2022北京陈经纶中学初二(下)期中数学(教师版).docx

2022北京陈经纶中学初二（下）期中
数 学
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列各式中最简二次根式为　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是　　
A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，5
3．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是　　
A．当时，四边形是正方形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
5．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为　　

A．， B． C． D．
6．（3分）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为　　

A．1米 B．米 C．2米 D．4米
7．（3分）如图，在中，，为的中点，点在上，且，，则的大小为　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图，在矩形中，是的中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积　　

A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.
9．（3分）如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是 　　．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为，，点的纵坐标为，则点的坐标为　 　　．

11．（3分）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为　　．

12．（3分）如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是　　．

13．（3分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于．则长方形的面积为 　　．

14．（3分）如图，中，，，点在边上运动（不与点，重合），以为边作正方形，使点在正方形内，连接，则下列结论：
①；②当时，；③点到直线的距离为；④面积的最大值是．其中正确的结论是　　（填写所有正确结论的序号）

15．（3分）如图，点、分别是正方形的边、上的点，且，已知，则图中阴影部分的面积是 　　．

16．（3分）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形、、，要求每个菱形的两条对角线长分别为和．
（1）若使这块草坪的总面积是，则需要　 　个这样的菱形；
（2）若有个这样的菱形，且为整数），则这块草坪的总面积是　 　．

三、解答题：本大题共10个小题，共52分.
17．计算：．
18．已知求代数式：，，求代数式的值．
19．如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．
已知：平行四边形．
求作：点，使点为边的中点．
作法：如图，
①作射线；
②以点为圆心，长为半径画弧，
交的延长线于点；
③连接交于点．
所以点就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
四边形是平行四边形，
．
　　，
四边形是平行四边形　　（填推理的依据）．
　　（填推理的依据）．
点为所求作的边的中点．

20．如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，，求的长度及平行四边形的面积．

21．如图，已知在四边形中，于，于，，，求证：四边形是平行四边形．

22．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，请按要求画出格点四边形（四个顶点都在格点上的四边形叫格点四边形）．
（1）在图1中，画出一个三角形，使其三边长分别为2，，．
（2）在图2中，画出一个非正方形的特殊平行四边形，使其面积为4，对角线的交点在格点上．

23．如图，中，，分别是，的中点，，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求菱形的面积．

24．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在中，分别交于，交于．已知，，，求的值．
小明发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图．

请回答：的值为　 　．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知和矩形，与交于点，，求的度数．
25．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．

（1）如图1，已知点，．
①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是　　，最大值是　　；
②在，，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是　　；
（2）如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，求的取值范围；
（3）已知点，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．
26．新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．
解决问题：
（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是　　；
②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则　　（填“是”或“不是” 的一条二分线．
（2）如图2，四边形中，平行于，点是的中点，射线交射线于点，取的中点，连接．求证：是四边形的二分线．
（3）如图3，在中，，，，，分别是线段，上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长．

参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，符合题意；
、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．【分析】分别计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方即可．
【解答】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3．【分析】根据二次根式加减法运算法则判断，，，根据二次根式乘法运算法则判断．
【解答】解：、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
、原式，故此选项符合题意；
、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式加减法和乘法的运算法则是解题关键．
4．【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：．当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
．当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意；
．当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意；
．当时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
5．【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】解：，
，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
6．【分析】作，根据勾股定理求得的长，可得的长度．
【解答】解：过点作于点，

根据题意得：，，
由勾股定理可得，
，
，
此时木马上升的高度为1米，
故选：．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
7．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，根据直角三角形的性质得到，得到是等边三角形，，于是得到结论．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，为的中点，
，
是等边三角形，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．【分析】设，，，，根据，由是的中点可得，进而判断．
【解答】解：设，，，，
连接，

四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，

，，
，
同理，

，
是的中点，
，
，
，
方法二：连接，

四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，

，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
为矩形，
同理四边形为矩形，
．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.
9．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．【分析】利用勾股定理计算即可．
【解答】解：设点轴的交点为点，则，
由题意可得：，，
在中，，
点为第三象限，
点的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出长．
11．【分析】先根据矩形的判定得出是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【解答】解：如图，连接，
，，，
，
于，于，
四边形是矩形，
，互相平分．且，
，的交点就是点．
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
，
，，，
，
，
；
故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．
12．【分析】证，得出，则，证出四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形．
【解答】解：添加，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，，，
在和中，
，
，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．【分析】如图，过点作于，先根据面积法可得的长，证明△，可得，最后根据长方形的面积公式可计算其答案．
【解答】解：如图，过点作于，

，，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在△和中，
，
△，
，
长方形的面积．
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形全等的性质和判定，正确作辅助线构建三角形全等是本题的关键．
14．【分析】①根据“两边对应相等，而夹角不一定相等，这样的两个三角形不一定全等”进行判断；
②由勾股定理求得，进而解得，便可得的度数；
③过作于点，证明得便可；
④过点作于点，证明，得，进而解直角三角形，用表示、，再根据三角形的面积公式求得面积关于的解析式，利用完全平方式求得其最小值．
【解答】解：①四边形是正方形，
，，
，
当时，，
此时，
则不全等于，
故①错误；
②中，，，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③过作于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
点到直线的距离为，
故③正确；
④过点作于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
面积的最大值是，
故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形的知识，关键是证明全等三角形．
15．【分析】根据正方形的性质得到，，，，，根据全等三角形的判定定理得到，根据正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，，，
，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：9．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得是解题的关键．
16．【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积对角线另一条对角线，即可求出图形的面积和需要的菱形个数；
（2）由（1）可知若有个这样的菱形，且为整数），则这块草坪的总面积
【解答】解：（1）每个菱形的两条对角线长分别为和．
小菱形的对角线分别为2，3，
菱形的面积对角线另一条对角线，
占地面积为．
则需要 4个这样的菱形，
故答案为4；
（2）当有一个这样的菱形，则草坪的面积为，
当有2个这样的菱形，则草坪的面积为，
依此类推
若有个这样的菱形，且为整数），则这块草坪的总面积是，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质和菱形的面积公式，题目设计比较新颖，考查了学生运用数学解决实际问题的能力．
三、解答题：本大题共10个小题，共52分.
17．【分析】先算乘除法，然后计算加减法即可．
【解答】解：

．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．【分析】先求出，，再将代数式利用完全平方公式变形，代值即可求出．
【解答】解：，，
，，
原式．
【点评】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算，解题关键是熟悉完全平方公式进行巧算．
19．【分析】（1）根据要求作出点即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）点如图所示．

（2）连接，．
四边形是平行四边形，
．
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
（平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）．
点为所求作的边的中点．
故答案为：，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点评】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确应用全等三角形性质解决问题．
20．【分析】直接利用勾股定理得出的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：在平行四边形中，，，，
，，
．
四边形是平行四边形，
，．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题关键．
21．【分析】由证得，得出，，证得，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形．
【解答】证明：于，于，
，
在和中，

，
，，
，
四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）作一个对角线长分别为4，2的菱形即可．
【解答】解：（1）如图1中，即为所求；
（2）如图2中，四边形即为所求；

【点评】本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证，即可得出结论；
（2）根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．

【点评】此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．【分析】由，，可证得四边形是平行四边形，即可得，，即可得，然后利用勾股定理，求得的值；
首先连接，，由四边形是平行四边形，四边形是矩形，易证得四边形是平行四边形，继而证得是等边三角形，则可求得答案．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
故答案为：；

解决问题：连接，，如图．
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形，
，．
．
四边形是平行四边形．
．
，
．
是等边三角形．
．
，
．

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
25．【分析】（1）①观察图象的最小值是长，最大值是长，由勾股定理即可得出结果；
②过作于，可得出，根据平衡点的定义，即可得出点与点是线段的一对平衡点；
（2）如图2，可得，，由平衡点的定义可求出的范围；
（3）如图2，正方形边长为2，，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，根据平衡点的定义，可得，，即可求出的范围．
【解答】解：（1）①由题意知：，，则的最小值是3，最大值是；
②如图1，过作于，
，
根据平衡点的定义，点与点是线段的一对平衡点；
故答案为：3，，；
（2）如图2中，，，
且，均在正方形上，符合平衡点的定义，
；
（3）如图2，正方形边长为2，
，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，
则，，
，
，
．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了点与点是图形的一对平衡点、正方形性质、点与点的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
26．【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；
②由面积的和差关系可得，可得是的一条二分线；
（2）根据的中点，所以，由，是的中点，证明，所以，所以，可得是四边形的二分线；
（3）延长使，连接，通过全等三角形的判定可得，可得，即可得．
【解答】解：（1）三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
三角形的中线是三角形的二分线，
故答案为三角形的中线
②是边上的中线
，
，
，
，
是的一条二分线
故答案为：是
（2）的中点，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，

，
，
，
，
是四边形的二分线．
（3）如图，延长使，连接，

，，，，分别是线段，上的点，且，

，
，且，

，，，，
，

，且，
、
，
，
，
是四边形的一条二分线，
，

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．

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