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数学必修一知识点
第一章 集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合中元素的三个特性：
(1) 拟定性（2）互异性（3）无序性
3. 集合的表达：英语大写字母A,B,C…
4. 集合的表达方法：列举法与描述法。
u 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）N；正整数集 N*或 N+ ； 整数集Z ；
有理数集Q ； 实数集R.
1） 列举法：{a,b,c…}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表达集合的方法。{x|x-3>2}
3） Venn图:
5、集合的分类：
(1) 有限集 具有有限个元素的集合
(2) 无限集 具有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种也许（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
2．“相等”关系：A=B
3、真子集:假如AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
4注意（1）任何一个集合是它自身的子集。AÍA
（2）假如 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
（3）假如AÍB 同时 BÍA 那么A=B
（4）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
u （5）有n个元素的集合，具有个子集，个真子集.
三、集合的运算

运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集 .
S
A
记作，即
CSA=
韦
恩
图
示

S
A

性

质
AA=A；
AΦ=Φ；
AB=BA；
ABA；
ABB；

AA=A
AΦ=A
AB=BA
ABＡ
ABB
(CuA) (CuB)
= Cu (AB)
(CuA) (CuB)
= Cu(AB)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．
u 若,则;
u 若,则.

第二章 函数
一、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，假如按照某个拟定的相应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一拟定的数f(x)和它相应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相相应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式故意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的重要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)假如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都故意义的x的值组成的集合.
(6)指数的底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题故意义.
u 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表达自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具有)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观测法 (2)配方法(3)代换法
3. 函数图象画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种：平移变换，伸缩变换，对称变换。
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表达．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个拟定的相应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一拟定的元素y与之相应，那么就称相应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f（相应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中相应的象可以是同一个；
(3)不规定集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
假如y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
假如对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1) ＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的鉴定方法
(A) 定义法：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

2．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特性
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（4）运用定义判断函数奇偶性的环节：
一方面拟定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
拟定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
3、函数的解析式
（1）.函数的解析式是函数的一种表达方法，规定两个变量之间的函数关系时，一是规定出它们之间的相应法则，二是规定出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的重要方法有：
凑配法，待定系数法，换元法，消参法
4．函数最大（小）值
运用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
运用图象求函数的最大（小）值
运用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
5、方程的根与函数的零点
(1)、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
(2)、函数零点的意义：函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
(3)、函数零点的求法：
求方程的实数根；
求函数零点近似解，二分法。
（4）、二次函数的零点：
二次函数．
（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

第三章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，假如，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作.
当是奇数时，；当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：

u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没故意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）·；（2）；
（3）．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1

定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）

二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，假如，那么数叫做认为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
说明： 注意底数的限制，且；

；
注意对数的书写格式．
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的．
（二）对数的运算性质
假如，且，，，那么：
·＋；
－；
．
注意：换底公式
（，且；，且；）．
运用换底公式推导下面的结论
（1）；（2）．
（三）对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1

定义域x＞0
定义域x＞0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．