2019北京五中分校初三(上)期中数学含答案.docx

2019北京五中分校初三（上）期中
数 学
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝（　　）

A． B． C． D．
2．（2分）一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的面积是（　　）
A．6π B．4π C．2π D．π
3．（2分）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
4．（2分）抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（　　）
A．（4，﹣5），开口向上 B．（4，﹣5），开口向下
C．（﹣4，﹣5），开口向上 D．（﹣4，﹣5），开口向下
5．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，则的值为（　　）

A． B． C． D．
6．（2分）如图，△ABC内接于圆O，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于（　　）

A．70° B．90° C．110° D．120°
7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）

A． B． C． D．
8．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，Rt△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列中能表示y与x之间的关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．（2分）二次函数y＝x2+2x+3的最小值是　 　．
10．（2分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（3，4）是⊙O上一点，B是⊙O内一点，请你写出一个符合要求的点B的坐标：　 　．
11．（2分）为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是　 　m．
12．（2分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为　 　．

13．（2分）已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过（1，1）点；②当x＞1时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数：　 　．
14．（2分）走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则，，组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．若AB＝3，则此“莱洛三角形”的周长为　 　．

15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
1
﹣2
﹣3
﹣2
m
…
下面有四个论断：①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣3）；②m＝﹣3；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3；④当x＝﹣0.5时，y的值为正．其中，正确的有　 　．
16．（2分）如图，反比例函数y＝的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，tan∠CAB＝2，则k＝　 　．

三、解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°．
18．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（　 　）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（　 　）（填推理的依据）．

19．（5分）如图，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的长．

20．（5分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径．

21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线y＝2x﹣2交于点Q（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）已知点P（a，0）（a＞0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝2x﹣2于点M，交函数y＝的图象于点N．
①当a＝4时，求MN的长；
②若PM＞PN，结合图象，直接写出a的取值范围．

22．（6分）已知抛物线C1：y1＝2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．
（1）求k的值；
（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2＝2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；
（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2＝2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．
23．（5分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为　 　件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
24．（6分）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为　 　；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．

25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的圆交AB于点D，O是该圆圆心，E为线段AC上一点，且ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED＝，∠B＝60°，求⊙O的半径．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．

27．（6分）如图所示，点P位于等边△ABC的内部，且∠ACP＝∠CBP．
（1）∠BPC的度数为　 　°；
（2）延长BP至点D，使得PD＝PC，连接AD，CD．
①依题意，补全图形；
②证明：AD+CD＝BD；
（3）在（2）的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：连接PC交⊙C于点N，若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外应点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D（﹣1，﹣1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O的外应点是　 　；
②若点M（m，n）为⊙O的外应点，且线段MO交⊙O于点，求m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，直线y＝﹣x+b过点A（1，1），与x轴交于点B．若线段AB上的所有点都是⊙T的外应点，直接写出t的取值范围．

2019北京五中分校初三（上）期中数学
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．【分析】在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．
【解答】解：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，
∴tanA＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．【分析】利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：根据扇形的面积公式可得：扇形的面积＝＝π．
故选：D．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的计算，正确理解公式是解题的关键．
3．【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，
∴每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
4．【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．
【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得
开口方向向上，
顶点坐标（4，﹣5）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，
5．【分析】条件可以求出AD：AB＝2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．
【解答】解：∵AD＝6，DB＝3，
∴AB＝9，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
6．【分析】因为∠A＝50°，∠ABC＝60°，所以利用三角形的内角和可得∠ACB＝70°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠D＝50°，又因为∠BCD是直径所对的圆周角，所以等于90°，因此可得∠ECD＝20°，利用内角和与对顶角相等可得∠AEB等于110°．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝20°，
∴∠ABD＝∠ACD＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣（50°+20°）＝110°．
故选：C．
【点评】本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等．
7．【分析】设BC＝x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC＝2BC＝2x，求出AB＝BC＝x，根据题意得出AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
【解答】解：如图所示：设BC＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，
根据题意得：AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，
作EM⊥AD于M，则AM＝AD＝x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝；
故选：B．

【点评】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出AM是解决问题的关键．
8．【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：当0＜x≤1时，y＝x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD＝x，则AD＝2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM＝2﹣x，
∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，
∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴y＝．
故选：B．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．【分析】化成二次函数的顶点式即可解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴最小值是2；
故答案为2．
【点评】本题考查了二次函数的最值，把解析式化成顶点式是解题的关键．
10．【分析】连结OA，根据勾股定理可求OA，再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B的坐标．
【解答】解：连结OA，
OA＝＝5，
∵B为⊙O内一点，
∴符合要求的点B的坐标（0，0）答案不唯一．
故答案为：（0，0）答案不唯一．

【点评】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA的长．
11．【分析】设此树的高度是hm，再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【解答】解：设此树的高度是hm，则＝，解得h＝4.8（m）．
故答案为：4.8．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
12．【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE，
∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝AD+DB+BC+CF+AF＝AD+AF+BC+（BD+CF）＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理是解题的关键．
13．【分析】可考虑一次函数、二次函数的解析式，本题答案不唯一，只要符合条件即可．
【解答】解：符合条件的函数可以是一次函数、二次函数，如y＝﹣x，y＝﹣（x﹣1）2+1等．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+1．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，是开放性题目，答案不唯一，只要满足条件即可．
14．【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，根据正三角形的性质求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【解答】解：连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴的长为：＝π，
∴“莱洛三角形”的周长＝π×3＝3π．
故答案为3π．

【点评】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解“莱洛三角形”的概念、掌握弧长公式是解题的关键．
15．【分析】①由当x＝1，x＝3时y值相等，可得出抛物线的对称轴为直线x＝2，进而可得出抛物线的顶点为（2，﹣3），结论①正确；
②利用抛物线的对称性，可得出m＝1，结论②错误；
③由当x＝1，x＝3时y＝﹣2，可得出关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论③正确；
④根据抛物线的性质的得到：结论④正确；
综上，此题得解．
【解答】解：①∵当x＝1时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣3），结论①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴当x＝4时y值与当x＝0时的y值相等，
∴m＝1，结论②错误；
③∵当x＝1时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝﹣2，
∴抛物线与直线y＝﹣2交于点（1，﹣2）和（3，﹣2），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论③正确；
④由以上推知，该抛物线开口方向向上，顶点为（2，﹣3），抛物线与y轴交点坐标是（0，1）．则当x＝﹣0.5时，y＞0．结论④正确．
综上所述，正确的结论有：①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，利用二次函数的性质逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
16．【分析】连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图，利用反比例函数的性质得OA＝OB，根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，利用正切的定义得到＝2，再证明Rt△OCM∽Rt△OAN，利用相似的性质得＝4，然后根据k的几何意义求k的值．
【解答】解：连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图，
∵A、B两点为反比例函数与正比例函数的两交点，
∴点A、点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵CA＝CB，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝2，
∵∠COM+∠AON＝90°，∠AON+∠OAN＝90°，
∴∠COM＝∠OAN，
∴Rt△OCM∽Rt△OAN，
∴＝（）2＝4，
而S△OAN＝×3＝，
∴S△CMO＝6，
∵|k|＝6，
而k＜0，
∴k＝﹣12．
故答案为﹣12．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质．
三、解答题（共12小题，满分68分）
17．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：原式＝4××﹣（）2
＝6﹣
＝．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18．【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理，切线的判定．

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
19．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）利用相似三角形的性质求出AB即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ABC∽△ACD．

（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣4＝5．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【解答】解：连接OC，

∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是cm．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
21．【分析】（1）将点Q（2，m）代入y＝2x﹣2，求出m＝2，那么Q（2，2），再将Q的坐标代入y＝，即可求出k的值；
（2）①当a＝4时，P（4，0），再求出M（4，6），N（4，1），那么MN可求；
②当PM＞PN时，点M在点N的上方，根据函数y＝的图象与直线y＝2x﹣2交于点Q（2，2），结合图象即可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣2经过点Q（2，m），
∴m＝2．
∴Q（2，2）．
∵函数y＝经过点Q（2，2），
∴k＝4；
（2）①当a＝4时，P（4，0）．
∵反比例函数的表达式为y＝，
∴M（4，6），N（4，1）．
∴MN＝5；
②∵函数y＝的图象与直线y＝2x﹣2交于点Q（2，2），
又点P（a，0）（a＞0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝2x﹣2于点M，交函数y＝的图象于点N，
∴当PM＞PN时，a＞2．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．
22．【分析】（1）抛物线与x轴只有一个公共点，则判别式△＝0，据此即可求得k的值；
（2）把C1化成顶点式的形式，利用函数平移的法则即可确定；
（3）首先求得t的值，然后求得等y＝t时C2中对应的自变量的值，结合函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得：△＝16﹣8k＝0，解得：k＝2；
（2）C1是：y1＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2＝2（x+1）2﹣8．
则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；
（3）当x＝1时，y2＝2（x+1）2﹣8＝0，即t＝0．
在y2＝2（x+1）2﹣8中，令y＝0，解得：x＝1或﹣3．
则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点的个数的确定，以及函数的平移方法，根据函数的性质确定m的范围是关键．
23．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；
（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
24．【分析】（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．
（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；
【解答】解：（1）如图1中，

∵EC∥MN，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，
故答案为2．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．

∵CD∥AN，
∴∠CPN＝∠DCM，
∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM＝∠D＝45°，
∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝．
（3）如图3中，如图取格点H，连接AH、HN．

∵PC∥HN，
∴∠CPN＝∠ANH，
∵AH＝HN，∠AHN＝90°，
∴∠ANH＝∠HAN＝45°，
∴∠CPN＝45°．
【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（1）连接OD．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到ED＝EC，求得ED＝EC＝EA＝．根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵ED＝EA，
∴∠A＝∠ADE，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠BDO，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°．
∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∴∠ODE＝90，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB＝90°，BC为直径，
∴AC是⊙O的切线．
∵DE是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∵ED＝，
∴ED＝EC＝EA＝．
∴AC＝2，
∵Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝2．
∴⊙O的半径为1．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．【分析】（1）求出x＝0时y的值即可得出点A坐标，将解析式配方成顶点式，得出其对称轴可得点B坐标；
（2）分m＞0和m＜0两种情况，结合函数图象可得．
【解答】解：（1）由题意，当x＝0时，y＝2．
∴A（0，2）．
∵y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2+2﹣m，
∴对称轴为直线x＝1．
∴B（1，0）．
（2）由题意，C（﹣1，0），D（3，0）．
①当m＞0时，
结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x轴下方，

即2﹣m＜0．
∴m＞2．
②当m＜0时，
过C（﹣1，0）的抛物线的顶点为E（1，）．
结合函数图象可知，满足条件的抛物线的顶点须在点E上方或与点E重合，

即2﹣m≥．
∴m≤．
综上所述，m的取值范围为m＞2或m≤．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
27．【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）①利用射线的作法得出D点位置，并连接AD，CD．
②利用全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质证明即可；
（3）根据S四边形ABCD＝S△BDC+S△BDA＝•BD•CM+•BD•AN＝BD•sin60°（CD+AD）计算即可；
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠PCA+∠PCB＝60°，
∵∠PCA＝∠CBP，
∴∠PCB+∠PBC＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为120．
（2）①解：如图所示，

②证明：∵∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，PD＝PC，
∴△CDP是等边三角形，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠ACB＝60°，
∴∠DCA＝∠PCB，∵CA＝CB，
∴△DCA≌△PCB，
∴AD＝PB，
∴BD＝PB+PD＝AD+DC．

（3）解：如图作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N．

∵∠CDP＝∠ADP＝60°，
∴CM＝CD•sin60°，AN＝AD•sin60°
S四边形ABCD＝S△BDC+S△BDA＝•BD•CM+•BD•AN＝BD•sin60°（CD+AD）＝×2××2＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．【分析】（1）①根据⊙O的外应点的定义，画出图形即可判断；
②作射线GO，交⊙O于点H（，），作点H关于点G的对称点H'（，），由点M为⊙O的外应点，推出点M在线段GH'上（不与G，H'重合），由此即可解决问题；
（2）求出四种特殊位置t的值即可判断；
【解答】解：（1）①如图1中，

根据点P是⊙O的外应点定义，观察图象可知，⊙O的外应点是D，E．
故答案为D，E．

②作射线GO，交⊙O于点H（，），
作点H关于点G的对称点H'（，），
∵点M为⊙O的外应点，
∴点M在线段GH'上（不与G，H'重合）．
∴＜m＜．

（2）由题意A（1，1），∵直线y＝﹣x+b过点A（1，1），
∴b＝2，可得B（2，0）
如图3中，当半径为3的⊙T经过点B时，T（﹣1，0）
如图4中，当半径为1的⊙T与AB相切于F时，易知TF＝FB＝1，TB＝，
∴OT＝2﹣，
∴T（2﹣，0）
观察图象可知：当﹣1＜t＜2﹣时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点

如图5中，当半径为1的⊙T经过点B时，T（3，0）
如图6中，当半径为3的⊙T经过点A时，易知T（1+2，0）
观察图象可知：当3＜t＜1+2时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点

综上所述，满足条件的t的值为：或．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆的有关知识，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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