20届高考数学一轮(江苏版)习题-第6讲双曲线.doc

第6讲　双曲线
一、填空题
1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
解析　由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.
答案　2
2．(2017·南京模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
解析　因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案　y＝±x
3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．
解析　因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1.
答案　－＝1
4．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为________．
解析　∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c,0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝＝，∴离心率e＝＝＝.
答案　
5．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点为M，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足MA⊥MB，则该双曲线的离心率是________．
解析　由题意可得AF＝MF，且AF＝，MF＝a＋c，则＝a＋c，即b2＝a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0(e>1)，解得e＝2.
答案　2
6．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________．
解析　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则＝>1,2a>c，故该双曲线的离心率满足1<e＝<2，即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．
答案　(1,2)
7．(2017·泰州模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________．
解析　由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y＝x上，因此有解得所以此双曲线的方程为－＝1.
答案　－＝1
8．(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB＝3BC，则E的离心率是________．
解析　由已知得AB＝，BC＝2c，∴2×＝3×2c.
又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案　2
二、解答题
9．(2017·镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
(1)解　∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)证明　法一　由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.
法二　由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3,0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A＝P，求△AOB的面积．
解　(1)依题意得解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m＞0，n＞0，由A＝P得点P的坐标为.
将点P的坐标代入－x2＝1，
整理得mn＝1.
设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，
则tan θ＝，从而sin 2θ＝.
又OA＝m，OB＝n，
∴S△AOB＝OA·OBsin 2θ＝2mn＝2.
11．(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析　取B为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝OB＝2，

又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案　2
12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是右支上一点．若△PF1F2是顶角为的等腰三角形，则双曲线C的率心率是________．
解析　由题意可得PF2＝F1F2＝2c，∠PF2F1＝，则PF1＝2c，由双曲线定义可得PF1－PF2＝2c－2c＝2a，则(－1)c＝a，则双曲线C的离心率是e＝＝.
答案　
13．(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是________．
解析　如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而F1F2＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设PF2＝m，则PF1＝m＋2a＝m＋2，

由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义需满足
解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，
∴2＜2m＋2＜8.
答案　(2，8)
14．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.

(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与
直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
解　(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，
从而双曲线E的离心率e＝＝.
由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
如图，设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，

若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则OC＝a，AB＝4a.
又因为△OAB的面积为8，
所以OC·AB＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，
则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，
则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理，得y2＝.
由S△OAB＝OC·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．
由
得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2＜0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)
＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.