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等腰三角形性质及判定（提高）

【学习目标】
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .

要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【典型例题】
类型一、等腰三角形中的分类讨论

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；

(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.
举一反三：
【变式】（2020•杭州校级二模）等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是　 　．
【答案】50°或80°．
解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，
则此顶角为：180°﹣100°=80°，
则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；
②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，
则此底角为：180°﹣100°=80°；
故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．
故答案为：50°或80°．
类型二、等腰三角形的操作题
2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？

（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：
（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：
【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.
【答案与解析】
（1）作图：

猜想：∠A＋∠B＝90°，
（2）作图：

猜想：∠B＝3∠A.
【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.
举一反三：
【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

【答案】
解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.
设∠B为度 ∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－
①当BD＝BE时
∠3＝ ，
45°＋90°－＋＝180°，
＝30° .
②经计算ED＝EB不成立.
③当DE＝DB时
∠3＝180°－2
45°＋90°－＋180°－2＝180°，
＝45°.
综上所述，∠B＝30°或45°.

类型三、等腰三角形性质判定综合应用
3、（2020•应城市二模）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．

【思路点拨】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
【答案与解析】
证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB=AC，
∴BP=PC；
∴AD=AE，
∴DP=PE，
∴BP﹣DP=PC﹣PE，
∴BD=CE．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键.
举一反三：
【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．
求证：AC＝BF．

【答案】
证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.
A
B
C
D
E
F
G

4、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：BE＝AD.

【答案与解析】
证明：如图，延长BE、AC交于点F.
∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，
∴△AEB≌△AEF（ASA）.
∴BE＝FE＝BF.
∵∠3＝90°－∠F＝∠2，BC＝AC,
∴△BCF≌△ACD（ASA）
∴BF＝AD，BE＝AD.
【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．
举一反三：
【变式】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.
求证：AM＝(AB＋AC) ．

【答案】
证明：延长AM至点E，使ME＝AM，连接CE.

∴