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第6讲 双曲线
一、填空题
1.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是________.
解析 由已知,得a2=7,b2=3,则c2=7+3=10,故焦距为2c=2.
答案 2
2.(2017·南京模拟)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为________.
解析 因为2b=2,所以b=1,因为2c=2,所以c=,所以a==,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
答案 y=±x
3.(2015·广东卷改编)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为________.
解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e==,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.
答案 -=1
4.(2017·苏北四市联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),右焦点F到渐近线的距离为2,点F到原点的距离为3,则双曲线C的离心率e为________.
解析 ∵右焦点F到渐近线的距离为2,∴F(c,0)到y=x的距离为2,即=2,又b>0,c>0,a2+b2=c2,∴=b=2,又∵点F到原点的距离为3,∴c=3,∴a==,∴离心率e===.
答案
5.(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点为M,右焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A,B两点,且满足MA⊥MB,则该双曲线的离心率是________.
解析 由题意可得AF=MF,且AF=,MF=a+c,则=a+c,即b2=a2+ac=c2-a2,所以e2-e-2=0(e>1),解得e=2.
答案 2
6.(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y+2)2=1没有公共点,则该双曲线的离心率的取值范围为________.
解析 双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线y=±x,即bx±ay=0与圆x2+(y+2)2=1没有公共点,则=>1,2a>c,故该双曲线的离心率满足1<e=<2,即双曲线的离心率的取值范围为(1,2).
答案 (1,2)
7.(2017·泰州模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为________.
解析 由题意知,圆的半径为5,又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y=x上,因此有解得所以此双曲线的方程为-=1.
答案 -=1
8.(2016·山东卷)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2AB=3BC,则E的离心率是________.
解析 由已知得AB=,BC=2c,∴2×=3×2c.
又∵b2=c2-a2,整理得:2c2-3ac-2a2=0,两边同除以a2得22-3-2=0,即2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去).
答案 2
二、解答题
9.(2017·镇江期末)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.
(1)解 ∵e=,
∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴双曲线的标准方程为-=1.
(2)证明 法一 由(1)可知,a=b=,
∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),
∴kMF1=,kMF2=,
kMF1·kMF2==-.
∵点M(3,m)在双曲线上,
∴9-m2=6,m2=3,
故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0.
法二 由(1)可知,a=b=,∴c=2,
∴F1(-2,0),F2(2,0),
=(-2-3,-m),=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,
∵点M(3,0)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,
∴·=0.
10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程;
(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若A=P,求△AOB的面积.
解 (1)依题意得解得
故双曲线的方程为-x2=1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由A=P得点P的坐标为.
将点P的坐标代入-x2=1,
整理得mn=1.
设∠AOB=2θ,∵tan=2,
则tan θ=,从而sin 2θ=.
又OA=m,OB=n,
∴S△AOB=OA·OBsin 2θ=2mn=2.
11.(2016·北京卷)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=________.
解析 取B为双曲线右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2,∴c=OB=2,
又∠AOB=,
∴=tan=1,即a=b.
又a2+b2=c2=8,∴a=2.
答案 2
12.(2017·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是右支上一点.若△PF1F2是顶角为的等腰三角形,则双曲线C的率心率是________.
解析 由题意可得PF2=F1F2=2c,∠PF2F1=,则PF1=2c,由双曲线定义可得PF1-PF2=2c-2c=2a,则(-1)c=a,则双曲线C的离心率是e==.
答案
13.(2016·浙江卷)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则PF1+PF2的取值范围是________.
解析 如图,由已知可得a=1,b=,c=2,从而F1F2=4,由对称性不妨设点P在右支上,设PF2=m,则PF1=m+2a=m+2,
由于△PF1F2为锐角三角形,
结合实际意义需满足
解得-1+<m<3,又|PF1|+|PF2|=2m+2,
∴2<2m+2<8.
答案 (2,8)
14.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与
直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.
解 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,
从而双曲线E的离心率e==.
由(1)知,双曲线E的方程为-=1.
如图,设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时,
若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,
则OC=a,AB=4a.
又因为△OAB的面积为8,
所以OC·AB=8,
因此a·4a=8,解得a=2,
此时双曲线E的方程为-=1.
若存在满足条件的双曲线E,
则E的方程只能为-=1.
以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.
设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,
则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y1=,同理,得y2=.
由S△OAB=OC·|y1-y2|,得
·=8,
即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
由
得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k2<0,
所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)
=-16(4k2-m2-16).
又因为m2=4(k2-4),
所以Δ=0,即直线l与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.
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