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郴州市2017年下学期学科教学状况抽测试卷
高一数学
（试题卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，，与的公共元素为，，故选D.
2. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，在定义域上递增，又，在定义域上递减，项符合题意，故选C.
3. 在空间直角坐标系中，点与点关于（ ）对称
A. 原点 B. 轴 C. 轴 D. 轴
【答案】C
【解析】因为点与点中，两个点的 值不变， 值与 值互为相反数，所以点与点关于轴对称，故选C.
4. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于是偶函数，不合题意；对于是奇函数，不合题意；对于，是奇函数，不合题意；对于，且，，即不是奇函数，又不是偶函数，合题意，故选B.
5. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据指数函数的性质，，，，即，故选A.
...............
6. 设是一条直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
【解析】若，，则或，故错误；若，，则或，故错误；若，，根据面面平行的性质可得，故错误，正确，故选D.
7. 中国古代数学名著《九章算术）中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器—商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若可取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）
A. 1.2 B. 1.6 C. 1.8 D. 2.4
【答案】B
【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：，，故选B.
8. 将正方形沿对角线折起成直二面角，则直线与平面所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设中点为，连接是正方形，，又折起后是直二面角平面，是与平面所成的角，由正方形的性质，可得是等腰直角三角形，，即与平面所成的角为，故选B.
9. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，在上递增，即在上递增，，化为， ，实数的取值范围是，故选C.
【方法点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题. 将奇偶性与单调性综合考查，一直是命题的热点，解答这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，利用奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
10. 已知函数是定义在的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】试题分析：由题意知，当时，令，即，
考点：奇函数的性质、零点问题.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. .若幂函数的图像过点，则__________．
【答案】3
【解析】幂函数的图像过点，，故答案为.
12. 已知函数，为自然对数的底数，则__________．
【答案】3
【解析】因为函数，所以==1,,故答案为.
【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题. 对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰. 本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值.
13. 如图，直四棱柱的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线与的夹角大小等于__________．
【答案】
【解析】试题分析：由直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长可得由知就是异面直线与的夹角,且所以=60°,即异面直线与的夹角大小等于60°.
考点：1正四棱柱；2异面直线所成角
14. 直线与圆有交点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】直线与圆有交点，圆心到直线，的距离小于或等于半径，即，解得，故答案为.
15. 函数的定义域为，若，且时总有，则称为和谐函数.
例如，函数是和谐函数.下列命题：
①函数是和谐函数；
②函数是和谐函数；
③若是和谐函数，，且，则.
④若函数在定义域内某个区间上具有单调性，则一定是和谐函数.
其中真命题是__________（写出所有真命题的编号）
【答案】③
【解析】试题分析：解：①令得：，所以，，不是单函数；
②因为，所以，故不是单函数；
③与定义是互为逆否命题,是真命题
根据①和②知：若函数在定义域内某个区间D上具有单调性,则不一定是单函数.所以④是假命题.
综上真命题只有: ③；故答案应填③
考点：1、函数的概念；2、新定义；3、函数的单调性；4、分段函数.
三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知函数
（Ⅰ）画出函数的大致图像；
（Ⅱ）写出函数的最大值和单调递减区间
【答案】(1) 见解析(2) 的最大值为2.其单调递减区间为或.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用描点法分别作出与的图象，即可得到函数的大致图象；（Ⅱ)根据图象可得函数的最大值和单调递减区间.
试题解析：（Ⅰ）函数的大致图象如图所示.
（Ⅱ)由函数的图象得出，的最大值为2.
其单调递减区间为或.
17. 设，，， （为实数）
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据指数函数的性质化简，然后利用交集的定义求解即可；（Ⅱ) 由得，根据包含关系列出关于的不等式组求解，即可得到的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）∵ ∴
∴
（Ⅱ）由得
∴即
∴
18. 如图，四棱锥中中，底面.底面为梯形，，，，，点在棱上，且.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
【答案】(1) 见解析(2)
【解析】试题分析：（Ⅰ）由面可得，结合，利用线面垂直的判定定理可得B面，再根据面面垂直的判定定理可得平面平面；（Ⅱ) 过点，在平面内作垂直于，垂足为，由（Ⅰ）可知底面，求出，利用等积变换可得，根据棱锥的体积公式可得结果.
.
试题解析：（Ⅰ）证明：∵面，∴
又∵，且.∴B面
又∵面，∴面面
（Ⅱ）过点，在平面内作垂直于，垂足为.
由（Ⅰ）可知底面
∵，
∴
又∵
∴
19. 已知方程
（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线相交于、两点，且（为坐标原点）求实数的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以为直径的圆的方程.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程，利用半径大于零，即可求解实数的取值范围；（2）直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理及，建立方程，即可求解实数的值；（3）写出以为直径的圆的方程，代入条件即可求解结论.
试题解析：（1）原方程化为，∵此方程表示圆，
∴，∴.………………………………2分
（2）设，，
则，得，
∵，∴.………………………………4分
∴.①
由得.………………6分
∴，，且，化为.…………8分
代入①得，满足，……………………9分
（3）以为直径的圆的方程为
，……………………10分
即，
∴所求圆的方程为.……………………12分
考点：圆的综合问题
【方法点晴】本题主要考查了圆的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程，表示圆的条件，直线与圆的位置关系的判定及应用等知识点的综合考查，着重考画出来学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与数形结合思想的应用，本题的解答中涉及圆的标准方程及直线与圆的位置关系的判定方法，灵活应用圆的性质是解答的关键，试题比较解出属于基础题.
20. 已知函数是上的奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断并证明的单调性；
（Ⅲ）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) (2) 见解析(3)
【解析】试题分析：（Ⅰ）为上的奇函数，∴，即，由此得；（Ⅱ) 设，则,根据指数函数的性质可得，即，∴为上的增函数；（Ⅲ）不等式恒成立等价于，只需求出的取值范围，即可得的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）∵为上的奇函数，∴，即，由此得;
（Ⅱ）由（1）知∴为上的增函数.
证明，设，则
∵，∴，∴
∴为上的增函数.
（Ⅲ）∵为上的奇函数
∴原不等式可化为，即
又∵为上的增函数，∴，
由此可得不等式对任意实数恒成立
由
∴.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.
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