.3
作者：岳晨涛
振幅θ
幅频特性曲线拟合图

拟合的具体参数：
Equation y=y0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((x-xc)/w)^2)
Adj. R-Square 0.98783
Value Standard Error
A y0 49.96898 2.72179
A xc 0.99923 3.49071E-4
A w 0.02667 0.00127
A A 3.16708 0.20432
A sigma 0.01334
A FWHM 0.03141
A Height 94.73532

能够得到拟合出的振幅θ与ω0ω的关系式为：
θ=49.9690+3.16710.02667π2e-2（ωω0-0.9992）20.02672
所以，拟合曲线的峰值为：θr=144.7189
则： θb=θr2=102.3317
用θb带入关系式中能够解出：ω+ω0=1.01374，ω-ω0=0.98466
用θb带入在3.1中得到的关系式，能够解出ω0=3.9900
就能够解出ω+=4.0448，ω-=3.9288
根据式（8）：ω+-ω-=2δ
能够得出阻尼系数：δ=0.05800

能够看出，用这种方法求得的阻尼系数δ与在3.2中求得的阻尼系数δ是基本吻合的，但是仍然存在一些误差。

做出这种情况下的相频特性曲线：
相位差
ω0ω
作图日期：2014.9.3
作者：岳晨涛
相频特性曲线图

选择“阻尼2”时，实验数据：
摆轮振幅θ
振动周期*10/s
振动周期*1/s
相位差
原始周期T0
T0/T =ω0/ω
58
16.313
1.6313
25
1.5791
0.9680
67
16.208
1.6208
30
1.5782
0.9737
84
16.079
1.6079
38
1.5765
0.9805
105
15.955
1.5955
50
1.5745
0.9868
125
15.839
1.5839
66
1.5725
0.9928
136
15.781
1.5781
75
1.5714
0.9958
137
15.742
1.5742
86
1.5713
0.9982
139
15.718
1.5718
90
1.5711
0.9996
138
15.701
1.5701
96
1.5712
1.0007
129
15.636
1.5636
115
1.5721
1.0054
96
15.536
1.5536
136
1.5754
1.0140
78
15.459
1.5459
146
1.5771
1.0202
65
15.381
1.5381
153
1.5784
1.0262
54
15.281
1.5281
157
1.5795
1.0336
47
15.202
1.5202
161
1.5802
1.0394
做出这种情况下的幅频特性曲线，并进行拟合：
作图日期：2014.9.3
作者：岳晨涛
ω0ω
振幅θ
幅频特性曲线拟合图

拟合的具体参数：
Equation y=y0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((x-xc)/w)^2)
Adj. R-Square 0.99539
Value Standard Error
A y0 49.95532 1.82357
A xc 0.99937 2.68947E-4
A w 0.02732 8.51631E-4
A A 2.9898 0.14043
A sigma 0.01366
A FWHM 0.03216
A Height 87.32559
能够得到拟合出的振幅θ与ω0ω的关系式为：
θ=49.9553+2.98980.02732π2e-2（ωω0-0.9994）20.027322
能计算出拟合曲线的峰值为：θr=137.2728
则： θb=θr2=97.0665
用θb带入关系式中能够解出：ω+ω0 与 ω-ω0
用计算“阻尼1”情况下的阻尼系数的方法，同样能够得到“阻尼2”情况下的阻尼系数为：
δ=0.06051。
能够看出“阻尼2”与“阻尼1”相比，阻尼系数有所增大
这种情况下的相频特性曲线如下：
相位差
ω0ω
作图日期：2014.9.3
作者：岳晨涛
相频特性曲线图

3.4比较不同阻尼的幅频与相频特性曲线
将“阻尼1”和“阻尼2”的幅频特性曲线拟合图画在同一坐标轴下：
振幅θ
作图日期：2014.9.3
作者：岳晨涛
ω0ω

比较之后能够发现，“阻尼1” 的幅频特性曲线拟合图和“阻尼2”的相比
峰值更高，即在共振点附近的振幅更大。另外，“阻尼1” 的幅频特性曲线拟合图在共振点两侧的振幅变化更大。但是，在远离共振点的区域内，两者的图像时基本重合的。

将“阻尼1”和“阻尼2”的相频特性曲线图画在同一坐标轴下：
作图日期：2014.9.3
作者：岳晨涛
ω0ω
相位差

比较后能够发现“阻尼1” 的相频特性曲线图在共振点附近变化较快，更加陡峭，而“阻尼2”更加的平缓。能够得到：阻尼越大，图像越平缓。

4.总结
本次实验的结果基本是合理的，但其中“阻尼1”阻尼下两种方法计算出的阻尼系数有较大的误差，现分析如下：
1. 幅频特性曲线的作图需要借助查阅“测定电磁阻尼为0情况下摆轮的振幅与振动周期的对应关系”这一项实验内容中的θ-T0的线性拟合曲线。但是在本次实验中的此项实验数据中明显有两个点和其他点不呈线性关系，有较大的偏离，故将这两个点去掉后进行了拟合。可能这样的拟合方式使得拟合结果不准确，对后面的幅频特性曲线的高斯拟合及阻尼系数的计算产生了较大的影响。
2. 可能在“测定摆轮受迫振动的幅频与相频特性曲线，并求阻尼系数δ”此项内容实验的数据测量操作中，因为操作的失误或者实验室中其他因素的影响导致所测数据欠准确。

而本次实验的其他内容方面，如不同阻尼的幅频和相频特性曲线比较等，及本都是符合客观事实的。

5.参考文献
[1]钱锋、潘人培，《大学物理实验（修订版）》，北京：高等教育出版社，2005年
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