河南省2021-2022学年高三上学期阶段性大联考一数学试题(理).doc

2021-2022学年高三上学期阶段性大联考一
理科数学试题
注意事项：
1．共150分，考试时长为150分钟。
2．答题前，考生先将姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．下列说法中正确的个数是（ ）
（1）命题“所有幂函数的图象经过点”.
（2）“在中，若，则”的逆否命题是真命题.
（3）若非零向量满足，则与的夹角为锐角.
（4）命题“，”的否定是“，”.
（5）命题“则是的充分不必要条件”.
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，
则（ ）
A． B． C． D．
5．设、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题：
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，，则.
其中真命题是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
6．函数的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到
函数的图象，则函数的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．

8．如图，已知正三棱柱的各条棱长都是1，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的最小正周期为，
则时，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
10．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），
设，表示数列的前项之和，
则使不等式成立的最大正整数的值是（ ）
A． B． C． D．
11．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13. 已知向量,.若,则实数_______.
14. 若x，y满足约束条件若函数仅在点(1,0)处取得最小值，则的取值范围为_______.
图2
15.据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为_______.
16. 如图2，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥
的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行
的最短路程为4，则圆锥底面圆的半径等于_______.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．
(1)求sin (α＋π)的值；
(2)若角β满足sin (α＋β)＝，求cos β的值．
18.(本小题满分12分).已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)在[1,2]上的单调性；
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最值．
20.(本小题满分12分)已知0<α<<β<π，且sin (α＋β)＝，tan ＝.
(1)求cos α的值； (2）求sin β
21.(本小题满分12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
22.(本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（I）求，的值；
（II）求的单调区间.

理科数学答案
一、单选题
1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．D 10．A 11．A 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. (－4,2) 15.6000 16.1
17.[解析]　本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力．
(1)由角α的终边过点P(－，－)得sin α＝－，所以sin (α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P(－，－)得cos α＝－，
由sin (α＋β)＝得cos (α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
18.[解析]　(1)a＝－1，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为x∈[－5,5]，所以x＝1时，f(x)取最小值1，
x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)f(x)的对称轴为x＝－a；因为f(x)在[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5，或－a≥5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
19.[解析]　(1)解法一：任取x1，x2∈[1,2]，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝－＝
＝，
＝
∵x1，x2∈[1,2]，∴－2≤x2－3≤－1，－2≤x1－3≤－1，
∴1≤(x2－3)(x1－3)≤4，∴(x1－3)(x2－3)－9<0.
又x2－x1>0，(x2－3)(x1－3)>0，
∴<0，即f(x2)<f(x1)．
∴f(x)在[1,2]上为减函数．
解法二：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝，
∵1≤x≤2，∴f′(x)<0，∴f(x)在[1,2]上为减函数．
(2)由(1)知f(x)在[1,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝－4，f(x)max＝f(1)＝＝－.
20.[解析]　(1)因为tan ＝，所以tan α＝＝，所以，α∈(0，)，解得cos α＝.
另解：cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝.
(2)由已知得<α＋β<，又sin (α＋β)＝，
所以cos (α＋β)＝－＝－，
又sin α＝＝，
sin β＝sin [(α＋β)－α]
＝sin (α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－(－)×＝
21.[解析]　(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，
则y＝400＋60t－120，
令＝x，则x2＝6t，即t＝，
所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，(构建二次函数)
所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．
(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，
解得4<x<8，即4<<8，<t<.
因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．
22.【解析】（I），∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即 ①
②
由①②解得：，
（II）由（I）可知：，
令，∴

极小值

∴的最小值是
∴的最小值为．
即对恒成立．
∴在上单调递增，无减区间．

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