2023版大一轮数学人教A版-第1节-任意角和弧度制及任意角的三角函数.docx

第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数

知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)

定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么
sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).

1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角

4.轴线角

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.

2.已知角θ的终边过点P(－12，m)，cos θ＝－，则m的值为(　　)
A.－5 B.5 C.±5 D.±8
答案　C
解析　由三角函数的定义可知cos θ＝＝－，解得m＝±5.
3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.
答案　{－675°，－315°}
解析　所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).
解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.

4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
答案　D
解析　∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D.
5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是(　　)
A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B.钝角大于锐角
C.三角形的内角必是第一或第二象限角
D.若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
答案　BD
解析　对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；
对于D，∵角α的终边在第二象限，
∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，得是第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋＜＜(2n＋1)π＋，n∈Z，得是第三象限角，故正确.
6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad.
答案　
解析　∵周角为2π rad，
∴1密位＝＝(rad)，
∴60密位＝·60＝(rad).

考点一　角的概念及其表示
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
答案　C
解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错误，C正确.
2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则的终边所在的象限可能是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　BD
解析　∵α为第三象限角，
∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
当k＝2m，m∈Z时，＋2mπ<<＋2mπ，m∈Z，此时在第二象限，
当k＝2m＋1，m∈Z时，＋2mπ<<＋2mπ，m∈Z，
此时在第四象限.
综上，的终边在第二或第四象限.
3.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.
答案　
解析　终边在直线y＝x上的角α的集合为
，
又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤＋kπ<2π，k∈Z，
解得k＝－2，－1，0，1，
故满足条件的角α构成的集合为.
感悟升华　1.确定nα，(n∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或的范围，然后根据n的可能取值讨论确定nα或的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法).
2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
考点二　弧度制及其应用
【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，若α＝，R＝10 cm，求：
(1)扇形的面积；
(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解　(1)由已知得α＝，R＝10，
∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2).
(2)l＝α·R＝·10＝(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形＝·l·R－·R2·sin
＝×·10－×102×＝(cm2).
感悟升华　应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(　　)
A.圆的半径为2
B.圆的半径为1
C.圆心角的弧度数是1
D.圆心角的弧度数是2
(2)已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.
答案　(1)ABC　(2)4
解析　(1)设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
则由题意得解得或
可得圆心角的弧度数是4或1.
(2)设扇形半径为r cm，弧长为l cm，
则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)
＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，
所以Smax＝4(cm2).
考点三　三角函数的定义及应用
角度1　求三角函数值
【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于(　　)
A.－ B.± C.－ D.±
答案　C
解析　由OP2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±.
当y＝时，sin α＝，tan α＝－，
此时sin α·tan α＝－.
当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，
此时，sin α·tan α＝－.
综上sin α·tan α＝－.
角度2　由三角函数值求参数
【例3】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　C
解析　由题意得点P(－8m，－3)，r＝，
所以cos α＝＝－，
所以m>0，解得m＝.

角度3　三角函数值的符号
【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角的终边可能在(　　)
A.第二、四象限 B.第一、三象限
C.y轴上 D.x轴上
答案　AD
解析　∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，
∴cos θ≥0，tan θ≤0，
∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，
∴角的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.
感悟升华　1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【训练2】 (1)若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案　(1)D　(2)－3
解析　(1)由>0，得>0，所以cos θ>0.
又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.
(2)因为sin θ＝－<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，
由三角函数的定义，得＝－.
解得y＝－3.

A级　基础巩固
一、选择题
1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　B
解析　因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为.故选B.
2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是(　　)
A.－是第二象限角 B.是第三象限角
C.－400°是第四象限角 D.－315°是第一象限角
答案　BCD
解析　－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D正确.
3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sin α＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　D
解析　由任意角三角函数的定义得
sin α＝＝.故选D.
4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　C
解析　设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝|α|r2＝×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
5.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由图知，角α的取值集合为∪

＝∪

＝.
6.设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案　B
解析　由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，
又＝－cos ，所以cos <0，
综上可知，为第二象限角.
7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　A
解析　由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去).故选A.
8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
答案　ABD
解析　经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝(s)，故D正确.
二、填空题
9.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________.
答案　
解析　设扇形半径为r，弧长为l，
则解得
10.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________.
答案　(－1，)
解析　设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得所以所以点P的坐标为(－1，).
11.(2021·河北九校联考)已知点P(sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.
答案　55°
解析　由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P在第一象限，所以α＝55°.
12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝________.
答案　
解析　由O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos 2α＝2cos2α－1
＝2×－1＝，解得a2＝，
即|a|＝，所以|a－b|＝|a－2a|
＝|a|＝.
B级　能力提升
13.设集合M＝，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅
答案　B
解析　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
14.(2019·北京卷)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为(　　)
A.4β＋4cos β　　 B.4β＋4sin β
C.2β＋2cos β　　 D.2β＋2sin β
答案　B
解析　如图，设点O为圆心，连接PO，OA，OB，AB，在劣弧上取一点C，则阴影部分面积为△ABP和弓形ACB的面积和.因为A，B是圆周上的定点，所以弓形ACB的面积为定值，故当△ABP的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB的长为定值，故当点P为优弧的中点时，点P到弦AB的距离最大，此时△ABP面积最大，即当P为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB为锐角，且∠APB＝β，所以∠AOB＝2β，∠AOP＝∠BOP＝180°－β，则阴影部分的面积S＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形OAB＝2××2×2sin(180°－β)＋×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.
15.一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.
答案　
解析　设扇形半径为R，内切圆半径为r.
则(R－r)sin＝r，即R＝r.
又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝πr2，
所以＝.

16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段弧上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α<cos α<sin α，则P所在的圆弧是________.
答案　
解析　因为tan α<cos α，所以P所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P所在的圆弧不是，所以P所在的圆弧是.