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泄露天机——2015年金太阳高考押题 精粹
数学
本卷共60题，三种题型：选择题、填空题和解答题。选择题36小题，填空题8小题，解答题18小题。
一、选择题（36个小题）
1. 已知全集, 集合, , 则集合可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2. 集合 ，则集合C中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．11 D．12
3. 设集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
4. 若（其中为虚数单位），则等于（ ）
A．1 B. C. D.
5. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7. 已知向量，若,则（ ）
A. B． C． D．
8. 已知为的边的中点，所在平面内有一个点，满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．中，，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（ ）
A． [1，2] B．[0，1] C．[0，2] D． [﹣5，2]
10．已知命题：，，命题：，，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题是假命题 B．命题是真命题
C．命题是真命题 D．命题是假命题
11．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．命题:关于的方程有三个实数根；命题：；则命题成立时命题成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
3
2
4
3
4
3
2
3
3
正视图
侧视图
俯视图
14.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知,满足约束条件,若的最小值为,则（ ）
A． B． C． D．
17．已知，若的最小值是，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18.已知不等式组构成平面区域(其中,是变量)。若目标函数的最小值为-6，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
19. 如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
A． B． C． D．
20.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
21. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为（ ）
A. B. C. D.
22. 已知、取值如下表：
0
1
4
5
6
1.3
5.6
7.4
画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到0.1）为（ ）
A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
23. 如图是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）
A.85，84 B.84，85 C.86，84 D.84，86
24. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单 位：元），其中支出在（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则的值为（ ）
A．100 B．120 C．130 D．390
25. 若，是第三象限的角，则（ ）
A． B． C． D．
26. 在中，若的形状一定是（ ）
A.等边三角形 B.不含的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
27. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28. 函数的最小正周期为，为了得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
29. 在中，是边上的一点，，的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
30. 已知函数的最小正周期为，最小值为，将函数的图像向左平移（＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
31. 已知双曲线的离心率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
32. 如图过拋物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为（ ）
A． B
C． D．[]
33. 椭圆M: 左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且 最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
34. 已知函数，则函数的大致图像为（ ）
35. 已知函数，若存在，当时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
36. 已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
二、填空题（12个小题）
37．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是___________。
38. 在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足为锐角的概率为_______.
39. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数
字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若，且a，
b，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是_________。
40. 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，
甲说：丙没有考满分；
乙说：是我考的；
丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 _________ 。
41. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．
设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则 。
42. 对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等．
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为 。
43. 是同一球面上的四个点,其中是正三角形, ⊥平面，,则该球的表面积为_________。
44. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为 。
45. 已知四棱锥中，底面为矩形，且中心为，，，则该四棱锥的外接球的体积为 。
46． 已知等差数列前项和为，且满足，则数列的公差为 。
47.已知为数列的前项和，且满足，，则 。
48. 已知数列的前n项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为 。
三、解答题（18个小题）
49. 在中，内角的对边分别为已知．
（I）求的值； （II）若，，求的面积。
50. 在△ABC中，a,b,c是其三个内角A,B,C的对边，且.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设，求△ABC的面积S的最大值。
51. 已知数列中，，其前项的和为，且满足.
(Ⅰ) 求证：数列是等差数列；(Ⅱ) 证明：当时，.
52. 如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）．PA//平面BDE；（2）．平面PAC平面BDE．
P
A
B
D
O
E
C
C
B
A
D
C1
A1
53. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点
(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
（II）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积比。
54． 如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．
（I）求证：平面；
（II）求证：平面；
（III）求三棱锥的体积．
55. 某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
（Ⅱ）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．
56.截至2014年11月27目，我国机动车驾驶人数量突破3亿大关，年均增长超过两千万．为了解某地区驾驶预考人员的现状，选择A，B,C三个驾校进行调查．参加各驾校科目一预考人数如下：
驾校
驾校A
驾校B
驾校C
人数
150
200
250
若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取24人进行分析，他们的成绩如下：
87
97
91
92
93
99
97
86
92
98
92
94
87
89
99
92
99
92
93
76
70
90
92
64
（1）求三个驾校分别应抽多少人?
（2）补全下面的茎叶图，并求样本的众数
和极差；
（3）在对数据进一步分析时，满足
｜x－96．5｜≤4的预考成绩，称为
具有M特性。在样本中随机抽取一人，
求此人的预考成绩具有M特性的
概率。
57. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生 表2：女生
等级
优秀
合格
尚待改进
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
5
频数
15
3
（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（2）由表中统计数据填写下边列联表，试采用独立性检验进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”．
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
参考数据与公式：
，其中．
临界值表：
58. 椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(I)求椭圆的标准方程；
(II) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
59. 已知椭圆 的两个焦点,,动点P在椭圆上，且使得的点P恰有两个，动点P到焦点的距离的最大值为。
(I)求椭圆的方程；
（II）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点T作圆的两条切线，设切点分别为A,B，若直线AB与椭圆交于不同的两点C,D，求的取值范围。
60. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图所示，直线与抛物线相交于,两点，为抛物线上异于,的一点，且轴，过作的垂线，垂足为,过作直线交直线BM于点,设的斜率分别为，且。
① 线段的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;
② 求证:四点共圆.
61.设函数（）.
（I）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；
（II）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
62.设函数，
（I）证明：是上的增函数；
（II）设，当时，恒成立，求的取值范围.
63. 已知函数为自然对数的底数）
（I）求函数的最小值；
（II）若≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（III）在（II）的条件下，证明：
①若函数有且仅有一个零点时，求的值；
②在①的条件下，若，，求的取值范围。
64. 请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
A.选修4－1：几何证明选讲
如图所示，为圆的直径，，为
圆的切线，，为切点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若圆的半径为2，求的值.
B.选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求△面积的最大值.
C.选修4-5：不等式选讲
已知函数且的解集为
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若是正实数，且，求证：。
65. 请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.
（I）求证：DC是⊙O的切线；
（II）求证：AM·MB=DF·DA.
B．选修4－4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（I）求的直角坐标方程；
（II）设直线与曲线交于两点，求弦长.
C．选修4-5：不等式选讲
已知函数
（I）若，解不等式；
（II）如果，求的取值范围．
66. 请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑
A. 选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD内接于圆．
求对角线BD、AC的长．
B.选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立
平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）
(I)把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程；
(II)求直线被曲线截得的线段的长.
C．选修4—5：不等式选讲
已知a，b∈，a＋b＝1，，∈．
（1）求的最小值；
（2）求证：．
参考答案
一、选择题（36个小题）
1.答案：B
解析：有元素1，2的是，分析选项则只有B符合。
2. 答案：C
解析：，故选C。
3. 答案：C
解析：集合，。
4. 答案：C
解析：化简得，则=，故选C。
5. 答案：A
解析：，所以。
6. 答案：D
解析：根据复数的运算可知，所以复数的坐标为，所以正确选项为D。
7. 答案：B
解析：，
。
8. 答案：C
解析：如图，四边形是平行四边形，D为边BC的中点，所以D为边的中点，的值为1。
9. 答案：D
解析：∵D是边BC上的一点（包括端点），
∴可设
,,,
的取值范围是。
10. 答案：C
解析：命题为真命题.对命题，当时，，故为假命题，为真命题.所以C正确。
11. 答案：C
解析：命题“，” 是特称命题，则它的否定是全称命题，即。
12. 答案：B
解析：由方程，易知函数是上的奇函数，由的图像可知，函数在上的最大值是1，根据图像的对称性知函数在上的最小值为-1，又函数的图像与轴有3个交点，那么原方程有3个实数根的充要条件是，而，所以选择B。
13. 答案：C
解析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，
如图，故选。
14. 答案：D
解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为，故选 D。
15. 答案：A
解析：该几何体是下面是一个三棱柱，上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。其体积为。
16. 答案：B
解析：依题意可以画出不等式表示的图形，当过点时取最小值，即2-2=1，=。
17. 答案：B
解析：由已知得线性可行域如图所示，则的最小值为，若，则为最小值最优解，∴，若，则为最小值最优解，不合题意，故选B。
18. 答案：C
解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，因为，故。可知在C点处取得最小值，联立解得即，故，解得。
19. 答案：B
解析：由程序知道，都应该满足条件，不满足条件，故应该选择B。
20. 答案：C
解析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出
. 故选C。
21. 答案：B
解析：第一次运行时，；第二次运行时，；
第三次运行时，；第四次运行时，；
第五次运行时，；…，以此类推，
直到，程序才刚好不满足，故输出.故选B。
22. 答案：C
解析：将代入回归方程为可得，则，解得，即精确到0.1后的值为. 故选C。
23. 答案：A
解析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，平均数为，众数为84. 故选A。
24. 答案：A
解析：支出在的同学的频率为，。
25. 答案：B
解析：由题意，因为是第三象限的角，所以，
因此。
26. 答案：D
解析：∵sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A-B）=1-2cosAsinB，
∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，
∴sin（A+B）=1，∴A+B=90°，∴△ABC是直角三角形。
27. 答案：A
解析：结合特殊值，求解三角函数的递减区间，并验证结果．取，，其减区间为，显然，排除；取，，其减区间为，显然，排除．选。
28. 答案：C
解析：因为函数的最小正周期为，所以，则，则用换x即可得到的图像，所以向左平移个单位长度，则选C。
29. 答案：D
解析：因为，可得，即，所以.在中，由余弦定理，解得，所以，所以，
在中，由正弦定理可知，可得。
30. 答案：B
解析：，依题意，，所以，因为，解得，故，故，所以，即。将函数的图片向左平移（＞0）个单位后得到，因为函数的一条对称轴为。故，解得，观察可知，选B。
31. 答案：B
解析：依题意，，。
32. 答案：D
解析：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴,求得p=，因此抛物线方程为y2=3x。
33. 答案：B
解析：由椭圆定义知，
的最大值为
而最大值取值范围是，所以
于是得到，
故椭圆的离心率的取值范围是，选B。
34. 答案：A
解析：由函数的奇偶性可知函数为非奇非偶函数，所以排除B,C,再令，说明当x为负值时，有小于零的函数值，所以排除D。
35. 答案.B
解析：当时，因为，由或，得到 的取值范围是，所以即的范围是.
36. 答案：A
解析：因为时，=1或=3或=或=-4，则当a=1时或1或3或－4,又因为,则当时只有一个
=－2与之对应其它情况都有两个值与之对应，所以此时所求方程有7个根，当1＜a＜2时因为函数与y=a有4个交点，每个交点对应两个，则此时所求方程有8个解，当a=2时函数与y=a有3个交点，每个交点对应两个，则此时所求方程有6个解，所以B,C,D都有可能，则选A。
二、填空题（12个小题）
37. 答案：
解析：分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即
38. 答案：
解析：如果为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）．要使为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；
因为半圆的面积为，正方形的面积为，所以满足为锐角的概率。
39. 答案：
解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；
同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；
由1，3，4组成的三位自然数也是6个；
由2，3，4组成的三位自然数也是6个．
所以共有6＋6＋6＋6＝24个．
由1，2，3组成的三位自然数，共6个”有缘数”．
由1，3，4组成的三位自然数，共6个”有缘数”．
所以三位数为”有缘数”的概率。
40. 答案：甲
解析：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲。
41. 答案：38
解析：由图可知奇数行的数是奇数，偶数行的数是偶数，所以第8行的数字是偶数，前7行的偶数有2+4+6=12个，则是第12+7=19个偶数，即。
42. 答案.
解析：因为[x]表示不超过x的最大整数，
所以，
因为等式：，
，
，
…，
所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1=1×3=3，
第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2=2×5=10，
第3个式子的左边有7项、右边3×7=21，
则第n个式子的左边有（2n+1）项、右边=n（2n+1）=2n2+n。
43. 答案：32
解析：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
AD=4，AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2。
所求球的表面积为：4（2）2=32。
44. 答案：
解析：设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，
于是所求半球的体积为。
45. 答案：
解析：因为，故，故；同理，；将四棱锥补成一个长方体，可知该长方体的长宽高分别为，故所求外接球的半径，其体积。
46. 答案：2
解析：∵，∴，∴，又，∴。
47. 答案：2×31007﹣2
解析：由anan+1=3n，得，
∴，
则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，
又．
∴。
48. 答案：4
解析：当时，得，；
当时，，两式相减得，得，
所以。
又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即。
因为，所以不等式，等价于。
记，时，。
所以时，。
所以，所以整数的最大值为4。
三、解答题（18个小题）
49. 解：（Ⅰ）由正弦定理，得
所以
即,
化简得,即因此
（Ⅱ）由的
由及
得，解得，因此
又所以，因此
50. 解：（Ⅰ）∵
，或，
由，知，所以不可能成立，所以，
即，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ），，所以，
即△ABC的面积S的最大值为
51. 解：（Ⅰ）当时，，
，，
从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（1）可知，，.
当时，.
从而。
52. 证明： (1) 连接，
在中，为中点，为中点．，
又平面，平面，平面BDE．
P
A
B
D
O
E
C
（2）底面．
又，平面．
又平面，∴平面平面.
53. (Ｉ)证明：有题设得
,,,
所以平面,
又平面,所以,
由题设知,所以, 有,所以平面BDC, 又平面BDC1, 平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）设棱锥的体积为
,,三棱柱ABC－A1B1C1体积为,所以,所以平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为。
54. 解：（I）因为四边形为矩形，
所以平面，平面，
所以平面．
E
A
B
D
F
M
C
（II）过作，垂足为，
因为所以四边形为矩形．
所以，又因为所以，，
所以，所以；
因为平面，所以平面，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（III）因为平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
55. 解：（Ⅰ）设平均成绩的估计值为，则：
．
（Ⅱ）该校学生的选拔测试分数在有4人，分别记为A，B，C，D，分数在有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），
（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个．
故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为。
56. 解：（1）用分层抽样的方法从三个驾校分别抽取：
驾校A:人 驾校B：人 驾校C：人
（2）补全的茎叶图为
9
0
1
2
2
2
2
2
2
3
3
4
7
7
8
9
9
9
8
6
7
7
9
7
0
6
6
4
9
0
1
2
2
2
2
2
2
3
3
4
7
7
8
9
9
9
8
6
7
7
9
7
0
6
6
4
众数为：92
极差为：99-64=35
（3）设事件A=“预考成绩具有M特性”。
满足的预考成绩为：
共9个，所以P(A)=
57. 解：（1）设从高一年级男生中抽出人，则，，
∴
表2中非优秀学生共人，记测评等级为合格的人为，尚待改进的人为，
则从这人中任选人的所有可能结果为：，共种．
设事件表示“从表二的非优秀学生人中随机选取人，恰有人测评等级为合格”，
则的结果为：，共种．
∴， 故所求概率为．
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
（2）
∵，，
而，
所以不能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”。
58. F2
O
x
y
P
A
B
F1
A2
l
解：（I）由题： ①
左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：
d = =②
由①②可解得c = 1， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3．
∴所求椭圆 C 的方程为 ．
（II）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得
O
x
y
P
A
B
F1
F2
A2
l
(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．
∴x1 + x2 = －，x1x2 = ，且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 •= 0．
所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)
= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4
= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 = 0 ．
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴m = －k 或 m = －2k 都满足 △ > 0．
若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k = k (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；
若 m = －k 时，直线 l 为 y = kx－k = k (x－)， 恒过定点 (,0) ．
59. 解：(I)由使得的点P恰有两个可得；动点P到焦点的距离的最大值为，可得，即，所以椭圆的方程是
（II）圆的方程为，设直线上动点T的坐标为设，，则直线AT的方程为，直线BT的方程为，又在直线AT和BT上，即，故直线AB的方程为
由原点O到直线AB的距离得，
联立，消去x得，设,。
则， 从而
所以，设，
则，又设，
所以，设，
所以由得：，所以在上单调递增即
60. 解: （Ⅰ）
（Ⅱ）设,则,直线的方程为：
由消元整理可得：
所以 可求得：
直线的方程为： 所以可求得
所以===4.
的中点 ，则的中垂线方程为：
与BC的中垂线轴交点为： 所以的外接圆的方程为：
由上可知
所以四点共圆.
61. 解：（I）f′(x)=p＋－ = ，
依题意，f ′(x)≥0在(0, + ∞)内恒成立，
只需px2－2x＋p≥0在(0, + ∞)内恒成立，只需p≥在(0, + ∞)内恒成立，
只需p≥（）max=1，
故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+ ∞)。
（应该验证时，符合题意，此题不验证也不扣分）
（II）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)= f(x)－g(x)= px－－2ln x－,x∈[1,e]，h ′(x)=p＋－＋ = ，
因为x∈[1,e]，p>0，所以h ′(x)>0在[1,e]上恒成立，
所以h(x) 在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)= h(e)=p(e－)－4,
依题意，要h(x) >0在[1,e]有解只需hmax(x) >0，所以p(e－)－4>0
解得p > ，所以p的取值范围是(, + ∞) 。
62. 解：（I）若证明是上的增函数，只需证明在恒成立，
即：
设，
所以：在上递减，上递增，最小值
故：，所以：是上的增函数.
（II）由得：
在上恒成立，
设
则，
所以在递增，递减，递增
所以的最小值为中较小的，，
所以：，即：在的最小值为，只需
63. 解：(I)由题意,
由得.
当时, ;当时,.
∴在单调递减,在单调递增
即在处取得极小值,且为最小值,
其最小值为
(II)对任意的恒成立,即在上,.
由(1),设,所以.
由得.
易知在区间上单调递增,在区间上单调递减,
∴在处取得最大值,而.
因此的解为,∴
(III)由（II）得，即，当且仅当时，等号成立，令
则，即，所以
累加得
64. A.选修4－1：几何证明选讲
解：(I)连接是圆的两条切线， ，
,又为圆的直径，，
,,即得证，
(II),,△∽△，
。
B.选修4－4：坐标系与参数方程
解：（I）圆的参数方程为（为参数）
所以普通方程为
圆的极坐标方程：
（II）点到直线：的距离为 △的面积
所以△面积的最大值为
C.选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）因为，所以等价于
由有解，得，且其解集为
又的解集为，故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又是正实数，
由均值不等式得
当且仅当时取等号。
也即
65. A.选修4－1：几何证明选讲
解：（I）连
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