2023届高考数学一轮复习-第4讲-随机事件的概率、古典概型.doc

第4讲　随机事件的概率、古典概型

考向预测
核心素养
考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率及古典概型，常与事件的频率交汇考查．题型以选择题、填空题为主，中低档难度.
数学建模、数学抽象

[学生用书P262])

一、知识梳理
1．随机事件
(1)事件的分类

(2)两个事件的关系和运算
事件的关系或运算
含义
符号表示
图形表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B

并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B

交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB

互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝∅

互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝∅，且A∪B＝Ω

2.频率与概率
(1)频率与概率的区别及联系

区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同
对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)
概率
本身是一个在[0，1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变
(2)概率的几个基本性质
①概率的取值范围：0≤P(A)≤1；
②必然事件的概率P(Ω)＝1；
③不可能事件的概率P(∅)＝0.
(3)概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．　
②若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．　
3．古典概型
(1)古典概型的特点

(2)古典概型的概率公式
P(A)＝.
二、教材衍化
1．(人A必修第二册P233练习T2改编)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中错误的是(　　)
A．A与C互斥　　 B.B与C互斥
C．任何两个都互斥 D.任何两个都不互斥
解析：选D.A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，A与B互斥，C为{三件产品有次品，但不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，由此知，A与C是互斥事件，B与C是互斥事件，故选D.
2．(人A必修第二册P227例1改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上则记为0，则这个试验的样本空间中有________个样本点．
解析：这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，0，0)}，共8个样本点．
答案：8
3．(人A必修第二册P263复习参考题10T3改编)一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000辆汽车的信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．
解析：频率是概率的近似值，故其概率近似等于＝0.03.
答案：0.03

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)必然事件一定发生．(　　)
(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)
(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　)
(4)抛掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1．(多选)(对互斥事件理解不透致误)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：选BCD.排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选BCD.
2．(对概率的理解不到位致误)某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是(　　)
A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨
B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨
C．明天本地降雨的机会是80%
D．以上说法均不正确
解析：选C.选项A，B显然不正确．因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.
3．(频率与概率区分不清致误)把一枚质地均匀的硬币连续掷了1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．
解析：掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.
答案：0.5
[学生用书P264])
考点一　事件的关系与运算(自主练透)
复习指导：了解随机事件的含义，了解事件互斥、对立，会对事件进行分解．
1．下列事件中是必然事件的是(　　)
A．长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形
B．经过有信号灯的路口，遇上红灯
C．下周六是晴天
D．一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上
答案：A
2．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品都不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G对立
解析：选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B不正确，D正确．
3．(多选)下列说法错误的是(　　)
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥．则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
解析：选BCD.对于A，对立事件是互斥事件中其中一个不发生，另一个必然发生的事件，所以正确．对于B，只有互斥事件才满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都满足，故B错误．对于C，若事件A，B，C两两互斥，不一定(A∪B)是C的对立事件，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，C错误；对于D，对立事件的概率之和为1，但概率之和为1的两个事件不一定是对立事件，D错误．

事件的关系运算策略
(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．
考点二　频率与概率(综合研析)
复习指导：在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．
某人

在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：

X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

Y
51
48
45
42
频数

4

(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
【解】　(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下．

Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.

(1)概率与频率的关系

(2)随机事件概率的求法

|跟踪训练|
1．下列说法正确的是(　　)
A．某人射击10次，中靶7次，则此人中靶的概率为0.7
B．一位同学做抛硬币试验，抛6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行一种彩票，回报率为47%，若有人花了100元钱买此种彩票，则一定会有47元的回报
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡病人服用此药，则可估计有明显疗效的概率约为0.76
解析：选D.A项，此人中靶的频率为0.7，是一个随机事件，错误；B项是一个随机事件，不一定有3次“正面朝上”，错误；C项是一个随机事件，中奖或不中奖都有可能，但事先无法预料，错误；D正确．
2．某家庭记录了使用了节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)，得到如下频数分布表：
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6]
频数
1
5
13
10
16
5
估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率为________．
解析：由题意得，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
答案：0.48
考点三　古典概型(多维探究)
复习指导：通过实例，理解古典概型及其概率的计算公式，会用列举法计算一些随机事件发生的概率．
角度1　古典概型的概念
(多选)下列概率模型中，是古典概型的有(　　)
A．从集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率
B．从集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率
C．从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球(除颜色外其他均相同)，求取到一白一红的概率
D．向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向上的概率
【解析】　A不是古典概型．因为从区间[1，10]内任取一个数，虽满足“等可能性”，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限性”这个条件．B是古典概型．因为试验结果只有10个，并且每个数被抽到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具备“等可能性”．同理，C是古典概型．D不是古典概型．虽然试验的结果只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”．
【答案】　BC
角度2　古典概型的应用
(1)(2022·皖江联盟7月联考)甲、乙两人玩说数字游戏．如果甲说的数字记为a，乙说的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．若a，b差的绝对值不超过1，则称甲、乙“心有灵犀”．那么甲、乙“心有灵犀”的概率是(　　)
A.　 　 B.　 　
C.　 　 D.
(2)(2022·四川省巴中市高三上学期测试)接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗工作，截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗(腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新型冠状病毒疫苗)供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若甲、乙、丙、丁4人去接种新冠疫苗，则恰有两人接种同一种疫苗的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　(1)若a，b差的绝对值不超过1，即|a－b|≤1，则有|a－b|＝1和a＝b两种情况．因此对a＝0，9各有2种情况，即当a＝0时，b＝0，1；当a＝9时，b＝8，9.对a＝1，2，3，4，5，6，7，8各有3种情况，即当a＝1时，b＝0，1，2，当a＝2时，b＝1，2，3.当a＝3时，b＝2，3，4，…，当a＝8时，b＝7，8，9.从而甲、乙“心有灵犀”所包含的样本点个数是4＋8×3＝28.而样本点总数是10×10＝100，所以甲、乙“心有灵犀”的概率是P＝＝.
(2)由题意，每位接种者可等可能地从3种中任选一种接种，由分步乘法计数原理知，共有34＝81个样本点；恰有两人接种同一种疫苗，可先从4人中任选两人并成一组，再与另两人一起按三种疫苗的顺序排成一排，故恰有两人接种同一种疫苗共有C A＝36个样本点，由古典概型概率计算公式得P＝＝.
【答案】　(1)C　(2)A

(1)古典概型中样本点的探求方法

(2)利用公式法求解古典概型问题的步骤

|跟踪训练|
1．(2022·全国重点中学高考冲刺)湖泊不仅是中国地理环境的重要组成部分，还蕴藏着丰富的自然资源．综合实践活动课上，小王要从青海湖、西湖、千岛湖、纳木错湖等10个湖泊中随机选取3个进行介绍，则青海湖与纳木错湖至少有一个被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.从10个湖泊中任选3个的选法有C＝120(种)，青海湖与纳木错湖只有1个被选中的选法有CC＝56(种)，青海湖与纳木错湖都被选中的选法有CC＝8(种)．故所求事件的概率P＝＝.故选B.
2．(2022·丰城九中高三周考)孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数．在不超过32的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.不超过32的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11个，又素数对(p，p＋2)为孪生素数，所以不超过32的素数组成的孪生素数对有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，(29，31)共5对，所以能够组成孪生素数的概率为P＝＝.故选B.
[学生用书P374(单独成册)])
[A　基础达标]
1．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A．恰有一次击中 B.三次都没击中
C．三次都击中 D.至多击中一次
解析：选D.根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：

选A.如图，从O，A，B，C，D 5个点中任取3个有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共10个样本点.3点共线有(O，A，C)与(O，B，D)共2个样本点，由古典概型的概率计算公式知，取到的3点共线的概率为＝.
3.

(2022·渭南市高三联考)五行学说是中华民族创造的哲学思想．古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系．若从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，则这两种元素恰是相生关系的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意，从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)，共10个样本点，其中两种元素恰是相生关系包含(金，水)，(木，火)，(土，金)，(水，木)(火，土)共5个样本点，所以所求概率P＝＝.
4.

(2022·贵州省重点中学高三联考)中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意可知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，
相当于“横横横竖竖”五个汉字排成一列，有C＝10条路线．
其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，分两步，第一步，“横横竖”三个汉字排成一列；
第二步，“横竖”两个汉字排成一列，共有C×C＝6条路线．
故所求概率为＝.
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
解析：选BCD.对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确．对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取得《红楼梦》”，“丁取得《红楼梦》”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，B正确．对于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，C正确．对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确．
6．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中任意取出2粒都是黑子的概率为，从中任意取出2粒都是白子的概率为.那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
解析：设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即“从中任意取出2粒恰好是同一色”的概率为.
答案：
7.

(2022·惠州市高三调研)一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则C与D相邻的概率为________．
解析：B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，共有A＝6种等可能情况，要使C与D不相邻，则B必坐在A的对面，此时C与D的坐法共有2种情况，所以根据古典概型求概率公式可知C与D相邻的概率为＝.
答案：
8．(2022·云南师大附中高三月考)2021年河北等八省举行首次“3＋1＋2”的新高考模式，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选考2门科目．则甲、'乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中各有一门科目相同的条件下两人均选化学的概率为________．
解析：甲、乙两人选考科目相同的1科在物理或历史，另1科在“思想政治、地理、化学、生物4门”中，CCA＝48种方法，其中甲、乙两人均选化学的有CA＝12种方法，则甲、乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中各有一门科目相同的条件下两人均选化学的概率为P＝＝.
答案：
9．袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，则得到黑球的概率是________，得到黄球的概率是________．
解析：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝①，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝②，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝③.
由事件A和事件B∪C∪D是对立事件可得
P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，
即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝④.
联立②③④可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.
答案：　
10．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.
(2)方法一：设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A，B1，B2，B3，C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有样本点为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15个．
每个样品被抽到的机会相等，因此这些样本点的出现是等可能的．记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个．所以P(D)＝.
即这2件商品来自相同地区的概率为.
方法二：这2件商品来自相同地区的概率为＝.
[B　综合应用]
11.

如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有CC＝210(种)．因为不能连续向上，所以最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有CC＝60(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝＝.故选B.
12．(多选)(2022·潍坊四中高三检测)已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则(　　)
A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为
B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为
C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为
D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为
解析：选ACD.对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为P＝，故A对；对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为P＝＝，故B错；对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率P＝＝，故C对；对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率P＝·＋·＝.
13.

(2022·上海市进才中学高三月考)从如图11个点中任取三个点，则所取的三个点能构成三角形的概率为________．
解析：从11个点中任取三个点，有C种取法，
由题图得三个点在一条直线上的情况有7＋2C＝15，
所以所取的三个点能构成三角形的概率为＝.
答案：
14．(2022·泰安肥城三模)已知大于3的素数只分布在{6n－1}和{6n＋1}两数列中(其中n为非零自然数)．数列{6n－1}中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列{6n＋1}中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数．则从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是________．
解析：30以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，其中阴性素数有5，11，17，23，29，共5个，阳性素数有7，13，19，共3个．因此，所求概率为P＝＝.
答案：
[C　素养提升]
15.

算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．如图，若拨珠的三档从左至右依次定位：百位档、十位档、个位档，则表示数字518.若在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被5整除的概率为________．
解析：所拨数字共有CC＝24种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0，当个位数字为5时，则个位档拨一颗上珠，其他三档选择两个档位各拨一颗下珠，有C＝3种；当个位数字为0时，则个位档不拨珠，其他三档选择一档位拨一颗上珠，再选择两个档位各拨一颗下珠，有CC＝9种，所以所拨数字能被5整除的概率为＝.
答案：
16．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
解：(1)分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的数字比3大的概率是.
(3)不公平．甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.
因为<，所以此游戏不公平．