解析：湖南省邵阳市武冈市第二中学2020-2021学年高一下学期第三次月考数学试题(原卷版).doc

武冈二中2021年上学期高一年级第三次月考
数学试题
（满分150分，考试用时120分钟）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 已知复数满足，则
A. 1 B. C. 2 D. 3
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是
A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
4. 如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（ ）

A 4 B. C. D. 6
5. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 在空间中，四边相等的四边形是菱形
B. 过两异面直线外一点有且只有一个平面与两异面直线都平行
C. 一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面垂直，则这两个二面角的平面角相等或互补
D. 不存在所有棱长都相等的正六棱锥
6. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知三棱锥中，，，则此几何体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则的最小值为 D. 若，则
10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）

A. 样本中女生人数多于男生人数 B. 样本中层人数最多
C. 样本中层次男生人数为6人 D. 样本中层次男生人数多于女生人数
11. 如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.对于该几何体，则（ ）

A.
B.
C. 新几何体有7个面
D. 新几何体的六个顶点在同一个球面上
12. 在棱长为的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，的半径分别为，，则（ ）
A. ，，，四点不共线
B
C. 这两个球的体积之和的最小值是
D. 这两个球的表面积之和的最小值是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知数据，，，…，的平均数为10，方差为2，则数据，，，…，的平均数为________，方差为________.
14. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为____________.
15. 如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则____________，的最小值是____________.

16. 正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是____________.（写出所有正确命题的编号）

①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，面积为；
③当，时，设与棱的交点为，则；
④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 2020年是我国全面打赢脱贫攻坚战收官之年．某山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展当地的特色黄桃种植产业．为了了解某村黄桃的质量（单位：克）分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下了n个黄桃组成样本进行测重，其质量分布在区间[225，525]内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，已知质量分布在区间[275，325）内的有16个．

（1）求n的值和质量落在区间[425，475）内的黄桃个数；
（2）已知该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以20元/千克的价格收购该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入．
18. 如图，在长方体中，，.

（1）求证：直线平面；
（2）求三棱锥的外接球的体积.
19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量＝（4sinx，4），＝（cosx，sin2x），函数在△ABC中，，且____，求2b+c的取值范围．
20. 如图，在四棱锥中，，，，，锐角，平面平面.

（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
21. 如图，某市有一条从正南方向AO通过市中心O后向东偏北30°的OB方向的公路，现要修建一条地铁L，在OA、OB上各设一站A，B，地铁线在AB部分为直线段，现要求市中心O到AB的距离为10km.

（1）若，求OB之间的距离；
（2）求AB之间距离的最小值.
22. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.

（1）求证：平面；
（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由.

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