资源描述
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
基础过关练
题组一 直线的倾斜角与斜率
1.(多选题)(2023湖南长沙中南博才高级中学月考)下列说法中,错误的是( )
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等
2.(2022北京贸大附中质检)已知直线l的倾斜角为α-15°,则下列结论中正确的是( )
A.0°≤α<180° B.15°<α<180°
C.15°≤α<180° D.15°≤α<195°
3.(2022辽宁朝阳期末)若直线l的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍,则l的斜率为( )
A.1 B.3 C.233 D.−3
4.(2023辽宁沈阳二中月考)若直线l的一个方向向量为(-1,3),则它的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.已知直线l的斜率为k,倾斜角为α,若45°<α<135°,则k的取值范围为( )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.[-1,1]
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
6.(2023天津宝坻一中月考)设直线l的斜率为k,且-1≤k<3,则直线l的倾斜角α的取值范围为( )
A.0,π3∪3π4,π B.0,π6∪3π4,π
C.π6,3π4 D.0,π3∪3π4,π
7.(2023河南郑州金水月考)已知直线l的斜率为k,倾斜角为α,则“0<α≤π4”是“k≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题组二 直线的斜率公式及其应用
8.(2023重庆第十八中学月考)已知直线x=1,则其斜率为( )
A.不存在 B.0 C.1 D.2
9.(2023江苏常州十校调研)已知点A(-1,3),点B(3,-3),则直线AB的倾斜角为( )
A.30° B.45°
C.120° D.135°
10.(2023河南南阳六高月考)若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,则x=( )
A.-2 B.5 C.10 D.12
11.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为 .
12.(2022江苏南京三校联考)若A(3,1),B(-2,k),C(8,1)三点能构成三角形,则实数k的取值范围为 .
能力提升练
题组一 直线的倾斜角与斜率
1.(2023天津武清四校段考)已知A(-1,2),B(4,7),若过点C(2,0)的直线与线段AB相交,则该直线斜率的取值范围是( )
A.−23,72 B.−∞,−23∪72,+∞
C.−23,72 D.−∞,−23∪72,+∞
2.(2022天津新华中学月考)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是π4,3π4,则实数m的取值范围是 ( )
A.(0,2] B.(0,4)
C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4)
3.(2023重庆八中月考)已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α,β.若α<β,则下列关系不可能成立的是( )
A.0<k1<k2 B.k1<k2<0
C.k2<k1<0 D.k2<0<k1
题组二 直线斜率的综合运用
4.(2022辽宁葫芦岛检测)王老师在课堂上与学生探究直线时,有四位同学分别给出了一个结论.甲:直线经过点(1,2).乙:直线经过点(3,9).丙:直线经过点(0,-1).丁:直线的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.(2023北京昌平二中月考)已知点A(-1-3,-1),B(3,0),若点M(x,y)在线段AB上,则y−2x+1的取值范围是( )
A.−∞,−12∪[3,+∞) B.−1,−12
C.[-1,3] D.−12,12
6.(2023重庆质检)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥如图1所示,桥上共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列,示意图如图2所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为3.4 m,拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16 m.最短拉索的锚P1,A1满足|OP1|=66 m,|OA1|=86 m,则最长拉索所在直线的斜率为( )
A.±0.47 B.±0.45 C.±0.42 D.±0.40
7.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为 .
答案与分层梯度式解析
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
基础过关练
1.ABD
2.D
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.A
9.C
10.C
1.ABD 若直线的倾斜角为90°,则它的斜率不存在,故A中说法错误;例如倾斜角为23π的直线的斜率为−3,倾斜角为π3的直线的斜率为3,故B中说法错误;C中说法显然正确;若两直线的倾斜角均为90°,则它们的斜率均不存在,故D中说法错误.
2.D ∵直线的倾斜角θ的取值范围是0°≤θ<180°,
∴0°≤α-15°<180°,解得15°≤α<195°.故选D.
3.B 易知斜率为33的直线的倾斜角为30°,∴直线l的倾斜角为60°,∴直线l的斜率为tan 60°=3.故选B.
易错警示 倍数关系指的是倾斜角而不是斜率.
4.C 因为(1,-3)是直线l的一个方向向量,
所以直线l的斜率k=-3,所以直线l的倾斜角为120°.故选C.
5.B 由45°<α<135°可知,k>tan 45°=1或k<tan 135°=-1,所以k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.
方法点拨 由倾斜角确定斜率的范围时,注意倾斜角中若含90°,则以90°为“分界线”,把斜率的范围分为“两部分”.
6.D 由-1≤k<3,得-1≤tan α<3,又α∈[0,π),∴α∈0,π3∪3π4,π.故选D.
7.A 当0<α≤π4时,k=tan α∈(0,1],所以0<α≤π4⇒k≤1;当k≤1时,α∈0,π4∪π2,π,所以k≤1⇒/0<α≤π4,所以“0<α≤π4”是“k≤1”的充分不必要条件,故选A.
8.A 直线x=1的倾斜角为90°,故其斜率不存在.故选A.
9.C 由题得直线AB的斜率为3+3−1−3=−3,故直线AB的倾斜角为120°.
10.C ∵A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,∴直线AB,AC的斜率存在且相等,故8−(−2)4−(−1)=x−(−2)5−(−1),解得x=10.
11.答案 (3,0)或(0,-3)
解析 若点P在x轴上,设点P的坐标为(x,0),x≠2,则0−(−1)x−2=tan 45°=1,解得x=3,即P(3,0).若点P在y轴上,设点P的坐标为(0,y),则y−(−1)0−2=tan 45°=1,解得y=-3,即P(0,-3).综上,点P的坐标为(3,0)或(0,-3).
12.答案 k≠1
解析 由于A,B,C三点能构成三角形,故kAB≠kAC,即k−1−2−3≠1−18−3,解得k≠1.
能力提升练
1.B
2.B
3.C
4.B
5.A
6.C
1.B ∵A(-1,2),B(4,7),C(2,0),∴kAC=2−1−2=−23,kBC=74−2=72,
结合图形(图略)可知,若过点C(2,0)的直线与线段AB相交,则该直线斜率的取值范围是−∞,−23∪72,+∞.故选B.
2.B 设过点A(2,1),B(m,3)的直线为l.当直线l的倾斜角α的取值范围是π4,π2∪π2,3π4时,直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞),即2m−2<−1或2m−2>1,解得0<m<2或2<m<4.当直线l的倾斜角α为π2时,m=2.
综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B.
3.C 当0<α<β<π2时,0<k1<k2,故A中关系可能成立;当π2<α<β时,k1<k2<0,故B中关系可能成立,C中关系不可能成立;当0<α<π2<β时,k2<0<k1,故D中关系可能成立.故选C.
4.B 假设甲同学的结论错误,则乙、丙、丁同学的结论正确,由乙、丙同学的结论正确可知直线的斜率k=9−(−1)3−0=103,此时丁同学的结论不正确,故假设不成立.同理,可知乙同学的结论是错误的.故选B.
5.A 易知y−2x+1表示线段AB上的点与点(-1,2)连线的斜率.设Q(-1,2),则kQA=−1−2−1−3+1=3,kQB=0−23+1=−12,结合图形(图略)可知y−2x+1的取值范围为−∞,−12∪[3,+∞).故选A.
6.C 根据题意,得|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230 m,|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6 m,
则右侧最长拉索所在直线的斜率kA10P10=-tan∠OA10P10=-96.6230=-0.42,同理,左侧最长拉索所在直线的斜率kB10P10=0.42.故选C.
7.答案 110,0
信息提取 ①目标球从A(-2,3)无旋转射入;②经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过B(5,7).
数学建模 将台球中的无旋转反弹问题转化为光线的反射问题,运用的知识是①点关于线对称,求A点关于x轴的对称点A'或B点关于x轴的对称点B';②三点共线,即A',P,B三点共线或A,P,B'三点共线.再用所学公式解决问题.
解析 设P(x,0).易知A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-3),则kA'P=0−(−3)x−(−2)=3x+2,kA'B=7−(−3)5−(−2)=107.易知A',B,P三点共线,∴kA'P=kA'B,即3x+2=107,解得x=110,故点P的坐标为110,0.
解题模板 求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点经x轴上的P点反射至B点,则A点关于x轴的对称点A'与P,B共线,此直线为反射线所在直线;B点关于x轴的对称点B'与P,A共线,此直线为入射线所在直线.
9
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
