学生书-§6-4-简单的三角恒等变换.docx

§6.4　简单的三角恒等变换
(对应答案分册第15~17页)

1.辅助角公式
asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ),其中cos φ=aa2+b2,sin φ=ba2+b2.
　　2.公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
(2)升幂公式
1+cos α=2cos2α2;1-cos α=2sin2α2.
(3)降幂公式
sin2α=1-cos2α2;cos2α=1+cos2α2.
(4)其他常用变形
sin 2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1;
cos 2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α;
1±sin α=sin α2±cos α22;
tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)当α是第一象限角时,sin α2=1-cosα2.(　　)
(2)对任意角α,tan2α2=1-cosα1+cosα都成立.(　　)
(3)半角的正、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(　　)
(4)辅助角公式asin x+bcos x=a2+b2·sin(x+φ),其中φ所在的象限由a,b的符号决定,φ与点(a,b)同象限.(　　)
【对接教材】
2.已知sin α=55,sin(α-β)=-1010,α,β均为锐角,则β=　　　　. 
3.已知cosπ2+α=2cos(π-α),则tanπ4+α=(　　).

A.3 B.-3 C.-13 D.13
【易错诊断】
4.函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1的图象的对称轴可能为直线(　　).
A.x=π8 B.x=π4
C.x=π2 D.x=-π4
5.若-2π<x<-3π2,则1-sinx+1+sinx的化简结果是(　　).
A.2cos x2 B.2sin x2
C.-2cos x2 D.-2sin x2

　三角函数式的化简与求值　【典例迁移】
　　(1)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(　　).

A.53 B.23 C.13 D.59
(2)化简:2cos4x-2cos2x+122tanπ4-xsin2π4+x=　　　. 
　　点拨　在三角变换中,要注意寻找式子中的角,函数式子的特点和联系,可以切化弦,约分或抵消,减少函数的种类,对式子进行化简.
　　【追踪训练1】在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,0),点B在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π).
(1)若点B的坐标为-45,35,求sin5π2-θ+sin(7π-θ)cos(-θ-2π)-cosθ+3π2的值;
(2)若(OA+OB)·OB=95,求sin2π3-2θ的值.

　三角恒等变换的应用　【考向变换】
　　考向1　给角求值
求值:1+cos20°2sin20°-sin 10°1tan5°-tan 5°.

　　点拨　给角求值中一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看求解是很难的,但仔细观察会发现非特殊角可以转化为特殊角来求,解题时要充分利用化归与转化思想进行合理转化.
【追踪训练2】计算:3tan12°-3sin12°(4cos212°-2)=　　　　. 
　　考向2　给值求值
已知cos θ+π4=55,θ∈0,π2,则sin 2θ-π4的值为(　　).

A.210 B.310 C.-210 D.59
　　点拨　解题步骤如下:(1)化简式子;(2)观察条件与待求式之间的联系(从三角函数名称及角入手);(3)将已知条件代入待求式,然后进行化简求值.
【追踪训练3】已知角α是锐角,若sinα-π6=13,则cosα-π3等于(　　).
A.26+16 B.3-28
C.3+28 D.23-16
　　考向3　给值求角
已知函数f(x)=m·n,向量m=(cos x+sin x,23sin x),n=(sin x-cos x,cos x),在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=1.
(1)求角A的大小;
(2)求fB-π12的取值范围.

　　点拨　通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有如下原则:(1)已知正切函数值,则选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,则选正、余弦函数.(3)若角的范围是0,π2,则选正、余弦较好;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围是-π2,π2,则选正弦较好.
【追踪训练4】在△ABC中,A,B,C为三个内角,f(B)=4cos B·sin2π4+B2+3cos 2B-2cos B.
(1)若f(B)=2,求角B;
(2)若f(B)-m>2恒成立,求实数m的取值范围.

　三角恒等变换的综合应用　【考向变换】
　　考向1　三角恒等变换与三角函数性质的结合
已知平面向量m=(3sin ωx,2sin ωx),n=(2cos ωx,sin ωx),ω>0,函数f(x)=m·n图象的两条相邻的对称轴之间的距离是π2.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)求函数f(x)在区间-π6,π4上的最值.

　　点拨　解题关键:(1)三角函数的性质问题往往都要转化成y=Asin(ωx+φ)的形式之后再求解,要注意在此步骤之前,如果函数解析式出现了α及其二倍角、半角的函数值的平方,应根据变换的难易程度去化简,往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式,把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式;(2)要正确理解三角函数的性质以及三角函数图象的特征.
【追踪训练5】已知函数f(x)=2sin ωx·cos ωx+23sin2ωx-3(ω>0),f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.
(1)求实数ω的值;
(2)将函数y=f(x)图象上的所有点向左平移π12个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x),x∈-π2,π6的最值以及相应x的值.

　　考向2　 三角恒等变换与向量的综合应用
已知向量m=sin x2,1,n=43cos x2,2cos x,设函数f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递增区间.

　　点拨　利用向量的有关运算公式,建立三角函数关系式,再用三角恒等变换公式化简求解.
【追踪训练6】设α∈0,π3,已知向量a=(6sin α,2),b=1,cos α-62,且a⊥b.
(1)求tanα+π6的值;

　　(2)求cos2α+7π12的值.

　三角函数恒等式的证明
　　三角恒等式的证明一般从较为复杂的一端导出较为简单的一端,当两端都较为复杂时,可以对两端进行变换,导出同一个中间结果,也可以采用作差等方法,使用的基本知识是三角恒等变换的相关公式.
求证:sin(α+β)sin(α-β)sin2αcos2β=1-tan2βtan2α.

　　常用技巧:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为弦;(3)多项式运算技巧的运用,如分解因式.

　【突破训练】求证:sin(2α+β)sinα-2cos(α+β)=sinβsinα.