2023届高考数学特训营-第3节-等比数列.doc

第3节　等比数列

A级(基础应用练)
1．(2022·四川绵阳市高考诊断)已知数列{an}的前n项和Sn＝p·2n＋1，则{an}为等比数列的充要条件是(　　)
A．p＝－1 B．0＜p＜1
C．p＝－2 D．p＞1
答案：A
解析：Sn＝p·2n＋1，当n＝1时，
a1＝S1＝p·2＋1＝2p＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝p·2n＋1－(p·2n－1＋1)＝p·2n－1.
∵{an}为等比数列，∴2p＋1＝p，∴p＝－1，故选A.
2．(2022·辽宁省锦州市高三一模)已知在等比数列{an}中，若a5＋a7＝8，则a4(a6＋2a8)＋a3a11的值为(　　)
A．128 B．64
C．16 D．8
答案：B
解析：a4(a6＋2a8)＋a3a11＝a4a6＋2a4a8＋a3a11＝a＋2a5a7＋a＝(a5＋a7)2＝64，故选B.
3．在等比数列{an}中，已知a4＝3a3，＋＋＋…＋＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设等比数列{an}的公比为q.∵a4＝3a3，∴q＝3，
∴＋＋＋…＋＝q＋q2＋q3＋…＋qn＝＝＝.故选D.
4．(2022·天津市北辰区高考数学模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为(　　)
A．180里 B．170里
C．160里 D．150里
答案：C
解析：设该人第n天走an里路，则{an}是公比为的等比数列，
由题意得S6＝＝315，解得a1＝160.故选C.
5．(2020·全国Ⅱ卷)在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
解析：在等式am＋n＝aman中，令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，∴＝2，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＝2×2n－1＝2n，
∴ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4.故选C.
6．(2022·广西桂林高三模拟)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________．
答案：
解析：设等比数列的公比为q，由已知得S3＝a1＋a1q＋a1q2＝1＋q＋q2＝，即q2＋q＋＝0，解得q＝－，
所以S4＝＝＝.
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________．
答案：
解析：法一：由等比数列的性质得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，
∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，
∴＝.
法二：因为{an}为等比数列，由＝3，设S6＝3a，S3＝a(a≠0)，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以＝＝.
8．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________．
答案：an＝4×()n－1　×[1－()n]
解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×()n－1，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8，公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×()n－1＝＝×[1－()n]．
B级(综合创新练)
9．(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0，则下列结论正确的是(　　)
A．0<q<1
B．a7·a9>1
C．Sn的最大值为S9
D．Tn的最大值为T7
答案：AD
解析：∵a1>1，a7·a8>1，可知q>0，<0，
∴a7>1，a8<1，
∴0<q<1，故A项正确；a7a9＝a<1，故B项错误；
∵a1>1，0<q<1，∴数列为递减数列，
∴Sn无最大值，故C项错误；
又a7>1，a8<1，∴T7是数列{Tn}中的最大项，故D项正确．故选AD.
10．(多选题)(2022·山东青岛高三模拟)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn＝2an，对于数列{an}，{bn}，下列选项正确的是(　　)
A．b10＝8b5 B．{bn}是等比数列
C．a1b30＝105 D.＝
答案：BD
解析：由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，a1＝5，
由题意可得30a1＋＝390，解得d＝，
∴an＝a1＋(n－1)d＝，
∵bn＝2an，∴＝＝2an＋1－an＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B选项正确；
∵5d＝5×＝≠3，＝(2d)5＝25d≠23，
∴b10≠8b5，A选项错误；
a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，
∴a1b30＝5×221>105，C选项错误；
a4＝a1＋3d＝5＋3×＝，
a5＝a1＋4d＝5＋4×＝，
∴＝＝＝，D选项正确．故选BD.
11．(2022·山西太原高三联考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为________．
答案：2
解析：设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.
因为＝＝qm＋1＝9，即qm＝8.
所以＝＝qm＝8＝，即m＝3，所以q3＝8，q＝2.
12．(2022·河北廊坊高三模拟)如图，P1是一块半径为2a的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图形P3，P4，…，Pn，…，记第n块纸板Pn的面积为Sn，则(1)S3＝________，(2)如果对∀n∈N*，Sn>恒成立，那么a的取值范围是________．

答案：a2　[，＋∞)
解析：第一块纸板面积为S1＝π(2a)2＝2πa2，
第二块纸板面积为S2＝2πa2－πa2＝πa2，
第三块纸板面积为S3＝πa2－π()2＝πa2，
…
由此归纳总结，第n块纸板面积为
Sn＝2πa2[1－－()2－()3－…－()n－1]＝2πa2－2πa2[＋()2＋…＋()n－1]
＝2πa2－2πa2×＝2πa2[＋×()n－1]，
因为Sn>，故要使得∀n∈N*，Sn>恒成立，
只需≥，可解得a2≥505，故a∈[，＋∞)．
13．(2022·华大新高考联盟质检)已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.
(1)求证：{－1}是等比数列，并求出{an}的通项公式．
(2)求数列{}的前n项和Tn.
解：(1)记bn＝－1，则＝＝＝＝＝，
又b1＝－1＝－1＝，
所以{－1}是首项为，公比为的等比数列．
所以－1＝·()n－1，即an＝，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知－1＝·()n－1，
即＝·()n－1＋1.
所以数列{}的前n项和
Tn＝＋n＝(1－)＋n.
14．(2022·湘赣皖高三第一次联考)已知{an}是公差为1的等差数列，{bn}是正项等比数列，a1＝b1＝1，________，cn＝anbn(n∈N*)．
(1)在①b3＝a4，②a3＝3b3，③a2＝4b2这三个条件中任选一个，补充在上面横线处，判断{cn}是否是递增数列，并说明理由(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)．
(2)若Sn＝，求数列{Sn}的前n项和Tn.
解：∵{an}是公差为1，首项为1的等差数列，
∴an＝1＋n－1＝n.设{bn}的公比为q(q>0)．
(1)若选①，由b3＝a4，得b3＝a4＝4，
又b1＝1，∴q＝2，则bn＝2n－1，cn＝n·2n－1，
由＝＝<1，得cn＜cn＋1，
故{cn}是递增数列．
若选②，由a3＝3b3＝3，得b3＝1，q＝1，bn＝1，cn＝n，
则cn＝n＜cn＋1＝n＋1，故{cn}是递增数列．
若选③，由a2＝4b2＝2，得b2＝，q＝，bn＝，
∴cn＝，＝＝≥1，则cn≥cn＋1，故{cn}不是递增数列．
(2)∵an＝n，Sn＝，∴Sn＝，
∴Tn＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝＋＋＋…＋＝＝(1－)．