《备战2023年高考数学一轮复习》课时作业-第十章-第2节-二项式定理.docx

第2节　二项式定理

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
二项展开式的特定项或项的系数
1,3,4,7,9
14

二项式系数的性质、系数和
2,5,6
10,11,13

二项式定理的简单应用
8
12
15,16

1.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是(　D　)
A.60 B.80 C.84 D.120
解析:(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是C22+C32+C42+…+C92=C43+C42+…+C92=C103=120.故选D.
2.(2021·山西大同调研)若(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(　B　)
A.210 B.180 C.160 D.175
解析:由(x-2x2)n的展开式中只有第六项的二项式系数Cn5最大,则n=
10,则展开式的通项为Tr+1=C10r(-2)rx5-5r2.令5-5r2=0,得r=2,所以展开式中的常数项为C102×(-2)2=180.故选B.
3.(2021·广东广州高三二模)(x2+1)(2x-1x)6的展开式中的常数项是(　C　)
A.160 B.100 C.-100 D.-160
解析:(2x-1x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6-r(-1x)r=(-1)r·26-rC6rx6-2r,
令6-2r=-2,解得r=4;令6-2r=0,解得r=3,
所以(x2+1)(2x-1x)6展开式中的常数项为4C64-8C63=60-160=-100.故
选C.
4.(2021·河北唐山模拟)在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是(　B　)
A.-10 B.0 C.10 D.20
解析:法一　(x-y)5的展开式的通项为Tk+1=(-1)kC5kx5-kyk(k=0,1,2,3,4,
5),所以(x+y)(x-y)5的展开式的通项为(-1)kC5kx6-kyk或(-1)kC5kx5-kyk+1,
则当k=3时,有(-1)kC5kx6-kyk=-10x3y3,
当k=2时,有(-1)kC5kx5-kyk+1=10x3y3,所以x3y3的系数为0.故选B.
法二　(x+y)(x-y)5=(x+y)(x-y)·(x-y)(x-y)·(x-y)(x-y),要想出现x3y3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x,最后在余下的三个多项式中取-y,所以有xC52x2(-y)3=-10x3y3;(2)先在第一个多项式中取y,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式中取x,最后在余下的两个多项式中取-y,所以有yC53x3(-y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0.故选B.
5.(多选题)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是(　ACD　)
A.a0=1
B.a1+a2+a3+a4+a5=2
C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=35
D.a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=-1
解析:因为(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=0,则a0=15=1,故A正确;
令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故B
错误;
令x=-1,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,故C正确;
因为二项式(1-2x)5的展开式的第r+1项为Tr+1=C5r(-2)rxr,
所以当r为奇数时,C5r(-2)r为负数,即ai<0(其中i为奇数),
所以a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,故D正确.故选ACD.
6.(2021·四川自贡高三三模)已知(x+1)n的展开式二项式系数的和为128,则Cn0-Cn12+Cn24+…+Cnn(-2)n=　　　　. 
解析:由已知可得2n=128,解得n=7,
所以二项式(x+1)7=(1+x)7的展开式的通项公式为Tr+1=C7rxr.
令x=-2,则二项式的展开式为C70×(-2)0+C71×(-2)1+C72×(-2)2+…+C77×(-2)7=C70-C71×2+C72×4+…+C77×(-2)7=(1-2)7=-1.
答案:-1
7.若(x+12x)n(n≥4,n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列,则n=　　　　. 
解析:(x+12x)n的展开式的通项Tr+1=Cnrxn-r·(12x)r=Cnr2-rxn-2r,则前三项的系数分别为1,n2,n(n-1)8,由其依次成等差数列,得n=1+n(n-1)8,解得n=8或n=1(舍去),故n=8.
答案:8
8.已知(a2+1)n的展开式中的二项式系数之和等于(165x2+1x)5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54,则正数a的值为　　　　. 
解析:(165x2+1x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(165x2)5-r(1x)r=C5r(165)5-rx20-5r2.
令20-5r=0,得r=4,
故常数项T5=C54×165=16,
又(a2+1)n的展开式中的二项式系数之和为2n,
由题意得2n=16,所以n=4,
所以(a2+1)4的展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,
从而C42(a2)2=54,所以a=3.
答案:3
9.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比是14∶3;
②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55;
③Cn+12-Cnn-2=10.
已知在(x-13x)n的展开式中,　　　　. 
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中含x5的项.
解:可知Tr+1=Cnr(x)n-r(-13x)r=
Cnr(-1)rx3n-5r6,
方案一:选条件①,
(1)由题可知Cn4(-1)4Cn2(-1)2=143,
所以n!4!(n-4)!×2!(n-2)!n!=143,
所以n2-5n-50=0,
解得n=10或n=-5(舍去),
所以展开式共有11项,其中二项式系数最大的项是第6项,
T6=C105(-1)5x56=-252x56,
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,T6=-252x56.
(2)由(1)知n=10,Tr+1=C10r(-1)rx5-5r6,
令5-56r=5,所以r=0,所以T1=x5,
所以展开式中含x5的项是第一项,即x5.
方案二:选条件②,
(1)由题可知Cn1+Cnn-2=Cn1+Cn2=n2+n2=55,
整理得n2+n-110=0,解得n=10或n=-11(舍去),
所以展开式共有11项,其中二项式系数最大的项是第6项,
T6=C105(-1)5x56=-252x56,
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,T6=-252x56.
(2)同方案一(2).
方案三:选条件③,
(1)Cn+12-Cnn-2=Cn+12-Cn2=Cn1=10,
所以n=10,
所以展开式共有11项,其中二项式系数最大的项是第6项,
T6=C105(-1)5x56=-252x56,
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,T6=-252x56.
(2)同方案一(2).

10.(多选题)(2021·辽宁沈阳模拟)已知(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,设(3x-1)n的展开式的二项式系数之和为Sn,Tn=a1+a2+…+an,则(　BC　)
A.a0=1
B.Tn=2n-(-1)n
C.n为奇数时,Sn<Tn;n为偶数时,Sn>Tn
D.Sn=Tn
解析:由题意知Sn=2n,令x=0,得a0=(-1)n,令x=1,得a0+a1+a2+…+an=2n,所以Tn=2n-(-1)n.故选BC.
11.(多选题)(2021·河北邯郸模拟)已知(3x2+1x)4的展开式中各项系数之和为A,第二项的二项式系数为B,则(　ABD　)
A.A=256
B.A+B=260
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x2项的系数为54
解析:令x=1,得(3x2+1x)4的展开式中各项系数之和为44=256,所以A=
256,选项A正确;(3x2+1x)4的展开式中第二项的二项式系数为C41=4,所以B=4,A+B=260,选项B正确;
(3x2+1x)4的展开式的通项为
Tr+1=C4r(3x2)4-r(1x)r=34-rC4rx8-3r,
令8-3r=0,则r=83,所以展开式中不存在常数项,选项C错误;令8-3r=2,则r=2,所以展开式中含x2项的系数为34-2×C42=54,选项D正确.故选ABD.
12.(2021·山东青岛模拟)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),设Sn=a0+a1+a2+…+an,数列{1Sn}的前n项和为Tn,当|Tn-1|≤12 020时,n的最小整数值为　　　　. 
解析:因为(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),令x=1,得Sn=a0+a1+
a2+…+an=2n,所以1Sn=12n,所以Tn=12(1-12n)1-12=1-12n,所以|Tn-1|≤12 020,即为12n≤12 020,所以n≥11,即n的最小整数值为11.
答案:11
13.二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和;
(4)各项系数绝对值之和.
解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为
C90+C91+C92+…+C99=29.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1,①
令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-…-a9=59,②
①+②得a0+a2+a4+a6+a8=59-12,此即为所有奇数项系数之和.
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,
令x=1,y=-1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=59,此即为各项系数绝对值之和.
14.在①展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64∶1,②展开式中前三项的二项式系数之和为22,这两个条件中任选一个条件,补充在下面问题中的横线上,并完成解答.问题:已知二项式(1+3x)n,　　　　. 
(1)求展开式中系数最大的项;
(2)求(1+3x)n(1-x)5中含x2项的系数.
解:选条件①.令x=1,得展开式中所有项的系数之和为4n,又展开式中所有项的二项式系数之和为2n,所以4n2n=2n=64,解得n=6.
选条件②.由前三项的二项式系数之和为22,得Cn0+Cn1+Cn2=22,即1+n+
n(n-1)2=22,可得n=6.
(1)(1+3x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r3rxr(r=0,1,2,3,4,5,6).
设展开式中系数最大的项为第r+1项,
则C6r3r≥C6r+13r+1,C6r3r≥C6r-13r-1,即16-r≥3r+1,3r≥17-r,解得174≤r≤214,又0≤r≤6,r∈N,所以r=5,
故展开式中系数最大的项为T6=C65·(3x)5=1 458x5.
(2)由题得(1+3x)n(1-x)5=(1+3x)6(1-x)5,故含x2项的系数为C52+C62×
32+C61×3×C51×(-1)=55.

15.(多选题)(2021·重庆八中高三模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱图形,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗愿:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,若f(x)=(mnx3-1x)8,则(　BC　)

A.f(x)的展开式中的常数项是56
B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0
C.f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70
D.f(i)=-16,其中i为虚数单位
解析:设内切球的半径为r,则圆柱的高为2r,
所以m=πr2·2r43πr3=32,n=2πr2+2πr·2r4πr2=32,所以mn=1,所以f(x)=(x3-1x)8.
对于A,f(x)的展开式的通项为
Tr+1=C8rx24-3r·(-1x)r=(-1)rC8rx24-4r,
令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)的展开式的常数项为(-1)6C86=28,A
错误;
对于B,f(1)=0,即f(x)的展开式的各项系数之和为0,B正确;
对于C,f(x)的展开式中二项式系数最大值为C84=70,C正确;
对于D,f(i)=(i3-1i)8=(-i+i)8=0,D错误.故选BC.
16.已知f(x)=(1+2x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为24,则展开式中x2的系数的最小值为　　　　. 
解析:由f(x)的展开式中x的系数为24,可得
Cm12x+Cn12x=2mx+2nx=24x,解得m+n=12.
设f(x)的展开式中x2的系数为t,则
t=Cm222+Cn222=2(m2+n2-m-n)=2(m2+n2-12)≥2[(m+n)22-12]=2×(72-12)=
120.
当且仅当m=n=6时,t有最小值120.
所以f(x)的展开式中x2的系数的最小值为120.
答案:120