课时作业-第2节-同角三角函数的基本关系与诱导公式.docx

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
同角三角函数基本关系式
2,3
9,10

诱导公式
1,4,6,7
13

综合应用
5,8
11,12,14
15,16

1.sin 600°的值为(　B　)
A.-12 B.-32
C.12 D.32
解析:sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=
-sin 60°=-32.故选B.
2.已知tan α=12,且α∈(π,3π2),则cos(α-π2)等于(　A　)
A.-55 B.55
C.255 D.-255
解析:由α∈(π,3π2)知α为第三象限角,
联立tanα=sinαcosα=12,sin2α+cos2α=1,得sin α=-55,
故cos(α-π2)=sin α=-55.故选A.
3.已知直线2x+y-3=0的倾斜角为θ,则sinθ+cosθsinθ-cosθ的值是(　C　)
A.-3 B.-2
C.13 D.3
解析:由已知得tan θ=-2,所以sinθ+cosθsinθ-cosθ=tanθ+1tanθ-1=-2+1-2-1=13.故选C.
4.已知sin(53°-α)=15,且-270°<α<-90°,则sin(37°+α)等于(　D　)
A.15 B.-15
C.265 D.-265
解析:设53°-α=β,则α=53°-β,所以sin(37°+α)=sin(90°-β)=cos β.又因为-270°<α<-90°,所以143°<β<323°,所以cos β=-1-sin2β=-265.故选D.
5.已知sin(π3-α)=-34,则cos(2021π3-2α)等于(　A　)
A.18 B.-18
C.378 D.-378
解析:因为sin(π3-α)=-34,所以cos(2 021π3-2α)=cos[673π+(2π3-2α)] =cos[π+(2π3-2α)] =-cos(2π3-2α)=2sin2(π3-α)-1=2×(-34)2-1=18.故选A.
6.(多选题)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　CD　)
A.sin(-x)=sin x
B.sin(3π2-x)=cos x
C.cos(π2+x)=-sin x
D.cos(x-π)=-cos x
解析:sin(-x)=-sin x,故A不成立;
sin(3π2-x)=-cos x,故B不成立;
cos(π2+x)=-sin x,故C成立;
cos(x-π)=-cos x,故D成立.故选CD.
7.已知α为钝角,sin(π4+α)=34,则sin(π4-α)=　　　　. 
解析:因为α为钝角,所以cos(π4+α)=-74,
所以sin(π4-α)=cos [π2-(π4-α)] =cos(π4+α)=-74.
答案:-74
8.已知sin(3π+α)=2sin(3π2+α),则sinα-4cosα5sinα+2cosα=　　　　;sin2α+sin 2α=　　　　. 
解析:因为sin(3π+α)=2sin(3π2+α),
所以-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α.
sinα-4cosα5sinα+2cosα=2cosα-4cosα10cosα+2cosα=-212=-16.
因为sin α=2cos α,所以tan α=2,
所以sin2α+sin 2α=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=
tan2α+2tanαtan2α+1=4+44+1=85.
答案:-16　85

9.已知sin α+cos α=12,α∈(0,π),则1-tanα1+tanα等于(　A　)
A.-7 B.7
C.3 D.-3
解析:因为sin α+cos α=12,
所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=14,
所以sin αcos α=-38,又因为α∈(0,π),
所以sin α>0,cos α<0,所以cos α-sin α<0,
因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×(-38)=74,
所以cos α-sin α=-72,
所以1-tanα1+tanα=1-sinαcosα1+sinαcosα=cosα-sinαcosα+sinα=-7212=-7.故选A.
10.已知tan θ+1tanθ=4,则sin4θ+cos4θ等于(　D　)
A.38 B.12 C.34 D.78
解析:tan θ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=1sinθcosθ=4.
所以sin θcos θ=14,
所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×(14)2=78.故选D.
11.已知sin(-π2-α)cos(-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sin α=　　　　,
cos α=　　　　. 
解析:sin(-π2-α)cos(-7π2+α)=
(-cos α)·(-sin α)=sin αcos α=1225.
因为0<α<π4,所以0<sin α<cos α.
又因为sin2α+cos2α=1,
所以sin α=35,cos α=45.
答案:35　45
12.已知sin θ+cos θ=15,θ∈(0,π),则sin θcos(π-θ)=　　　,
tan θ=　　　　. 
解析:因为sin θ+cos θ=15,所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θ
cos θ=125,所以sin θcos θ=-1225.所以sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=1225.
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=4925,因为θ∈(0,π),所以
sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ=75.联立sinθ+cosθ=15,sinθ-cosθ=75,解得sin θ=45,cos θ=-35.所以tan θ=-43.
答案:1225　-43
13.已知k∈Z,化简:sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)=　　　　. 
解析:当k=2n(n∈Z)时,
原式=sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α]sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α)
=sin(-α)·cos(-π-α)sin(π+α)·cosα
=-sinα(-cosα)-sinα·cosα=-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=sin[(2n+1)π-α]·cos[(2n+1-1)π-α]sin[(2n+1+1)π+α]·cos[(2n+1)π+α]=sin(π-α)·cosαsinα·cos(π+α)=sinα·cosαsinα(-cosα)=-1.
综上,原式=-1.
答案:-1
14.已知π2<α<π,tan α-1tanα=-32.
(1)求tan α的值;
(2)求cos(3π2+α)-cos(π-α)sin(π2-α)的值.
解:(1)令tan α=x,则x-1x=-32,
整理得2x2+3x-2=0,解得x=12或x=-2,
因为π2<α<π,所以tan α<0,故tan α=-2.
(2)cos(3π2+α)-cos(π-α)sin(π2-α)=sinα+cosαcosα=
tan α+1=-2+1=-1.

15.是否存在α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=
2cos(π2-β),3cos(-α)=-2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
解:假设存在角α,β满足条件,
则由已知条件可得sinα=2sinβ,①3cosα=2cosβ,②
由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.
所以sin2α=12,所以sin α=±22.
因为α∈(-π2,π2),所以α=±π4.
当α=π4时,由②式知cos β=32,
又β∈(0,π),所以β=π6,此时①式成立;
当α=-π4时,由②式知cos β=32,
又β∈(0,π),所以β=π6,此时①式不成立,故舍去.
所以存在α=π4,β=π6满足条件.
16.已知sin α=1-sin(π2+β),求sin2α+sin(π2-β)+1的取值范围.
解:因为sin α=1-sin(π2+β)=1-cos β,
所以cos β=1-sin α,因为-1≤cos β≤1,
所以-1≤1-sinα≤1,-1≤sinα≤1,
所以0≤sin α≤1,
所以sin2α+sin(π2-β)+1=sin2α+cos β+1=sin2α-sin α+2=
(sin α-12)2+74,
所以sin2α+sin(π2-β)+1的取值范围是[74,2].