2024版高中同步新教材选择性必修第一册(人教A版)数学-第二章-直线和圆的方程-倾斜角与斜率.docx

第二章　直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.1　倾斜角与斜率
基础过关练
题组一　直线的倾斜角与斜率
1.(多选题)(2023湖南长沙中南博才高级中学月考)下列说法中,错误的是(　　)
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等
2.(2022北京贸大附中质检)已知直线l的倾斜角为α-15°,则下列结论中正确的是(　　)
A.0°≤α<180°　　　　B.15°<α<180°
C.15°≤α<180°　　　　D.15°≤α<195°
3.(2022辽宁朝阳期末)若直线l的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍,则l的斜率为(　　)
A.1　　B.3　　C.233　　D.−3
4.(2023辽宁沈阳二中月考)若直线l的一个方向向量为(-1,3),则它的倾斜角为(　　)
A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°
5.已知直线l的斜率为k,倾斜角为α,若45°<α<135°,则k的取值范围为(　　)
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.[-1,1]
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
6.(2023天津宝坻一中月考)设直线l的斜率为k,且-1≤k<3,则直线l的倾斜角α的取值范围为(　　)
A.0,π3∪3π4,π　　　　B.0,π6∪3π4,π
C.π6,3π4　　　　D.0,π3∪3π4,π
7.(2023河南郑州金水月考)已知直线l的斜率为k,倾斜角为α,则“0<α≤π4”是“k≤1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题组二　直线的斜率公式及其应用
8.(2023重庆第十八中学月考)已知直线x=1,则其斜率为(　　)
A.不存在　　B.0　　C.1　　D.2
9.(2023江苏常州十校调研)已知点A(-1,3),点B(3,-3),则直线AB的倾斜角为(　　)
A.30°　　　　B.45°　　
C.120°　　　　D.135°
10.(2023河南南阳六高月考)若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,则x=(　　)
A.-2　　B.5　　C.10　　D.12
11.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为　　　　　　. 
12.(2022江苏南京三校联考)若A(3,1),B(-2,k),C(8,1)三点能构成三角形,则实数k的取值范围为　　　　. 
能力提升练
题组一　直线的倾斜角与斜率
1.(2023天津武清四校段考)已知A(-1,2),B(4,7),若过点C(2,0)的直线与线段AB相交,则该直线斜率的取值范围是(　　)
A.−23,72　　　　B.−∞,−23∪72,+∞
C.−23,72　　　　D.−∞,−23∪72,+∞
2.(2022天津新华中学月考)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是π4,3π4,则实数m的取值范围是　(　　)
A.(0,2]　　　　B.(0,4)
C.[2,4)　　　　D.(0,2)∪(2,4)
3.(2023重庆八中月考)已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α,β.若α<β,则下列关系不可能成立的是(　　)
A.0D.k2<023重庆质检)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥如图1所示,桥上共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列,示意图如图2所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为3.4 m,拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16 m.最短拉索的锚P1,A1满足|OP1|=66 m,|OA1|=86 m,则最长拉索所在直线的斜率为(　　)

A.±0.47　　B.±0.45　　C.±0.42　　D.±0.40
7.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　. 

答案与分层梯度式解析
第二章　直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.1　倾斜角与斜率
基础过关练
1.ABD
2.D
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.A
9.C
10.C

1.ABD　若直线的倾斜角为90°,则它的斜率不存在,故A中说法错误;例如倾斜角为23π的直线的斜率为−3,倾斜角为π3的直线的斜率为3,故B中说法错误;C中说法显然正确;若两直线的倾斜角均为90°,则它们的斜率均不存在,故D中说法错误.
2.D　∵直线的倾斜角θ的取值范围是0°≤θ<180°,
∴0°≤α-15°<180°,解得15°≤α<195°.故选D.
3.B　易知斜率为33的直线的倾斜角为30°,∴直线l的倾斜角为60°,∴直线l的斜率为tan 60°=3.故选B.
易错警示　倍数关系指的是倾斜角而不是斜率.
4.C　因为(1,-3)是直线l的一个方向向量,
所以直线l的斜率k=-3,所以直线l的倾斜角为120°.故选C.
5.B　由45°<α<135°可知,k>tan 45°=1或kk≤1”的充分不必要条件,故选A.
8.A　直线x=1的倾斜角为90°,故其斜率不存在.故选A.
9.C　由题得直线AB的斜率为3+3−1−3=−3,故直线AB的倾斜角为120°.
10.C　∵A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,∴直线AB,AC的斜率存在且相等,故8−(−2)4−(−1)=x−(−2)5−(−1),解得x=10.
11.答案　(3,0)或(0,-3)
解析　若点P在x轴上,设点P的坐标为(x,0),x≠2,则0−(−1)x−2=tan 45°=1,解得x=3,即P(3,0).若点P在y轴上,设点P的坐标为(0,y),则y−(−1)0−2=tan 45°=1,解得y=-3,即P(0,-3).综上,点P的坐标为(3,0)或(0,-3).
12.答案　k≠1
解析　由于A,B,C三点能构成三角形,故kAB≠kAC,即k−1−2−3≠1−18−3,解得k≠1.
能力提升练
1.B
2.B
3.C
4.B
5.A
6.C

1.B　∵A(-1,2),B(4,7),C(2,0),∴kAC=2−1−2=−23,kBC=74−2=72,
结合图形(图略)可知,若过点C(2,0)的直线与线段AB相交,则该直线斜率的取值范围是−∞,−23∪72,+∞.故选B.
2.B　设过点A(2,1),B(m,3)的直线为l.当直线l的倾斜角α的取值范围是π4,π2∪π2,3π4时,直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞),即2m−2<−1或2m−2>1,解得0时丁同学的结论不正确,故假设不成立.同理,可知乙同学的结论是错误的.故选B.
5.A　易知y−2x+1表示线段AB上的点与点(-1,2)连线的斜率.设Q(-1,2),则kQA=−1−2−1−3+1=3,kQB=0−23+1=−12,结合图形(图略)可知y−2x+1的取值范围为−∞,−12∪[3,+∞).故选A.
6.C　根据题意,得|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230 m,|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6 m,
则右侧最长拉索所在直线的斜率kA10P10=-tan∠OA10P10=-96.6230=-0.42,同理,左侧最长拉索所在直线的斜率kB10P10=0.42.故选C.
7.答案　110,0
信息提取　①目标球从A(-2,3)无旋转射入;②经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过B(5,7).
数学建模　将台球中的无旋转反弹问题转化为光线的反射问题,运用的知识是①点关于线对称,求A点关于x轴的对称点A'或B点关于x轴的对称点B';②三点共线,即A',P,B三点共线或A,P,B'三点共线.再用所学公式解决问题.
解析　设P(x,0).易知A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-3),则kA'P=0−(−3)x−(−2)=3x+2,kA'B=7−(−3)5−(−2)=107.易知A',B,P三点共线,∴kA'P=kA'B,即3x+2=107,解得x=110,故点P的坐标为110,0.
解题模板　求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点经x轴上的P点反射至B点,则A点关于x轴的对称点A'与P,B共线,此直线为反射线所在直线;B点关于x轴的对称点B'与P,A共线,此直线为入射线所在直线.

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