2021北京重点校高一(上)期中数学汇编：指数函数与对数函数.docx

2021北京重点校高一（上）期中数学汇编
指数函数与对数函数2
一、单选题
1．（2021·北京·清华附中高一期中）下列函数中能说明“若函数满足，则在内不存在零点”为假命题的函数是（    ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知，则的值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京·人大附中高一期中）某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，如果要使每天所赚的利润最大，那么他应将销售价每件定为（    ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．14元
4．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）若，，，则、、的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
5．（2021·北京·人大附中高一期中）某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，则该同学在下次应计算的函数值为（    ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
7．（2021·北京市第十三中学高一期中）在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）
A．（1.4，2） B．（1，1.4） C．(1,1.5) D．(1.5,2)
二、填空题
8．（2021·北京八十中高一期中）设方程的解的个数为m，则m可能的值有________．
9．（2021·北京八十中高一期中）函数的零点有________个．
10．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）比较大小：___________（填“”或“”）.
11．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）计算：___________.
12．（2021·北京·人大附中高一期中）设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.
13．（2021·北京·人大附中高一期中）对任意的实数，表示不大于的最大整数，则函数的零点为______.
14．（2021·北京市第十三中学高一期中）若方程在内恰有一解，则实数的取值范围是______.
15．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）_____________.
三、双空题
16．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在A模式下元件温度保持不变；从A模式切换到B模式后，在B模式下，元件温度（单位）与通电累积时间（即从通电时刻开始累积计时，单位）的乘积保持不变；从B模式再切换到A模式后，原件温度继续保持不变……现将该元件通电，初始温度为，已知在这四个时刻下的元件温度如表所示，而在时间内随变化的图像如图所示.请根据以上信息推断：___________；___________.
通电累积时间（单位）
1
3
6
12
元件温度（单位℃）
30
20
15
10

四、解答题
17．（2021·北京八十中高一期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式，以及零点．
(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明．
(3)判断函数在区间上的单调性．（只需写出结论）
(4)在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域R上的示意图．
18．（2021·北京八十中高一期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12的部分
3元/
超过12但不超过18的部分
6元/
超过18的部分
9元/
(1)求出每月用水量和水费之间的函数关系；
(2)若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？
19．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数的图象过点，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最小值；
（3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值．
20．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）.在甲提供的资料中，有：①这种消费品进价每件14元；②该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系如图；③每月需要各种开支2000元.

（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？
（Ⅱ）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额.
（Ⅲ）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？

参考答案
1．A
【分析】根据已知条件逐一检验四个函数，满足，在内存在零点即为符合题意的函数.
【详解】对于A：对于函数，，，
所以函数满足，在内存在零点，所以可说明命题为假命题符合题意，故选项A符合题意；
对于B：对于函数， ，所以不满足，故选项B不符合题意；
对于C：对于函数，，由可得，此函数在内不存在零点，不能说明命题是假命题，故选项C不符合题意；
对于D：对于函数，，，此函数在内不存在零点，不能说明命题是假命题，故选项D不符合题意；
故选：A.
2．D
【分析】根据对数恒等式及幂的运算性质计算可得；
【详解】解：因为，所以

故选：D
3．D
【分析】列出利润关于售价的函数关系式，结合二次函数即可求解
【详解】解：设售价为元，则提高价格为元，少买商品数为，实际单品利润为元，实际卖出，
实际利润为，当时，利润有最大值.
故选：D
4．D
【解析】利用指数函数比较、、三个数的大小关系，利用指数函数的单调性比较与的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】，即，又，因此，.
故选：D.
5．C
【分析】根据二分法分析即可求解.
【详解】，
零点在内，
下次应计算的函数值
故选：C
6．B
【解析】根据定义的运算法则化简函数的解析式，并求出的取值范围，函数的图象与轴恰有两个公共点转化为，图象的交点问题，结合图象求得实数的取值范围．
【详解】由题意知，若，即时，；
当，即或时，，
所以函数，
由图可知，当时函数 与的图象有两个公共点，
的取值范围是，
故选：B.

【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，考查零点问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．D
【分析】本题由二分法可知对于区间（1，2）内下一个取值为1和2的平均数，结合1和2的函数值正负与平均数的正负即可得到结果
【详解】解：由已知令f（x）＝x3﹣2x﹣1，所以f（1）＝﹣2，f（2）＝3；
由二分法知计算f（1.5）＝﹣0.625＜0，
故由f（1）＜0，f（2）＞0；
所以方程的跟位于区间（1.5，2）内．
故选D
【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．
8．0或2或3或4
【分析】作出图形，通过数形结合得到答案.
【详解】设，如图所示（直线仅画出一种情形）：

则当a>3或a=0时，有2个交点；
当a=3时，有3个交点；
当0<a<3时，有4个交点；
当a<0时，没有交点.
故答案为：0或2或3或4.
9．1
【分析】令解方程，即可得解；
【详解】解：因为，令，即，解得
故函数有1个零点；
故答案为：1
10．
【分析】由于，，所以通过比较的大小可得答案
【详解】因为，
，
，
所以，即，
故答案为：
11．2
【分析】直接利用对数的运算性质求解即可
【详解】，
故答案为：2
12．##
【分析】问题转化为函数与直线有三个不同交点，分作出函数图象，数形结合即可求解.
【详解】,
若函数有且仅有3个零点,则函数的图象与直线有三个不同的交点，
，当且仅当时等号成立，
当时，如图：

即可，
解得，
当时, 如图：

即可，
解得，
综上，
故答案为：
13．
【解析】将问题转化为的根的问题，结合，，求解不等式，分别讨论即可得解.
【详解】由题意得，.
令得，，
所以，解得或，
从而或.
当时，，解得，，与矛盾，故舍去；
当时，，，符合题意.
故函数的零点为.
故答案为：.
【点睛】此题考查函数零点问题，将问题等价转化为分类讨论求解，关键在于准确进行等价转化.
14．
【分析】解方程得到，在内恰有一解，代入得到不等式解得答案.
【详解】当时，方程无解，不满足
当时，则
方程在内恰有一解
即 解得
故答案为
【点睛】本题考查了方程的解，也可以利用函数的零点来求解，忽略掉的情况是容易犯的错误.
15．
【分析】根据指数幂的运算性质与运算法则计算.
【详解】
【点睛】本题考查指数幂的乘除混合运算，考查指数幂的运算性质和乘除运算法则，考查了推理能力与计算能力.
16．         
【分析】根据图像得到分段函数解析式，得到，，，， 解得答案.
【详解】根据题意知：，，
故，，即，，即，，即，
故.
故答案为：；.
17．(1)，零点为；
(2)在上是单调递减，证明见解析．
(3)函数在区间上单调递增．
(4)函数图象见解析；
【分析】（1）依题意根据奇函数的性质得到，再由，即可求出、，从而求出函数解析式，再令，求出，即可得到函数的零点．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可
（3）结合函数单调性的性质给出结论即可
（4）结合函数的单调性作出草图即可．
(1)
解： 是定义在上的奇函数，
，
，
又，解得，
．
令，即，解得，所以函数的零点为；
(2)
解：在上是单调递减．
证明：设，
则，
，
，，，
，即，
在上单调递减．
(3)
解：函数在区间上单调递增．
证明：设，
则，
，
，，，
，即，
在上单调递增．
(4)
解：因为，函数图象如下所示：

18．(1)
(2)15
【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；
（2）由（1）分，，三种情况讨论即可的解．
(1)解：当时，，
当时，，
当时，，
关于的函数解析式为：；
(2)解：当时，，解得舍去，
当时，，解得，
当时，，解得舍去，
综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为15.
19．（1）；（2）；（3）6.
【分析】（1）根据函数的图象过点，得到，再根据，由对称性求得m即可；
（2）根据，，分， ，，讨论求解；
（3）根据不动点的定义得到方程有两个不相等的正实根，，由，求得t的范围，再由，利用基本不等式求解.
【详解】（1）因为函数的图象过点，
所以
又，
所以，解得，
所以函数的解析式为：．
（2），，
当，即时，函数在上单调递减，
所以，
当，即时，函数在上单调递减，
在单调递增，所以；
当时，函数在上单调递增，
所以．
综上：
（3）因为函数有两个不相等的不动点，，
且，
所以，即方程有两个不相等的正实根，．
所以，即，所以．
，
因为，所以，，
所以
当且仅当，即时，取“=”．
所以，所以的最小值为6．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）当商品价格每件元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，且最大余额为元；（Ⅲ）不能.
【解析】根据题中条件，先确定月销量（百件）与销售价格（元）的函数关系式，设每月的利润余额为，得出与之间函数关系式；
（Ⅰ）令，求解对应不等式，即可求出结果；
（Ⅱ）根据与之间函数关系式，结合二次函数的性质，求出的最大值，以及取最大值时的值，即可确定结果；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中最大值，计算三年的利润余额的最大值，即可判断出结果.
【详解】由该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系图可得，
当时，；
当时，，
设每月的利润余额为，由题意，，
（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，则；
当时，由得，整理得，解得，则；
当时，由得，整理得，解得，则，
综上，，
即为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在内；
（Ⅱ）当时，，当且仅当（元）时，；
当时，，当且仅当（元）时，；
因为，所以当商品价格每件元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，且最大余额为元；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，月利润余额最大为元，则三年利润余额的总和最大为，故不能在3年内脱贫.
【点睛】思路点睛：
求解函数模型问题时，通常需要根据题中所给条件，建立适当的函数模型（有时题中会给定函数模型），再利用函数基本性质，即可求解.
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