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第二章 逻辑代数基础逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则2-1 逻辑代数基础逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础一、逻辑变量一、逻辑变量取取值值：逻逻辑辑0 0、逻逻辑辑1 1。逻逻辑辑0 0和和逻逻辑辑1 1不不代代表表数数值值大大小小，仅仅表表示示相相互互矛矛盾盾、相相互互对对立立的的两种逻辑状态。两种逻辑状态。二、基本逻辑运算二、基本逻辑运算与运算与运算或运算或运算非运算非运算逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算第二章 逻辑代数基础逻辑表达式逻辑表达式F=A B=AB与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑关系表开关开关A 开关开关B灯灯F断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合灭灭灭灭灭灭亮亮ABF1 01 10 10 00010与逻辑运算符，也有用与逻辑运算符，也有用“”、“”、“”、“&”表示表示AB 逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）FVHDL：YAND=A AND BABF逻辑符号（国际）逻辑符号（国际）与运算与运算逻辑变量的全部取逻辑变量的全部取值及运算后的结果值及运算后的结果列成表列成表只有决定某一事件的只有决定某一事件的所有条件所有条件全全部具备，这一事件才能发生。部具备，这一事件才能发生。全全“1”得得“1”,有有“0”得得“0”第二章 逻辑代数基础逻辑表达式逻辑表达式F=A+B或逻辑真值表或逻辑真值表ABF 1逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）决定某一事件的决定某一事件的一个或一个以上的一个或一个以上的条件条件具备，这一事件就发生。具备，这一事件就发生。ABF1 01 10 10 01110N个输入：个输入：F=A+B+.+N或逻辑运算符，也有用或逻辑运算符，也有用“”、“”表示表示VHDL：YOR=A OR B或运算或运算国际标准国际标准ABF全全“0”得得“0”,有有“1”得得“1”第二章 逻辑代数基础非逻辑真值表非逻辑真值表逻辑符号（国际）逻辑符号（国际）AF1AF0110逻辑表达式逻辑表达式VHDL：YNOT=NOT AAF非运算非运算当当决决定定某某一一事事件件的的条条件件满满足足时时，事件不发生；反之事件发生。事件不发生；反之事件发生。三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=11=0 0=1第二章 逻辑代数基础三、复合逻辑运算三、复合逻辑运算与非逻辑运算与非逻辑运算或非逻辑运算或非逻辑运算与或非逻辑运算与或非逻辑运算VHDLVHDL：YNAND=A NAND BYNAND=A NAND BYNOR=A NOR BYNOR=A NOR BYNANDOR=NOT(A AND YNANDOR=NOT(A AND B)OR(C AND D)B)OR(C AND D)全全“1”得得“”有有“0”得得“”全全“”得得“”有有“”得得“”AB全全“1”或或CD全全“1”得得“0”，其余得，其余得“1”第二章 逻辑代数基础ABF1 01 10 10 01100逻辑符号逻辑符号VHDL：YXOR=A XOR B(1)A0=A(3)AA=0(5)AB=C;A C=B;B C=A 异或运算异或运算公式：公式：公式：公式：(2)(4)逻辑表达式逻辑表达式“”异或逻辑运异或逻辑运算符算符A、B异得异得“”，A、B同得同得“”第二章 逻辑代数基础逻辑表达式逻辑表达式F=A B=(A B)=AB+AB ABF1 01 10 10 00011VHDL：YXNOR=A XNOR B A 1=A A A=1 A 0=A A A=0 A B=C;A B=(A B)互为反函数互为反函数 互为对偶式互为对偶式A C=B;B C=A A B与与A B互为对偶互为对偶同或运算同或运算公式：公式：公式：公式：同或与异或运算的关系：同或与异或运算的关系：同或与异或运算的关系：同或与异或运算的关系：逻辑符号逻辑符号“”同或逻辑运算同或逻辑运算符符A、B同得同得“1”，A、B异得异得“0”第二章 逻辑代数基础VHDL语言基本逻辑功能描述语言基本逻辑功能描述操作符操作符 功功 能能AND与与 OR或或NOT非非NAND与非与非NOR或非或非XOR异或异或XNOR同或（异或非）同或（异或非）第二章 逻辑代数基础0V3V工作原理工作原理 A、B中中有有一一个个或或一一个个以以上上为为低低电平电平0V，只只有有A、B全全为为高电平高电平3V，二极管与门电路二极管与门电路0V3V3VABF3V3V3V3V0V0V0V3V0V0V0V0V四、四、正逻辑正逻辑与与负逻辑负逻辑则则输输出出F就就为为低低电平电平0V。则则输输出出F才才为为高高电平电平3V。ABFVL VLVLVLVHVLVL VHVH VLVH VH电电平平关关系系3V第二章 逻辑代数基础ABFVL VLVLVLVHVL1 11ABF1 00 10 00000ABF0 10 01 01 1111VL VHVH VLVH VH电平关系电平关系正逻辑正逻辑负逻辑负逻辑正与正与=负或负或正或正或=负与负与正与非正与非=负或非负或非正或非正或非=负与非负与非正、负逻辑间关系正、负逻辑间关系高电平高电平VH用逻辑用逻辑1表示，表示，低电平低电平VL用逻辑用逻辑0表示表示四、四、正逻辑正逻辑与与负逻辑负逻辑（与门）（与门）（或门）（或门）高电平高电平VH用逻辑用逻辑0表示，表示，低电平低电平VL用逻辑用逻辑1表示表示正异或正异或=负同或负同或正同或正同或=负异或负异或第二章 逻辑代数基础一、逻辑函数一、逻辑函数 用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量变量A、B、C、.连接起来，所得的表达式连接起来，所得的表达式F=f（A、B、C、.）称为逻辑函数。）称为逻辑函数。二、二、逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式 逻辑图逻辑图波形图波形图输入变量输入变量不同取值组合不同取值组合与与函函数值数值间的对应关系列成表格间的对应关系列成表格用用逻辑符号逻辑符号来表示来表示函数式的运算关系函数式的运算关系取值：取值：逻辑逻辑0、逻辑、逻辑1。逻辑。逻辑0和逻辑和逻辑1不代表不代表数值大小数值大小，仅表示，仅表示相互矛盾、相互对立的相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态两种逻辑状态。反映反映输入和输出波形变输入和输出波形变化的化的图形又叫时序图图形又叫时序图逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法输入变量输入变量输出变量输出变量输入变量输入变量与与输出变量输出变量之间的之间的逻辑关系用与、或、非等逻逻辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子辑运算符号连接起来的式子第二章 逻辑代数基础ABCF000001001011100110111011断断“0”合合“1”亮亮“1”灭灭“0”C开，开，F灭灭0000C合，合，A、B中中有一个合，有一个合，F亮亮11C合，合，A、B均均断，断，F灭灭0逻辑函数式逻辑函数式 挑出函数值为挑出函数值为1的项的项1 101111101111 每个函数值为每个函数值为1 1的输入变量取值组合写成一个的输入变量取值组合写成一个乘积项乘积项 这些乘积项作这些乘积项作逻辑加逻辑加输输入入变变量量取取值值为为1用用原原变变量量表表示；反之，则用示；反之，则用反变量反变量表示。表示。ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC注：变量取值组合按二注：变量取值组合按二进制由小到大列出。进制由小到大列出。第二章 逻辑代数基础逻辑图逻辑图乘乘积积项项用用与与门门实实现现，和和项项用用或门或门实现。实现。波形图波形图010011001111F=ABC+ABC+ABC第二章 逻辑代数基础 公理、定律与常用公式公理、定律与常用公式公理公理交换律交换律结合律结合律分配律分配律0 0=00 1=1 0=0 1 1=10+0=00+1=1+0=1 1+1=1A B=B A A+B=B+A(A B)C=A (B C)(A+B)+C=A+(B+C)A (B+C)=A B+A C A+B C=(A+B)(A+C)逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则1 1=0 =0 0 0=1=1第二章 逻辑代数基础(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)A+A B=A+B A(A+B)=A B A+A B=A A (A+B)=AA B+A B=A (A+B)(A+B)=A(A B)=A+B (A+B)=ABA A=A A+A=AA 1=A A+0=AA A=0 A+A=1A 0=0 A+1=1(A)=AAB+AC+BC=AB+AC 定律与常用公式定律与常用公式0-1律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律反演律反演律自等律自等律吸收律吸收律消因律消因律包含包含律合并律合并律r47逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则第二章 逻辑代数基础利用真值表利用真值表例：用真值表证明反演律例：用真值表证明反演律A B000110111110111010001000 证明方法证明方法证明方法证明方法(A B)=A+B (A+B)=AB(A B)A+BAB(A+B)可见，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。可见，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。可见，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。可见，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。第二章 逻辑代数基础等式右边等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含含同一因子同一因子的的原原变量和变量和反反变量，而两项的剩余因子变量，而两项的剩余因子组成第三个乘积项，则第三项是多余的。组成第三个乘积项，则第三项是多余的。公式可推广：公式可推广：例：证明包含律例：证明包含律成立成立利用基本定律利用基本定律第二章 逻辑代数基础 三个基本运算规则三个基本运算规则 代入规则代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果任何一个含有某变量的等式，如果等式等式中所有出现此中所有出现此变量变量的位置均代之以一个的位置均代之以一个逻辑函数式逻辑函数式，则此等式依然成立。，则此等式依然成立。例：例：BC替代替代B得得由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：利用反演律利用反演律逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则(A B)=A+B第二章 逻辑代数基础那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式F的的反函数式，记为反函数式，记为F。反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F F，做如下处理：，做如下处理：若把式中的运算符若把式中的运算符“”换成换成“+”，“+”换成换成“”；常量常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”；原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量注：注：保持原函数的运算次序：先括号，然后与，最后或，必要时保持原函数的运算次序：先括号，然后与，最后或，必要时 适当地加入括号。适当地加入括号。不属于单个变量上的反号有两种处理方法：不属于单个变量上的反号有两种处理方法：反号保留，而反号下面的函数式按反演规则变换。反号保留，而反号下面的函数式按反演规则变换。将反号去掉，而反号下的函数式保留不变。将反号去掉，而反号下的函数式保留不变。第二章 逻辑代数基础例：例：F(A，B，C)其反函数为其反函数为或或第二章 逻辑代数基础 对偶式对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：若把式中的运算符若把式中的运算符“”换成换成“+”，“+”换成换成“”；常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”得到新函数式为原函数式得到新函数式为原函数式F的对偶式的对偶式FD，也称对偶函数，也称对偶函数 对偶规则：对偶规则：如如果果两两个个函函数数式式相相等等，则则它它们们对对应应的的对对偶偶式式也也相相等等。即即：若若F1=F2，则则F1D=F2D。这这使使公公式式的的数数目目增增加加一一倍。倍。求求对对偶偶式式时时运运算算顺顺序序不不变变，且且它它只只变变换换运运算算符符和和常量常量，其，其变量变量是是不变不变的。的。注：注：函数式中有函数式中有“”和和“”运算符，求反函数及对运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符偶函数时，要将运算符“”换成换成“”，“”换成换成“”。第二章 逻辑代数基础例：例：其对偶式其对偶式例：例：证明：证明：FD =G第二章 逻辑代数基础函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式2-2 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式第二章 逻辑代数基础 五种常用表达式五种常用表达式F(A，B，C)“与与-或或”式式“或或-与与”式式“与非与非-与非与非”式式 “或非或非-或非或非”式式“与与或或非非”式式基本形式基本形式 表达式形式转换表达式形式转换利用还原律利用还原律利用反演律利用反演律函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式第二章 逻辑代数基础逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式最小项：最小项：n个变量有个变量有2n个最小项，记作个最小项，记作mi3个变量有个变量有23（8）个最小项个最小项m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567在在逻逻辑辑函函数数中中，有有n个个变变量量为为A1An，m是是这这n个个变变量量的的与与项项，若若与与项项m是是包包括括全全部部n个个变变量量的的乘乘积积项项（每每个个变变量量必必须须而而且且只只能能以原变量或反变量的形式出现一次）。以原变量或反变量的形式出现一次）。一、一、最小项最小项和和最大项最大项乘积项乘积项和项和项最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号最小项编号下标最小项编号下标i：将变量按序排列，将变量按序排列，原变量用原变量用1表示，表示，反变量用反变量用0表示，表示，得到一组二进制数，得到一组二进制数，将其变换为等值的将其变换为等值的十进制数。十进制数。第二章 逻辑代数基础0 0 1A B C0 0 0m0m1m2m3m4m5m6m71000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项：三变量的最小项：最小项的性质：最小项的性质：同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最小项的最小项的乘积乘积为为0，即：，即：mi mj=0 (ij)全部全部最小项之最小项之和和为为1，即：，即：在输入变量的任意取值下，在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个必有一个且只有一个最最小项的值为小项的值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为0。两两个个最最小小项项只只有有一一个个因因子子不不同同，两两个个最最小小项项之之和和可可合合并并成成一一项项并并消消去去一对不同的因子。一对不同的因子。具有相邻性具有相邻性第二章 逻辑代数基础n个变量有个变量有2n个最大项，记作个最大项，记作i。在逻辑函数中，有在逻辑函数中，有n个变量为个变量为A1An，M是这是这n个变量个变量的的或项或项，若，若或项或项M包括包括全部全部n个变量（每个变量必须个变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。最大项：最大项：最大项编号下标最大项编号下标i：把或项中的原变量把或项中的原变量记做记做“0”，反变量反变量记做记做“1”，得到一组二进制数，变换为等值的十进制数。得到一组二进制数，变换为等值的十进制数。三变量的最大项三变量的最大项 M0M100000101M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567第二章 逻辑代数基础 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最大项的最大项的和和为为1，即，即Mi+Mj=1 (ij)全部全部最大项之最大项之积积为为0，即，即 在输入变量的任意取值下，在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个必有一个且只有一个最大最大项的值为项的值为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1最大项的性质：最大项的性质：最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系(1)相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即即:mi=Mi Mi=mi如：如：两个最大项只有一个因子不同，两个最大项之积可合两个最大项只有一个因子不同，两个最大项之积可合并成一项并消去一对不同的因子并成一项并消去一对不同的因子第二章 逻辑代数基础三变量的最小项：三变量的最小项：三变量的最大项三变量的最大项 M0M100000101M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567第二章 逻辑代数基础 最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系 例：例：m1 m3m5 m7=(2)若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式 F，其反函数，其反函数F可可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。即：即：可推出：可推出：Mi=mi第二章 逻辑代数基础逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 最小项最小项(标准积标准积)之和表达式之和表达式 F(A，B，C，D)解：解：F(A，B，C)利用反演律利用反演律解解:式中的每一个乘式中的每一个乘积项均为最小项积项均为最小项例：例：求函数求函数F(A，B，C)的最小项之的最小项之和表达式和表达式利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量C第二章 逻辑代数基础例：例：已知函数的真值表，写出该函数的最小项之和表达式已知函数的真值表，写出该函数的最小项之和表达式A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 1 01 1 1F00010111 0 11 最小项最小项(标准积标准积)之和表达式之和表达式 从真值表找出从真值表找出F为为1的的输入变量对应最小项输入变量对应最小项 然后将这些项逻辑加然后将这些项逻辑加F(A，B，C)1 0 110 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 输输入入变变量量取取值值为为1 1用用原原变变量量表表示示；取值为取值为0 0用用反变量反变量表示表示。ABC、ABC、ABC、ABCmi01234567逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式第二章 逻辑代数基础 最大项最大项(标准和标准和)之积表达式之积表达式F(A，B，C)最小项之和表达式与最大项之积表达式的关系：最小项之和表达式与最大项之积表达式的关系：解解:同一函数的两种不同表示形式，二者是互补关系，同一函数的两种不同表示形式，二者是互补关系，即最小项表达式中未出现的最小项的下标即最小项表达式中未出现的最小项的下标i i必出现在必出现在最大项表达式中，反之亦然。利用这一特性可以方便最大项表达式中，反之亦然。利用这一特性可以方便的根据一种标准表达式写出另一种标准表达式。的根据一种标准表达式写出另一种标准表达式。逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式式中的每一个和式中的每一个和项均为最大项项均为最大项第二章 逻辑代数基础 最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系 例：例：m1 m3m5 m7=(2)若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式 F，其反函数，其反函数F可可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。即：即：可推出：可推出：第二章 逻辑代数基础代数法化简函数代数法化简函数图解法化简函数图解法化简函数 2-3 逻辑函数的化简逻辑函数的化简第二章 逻辑代数基础例：与或表达式最简的标准例：与或表达式最简的标准 每个与项中的变量数最少每个与项中的变量数最少与门的个数最少与门的个数最少,下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少与门的输入端个与门的输入端个数最少数最少逻辑函数表达式不同，最简标准也不同。逻辑函数表达式不同，最简标准也不同。与项最少与项最少保证电路最简保证电路最简 成本最低成本最低例：例：或或与表达式最简的标准与表达式最简的标准 或项最少或项最少 每个或项中的变量数最少每个或项中的变量数最少第二章 逻辑代数基础逻辑函数最简逻辑函数最简的标准的标准 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性第二章 逻辑代数基础 与项最少与项最少 每个与项所含变量数最少每个与项所含变量数最少 与或表达式的化简与或表达式的化简与门的输入端个数少与门的输入端个数少方法：方法：并项：并项：利用利用将两项并为一项，将两项并为一项，且消去一个变量且消去一个变量B 消项：消项：利用利用A+AB=A消去多余的项消去多余的项AB 配项：利用配项：利用和互补律、和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项重叠律先增添项，再消去多余项BC 消元：利用消元：利用消去消去多余多余变量变量A代数法化简函数代数法化简函数最简式的标准最简式的标准 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少第二章 逻辑代数基础例：例：试试化化简函数简函数解：解：利用反演律利用反演律配项加配项加AB消元法消元法消去消去AB 或与表达式的化简或与表达式的化简F（或与式）（或与式）求对偶式求对偶式 FD（与或式）（与或式）化简化简 FD（最简与或式（最简与或式FD）求对偶式求对偶式 F（最简最简或与式）或与式）第二章 逻辑代数基础例：例：试化简函数试化简函数解：解：消项消项DEF消元法消元法第二章 逻辑代数基础图形法图形法化简函数化简函数 卡诺图（卡诺图（K图）图）A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AB1010 m0 m1 m2 m3 miABC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD二二二二变变变变量量量量KK图图图图三三三三变变变变量量量量KK图图图图四四四四变变变变量量量量KK图图图图又称又称卡诺图卡诺图法法每一个最小项用一个每一个最小项用一个小方格小方格表示，将这些表示，将这些小方格小方格按照按照所表示最小项的所表示最小项的逻辑相邻性逻辑相邻性排列起来，所得图形称为排列起来，所得图形称为n变量的卡诺图。变量的卡诺图。AB变量取值使得对应小方块所表示的最小项变量取值使得对应小方块所表示的最小项的值为的值为1 1第二章 逻辑代数基础 卡诺图（卡诺图（K图）图）110 111 101 100 m6 m7 m4 m5 m14 m15 m12 m13 m30 m31 m28 m29 m22 m23 m20 m21五五五五变变变变量量量量KK图图图图000 001 011 01000011110 m0 m1 m2 m3 m8 m9 m10 m11 m24 m25 m26 m27 m16 m17 m18 m19ABCDE图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础K图图的的特特点点 k图图为为方方形形图图。n个个变变量量的的函函数数k图图有有2n个个小小方方格格，分别对应分别对应2n个最小项个最小项；k图图中中行行、列列两两组组变变量量取取值值按按循循环环码码规规律律排排列列，使使变量各最小项之间具有变量各最小项之间具有逻辑相邻性逻辑相邻性。上下左右几何相邻的方格上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同。内，只有一个因子不同。方格有三种几何相邻：方格有三种几何相邻：相邻相邻、相对和相重、相对和相重0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四四四四变变变变量量量量KK图图图图几何位置挨着几何位置挨着行列两端行列两端以对称轴为中心将以对称轴为中心将卡诺图对折，彼此卡诺图对折，彼此重叠在一起重叠在一起图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四四四四变变变变量量量量KK图图图图两个相邻格圈在一两个相邻格圈在一起，结果消去一个起，结果消去一个变量变量ABD ADA1四个相邻格圈在一四个相邻格圈在一起，结果消去两个起，结果消去两个变量。变量。八个相邻格圈在一八个相邻格圈在一起，结果消去三个起，结果消去三个变量。变量。十六个相邻格圈在十六个相邻格圈在一起，结果一起，结果 mi=1卡诺图上合并最小项的规则：卡诺图上合并最小项的规则：几几何何相相邻邻的的2i（i=1、2、3n）个个小小格格可可合合并并在在一一起起构构成成正正方方形形或或矩矩形形圈圈，消消去去i个个变变量量，而而用用含含（n-i）个个变变量量的积项标注该圈的积项标注该圈。图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础 与或表达式的化简与或表达式的化简步步骤骤 先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小项先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小项对应的方格填对应的方格填1，其它填，其它填0（或不填）。（或不填）。合并：按作圈原则将图上填合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，的方格圈起来，要求孤立的单格单独画圈；圈的要求孤立的单格单独画圈；圈的数量少数量少、范围大，范围大，圈圈可重复包围，可重复包围，但每个圈内必须有但每个圈内必须有新新的最小项的最小项（新的新的“1”）；含；含1的格都应被圈入，以防止遗的格都应被圈入，以防止遗漏积项。漏积项。每个圈写出一个乘积项，按取同去异原则。每个圈写出一个乘积项，按取同去异原则。最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础 根据函数填写卡诺图根据函数填写卡诺图1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填，其余格均填0（或不填）；（或不填）；2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些的那些变量取值所对应的方格填变量取值所对应的方格填1，其余格均填，其余格均填0（或不填）；（或不填）；例子例子3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式与或式，再用，再用直接法填写。直接法填写。例子例子图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础例例1：直接给出函数的真值表求函数的最简与或式。：直接给出函数的真值表求函数的最简与或式。见例子见例子例例2：直接给出函数的：直接给出函数的复杂的运算式复杂的运算式。见例子见例子任意项任意项：变量取值组合下，函数值是变量取值组合下，函数值是0 0还是还是1 1都不影响电路都不影响电路的逻辑功能，的逻辑功能，该变量取值组合对应的最小项。该变量取值组合对应的最小项。约束项约束项：变量取值组合不可能出现变量取值组合不可能出现，该组合对应的最小项。，该组合对应的最小项。约束项和任意项统称约束项和任意项统称无关项无关项。例：用例：用8421码对十进制数码对十进制数0-9编码。编码。用用A,B,C,D四变量表示代码，取值只会出现四变量表示代码，取值只会出现0000-1001十种十种不会出现不会出现1010-1111这六种情况，这六种情况，1010-1111这六种变量取这六种变量取值组合对应的最小项就是约束项。值组合对应的最小项就是约束项。图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础 含有含有无关项无关项的函数的化简的函数的化简 填函数的卡诺图时只需在无关项对应的格内填函数的卡诺图时只需在无关项对应的格内填任意符号填任意符号“”、“d”或或“”。处理方法：处理方法：化简时可根据需要视为化简时可根据需要视为“1”也可视为也可视为“0”，使函数化到最简。，使函数化到最简。例子例子是否将约束项和任意项引是否将约束项和任意项引入到逻辑函数中并不影响入到逻辑函数中并不影响原函数的逻辑功能原函数的逻辑功能图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础小小 结结 几种常用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进制几种常用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进制以及相互间的转换以及相互间的转换 码制部分：自然二进制码、格雷码和常用的码制部分：自然二进制码、格雷码和常用的BCD码码任意一个任意一个R进制数按权展开：进制数按权展开：带符号数在计算机中的三种基本表示方法：原码、反码带符号数在计算机中的三种基本表示方法：原码、反码和补码。和补码。逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺图逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺图和时序图和时序图 分析和设计逻辑电路的重要数学工具：逻辑代数分析和设计逻辑电路的重要数学工具：逻辑代数第二章 逻辑代数基础作作 业业 2.4 2.10 2.11 2.15 2.182.20 2.22 2.23第二章 逻辑代数基础真的要退出本章节吗真的要退出本章节吗？是是Y否否N第二章 逻辑代数基础例：例：F(A,B,C,D)填写函数的卡诺图。填写函数的卡诺图。解：解：0100011110001110CDABAB1111111111AC1111m14,m15两次填两次填10000F(A,B,C,D)原变量原变量-1反变量反变量-0图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础例：图中给出输入变量例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡的真值表，填写函数的卡诺图诺图ABCF000 0 0 1 01001110010111011100111000ABC0100011110 1 110 0 0 0 0 010111001110图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础例：图中给出输入变量例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，将函数化为最的真值表，将函数化为最简与或式。简与或式。ABCF000 0 0 1 01001110010111011100111000ABC0100011110 1 110 0 0 0 0ABABCF=+得：得：ABABC图形法图形法化简函数化简函数第二章 逻辑代数基础例：例：已知函数已知函数：求其最简与或式求其最简与或式0100011110001110CDAB解：解：填函数的卡诺图填函数的卡诺图1111111 00000 化简化简不考虑约束条件时：不考虑约束条件时：考虑约束条件时：考虑约束条件时：0100011110001110CDAB1111111 00000第二章 逻辑代数基础解：解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBC化简得：化简得：最简与非最简与非与非式为：与非式为：例：例：将将F(A，B，C，D)化为最简与非化为最简与非与非式与非式图形法图形法化简函数化简函数