2022北京昌平一中初一(下)期中数学(教师版).docx

2022北京昌平一中初一（下）期中
数 学
一、选择题（本大题共8小题，共16分）
1．清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
2．2021年3月，华为在深圳发布《华为创新和知识产权白皮书2020》，华为对遵循标准的单台手机专利许可费不高于2.5美元，则下面表示专利许可费的不等关系正确的是　　
A． B． C． D．
3．在数轴上表示不等式的解集，正确的是　　
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
5．方程的正整数解的个数是　　
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．无数个
6．长方形的面积是，如果它的一边长为，则它的周长是　　
A． B． C． D．
7．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是　　
A． B． C． D．
8．观察下列各式及其展开式：

请你猜想的展开式第三项的系数是　　
A．36 B．45 C．55 D．66
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9．如图，和5分别表示天平上两边的砝码的质量，请你用“”或“”填空：　　2．

10．方程中，用含的式子表示，则　　．
11．若关于，的方程是二元一次方程，则　　．
12．已知是二元一次方程的一个解，那么的值是 　　．
13．已知，是常数，且，关于的不等式．
（1）当 　　时，不等式的解集是．
（2）当 　　时，不等式的解集是．
14．　　是个完全平方式，那么括号内应该填的数是 　　．
15．已知的解是，则方程组的解是　　．
16．对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如，给出如下结论：
①，②，③，④．
以上结论中，你认为正确的有　　．（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共68分）
17．计算：．
18．解不等式，并在数轴上表示出它的解集．

19．解方程组：．
20．解不等式组，并写出它的所有整数解．
21．已知方程组的解，满足，且为非负数，求的取值范围．
22．化简：
（1）；
（2）．
23．将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）　　；
（2）若，求的值．
24．先化简，再求值：，其中．
25．某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？
26．小明同学遇到下面的问题解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：令，，这时原方程组化为，解得，把代入，得，解得，所以，原方程组的解为．请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：解方程组．
27．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法　　
方法　　
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　　
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图2，两个正方形边长分别为、，如果，求阴影部分的面积．

28．【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题．
【解决问题】解：，．
，，．
，，①
同理，得．②
由①②，得，
的取值范围是．
【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围；
（2）已知，，若成立，求的取值范围（结果用含的式子表示）．

参考答案
一、选择题（本大题共8小题，共16分）
1．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【分析】不高于即是小于等于，列出不等式即可．
【解答】解：专利许可费不高于2.5美元，
专利许可费．
故选：．
【点评】本题考查不等式的应用，题目较容易，解题关键是理解“不高于”的意义是小于等于．
3．【分析】先解一元一次不等式不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表述出来即可得得出答案．
【解答】解：解不等式，
解得．
所以不等式的解集在数轴上表示为：

故选：．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键．
4．【分析】利用合并同类项法则，单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握合并同类项法则，单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
5．【分析】把看作已知数表示出，即可确定出正整数解．
【解答】解：方程，
解得：，
当时，，
则方程的正整数解个数是1个，
故选：．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
6．【分析】直接利用整式的除法运算法则得出另一边长，进而得出其周长．
【解答】解：长方形的面积是，它的一边长为，
它的另一边长为：，
则它的周长是：

．
故选：．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确得出另一边长是解题关键．
7．【分析】由方程组消去，得到一个关于，的方程，化简这个方程即可．
【解答】解：由方程组，
有
将上式代入，
得到，
．
故选：．
【点评】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是消元法的考核．
8．【分析】归纳总结，根据杨辉三角的特征得到展开式中第三项系数即可．
【解答】解：；
；
；
；
；
；
第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则的展开式第三项的系数为45．
故选：．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9．【分析】托盘天平是支点在中间的等臂杠杆，天平平衡时砝码的质量等于被测物体的质量，根据图示知被测物体的质量小于砝码的质量．
【解答】解：根据图示知被测物体的质量小于砝码的质量，即，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了不等式的相关知识，利用“天平”的不平衡来得出不等关系，体现了“数形结合”的数学思想．
10．【分析】移项、系数化为1，据此用含的式子表示即可．
【解答】解：移项，可得：，
系数化为1，可得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
11．【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，解题的关键是熟悉掌握二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程．
12．【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
13．【分析】（1）根据不等式的基本性质（不等式两边同时除以同一个正数时，不等号的方向不变）解答．
（2）根据不等式的基本性质（不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向改变）解答．
【解答】解：（1）由原不等式，得；
当时，解得．
故答案为：．
（2）由原不等式，得；
当时，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了不等式的解集，解不等式遵循不等式的基本性质．
14．【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．
【解答】解：　　是个完全平方式，
　　，
括号内应该填的数是：．
故答案为：25．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
15．【分析】根据二元一次方程组的解，即可解答．
【解答】解：将代入得：，
将代入方程组得：

解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是解二元一次方程组．
16．【分析】根据题目中的新定义可以判断出各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，故①正确；
，故②错误；
，故③正确；
当为整数时，，
当为小数时，如，则，故④错误；
故答案为：①③．
【点评】本题考查新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，可以判断出各个小题中的结论是否正确．
三、解答题（本大题共12小题，共68分）
17．【分析】根据乘方运算、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查乘方运算、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
18．【分析】根据解一元一次不等式的步骤，可得答案．
【解答】解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
解集在数轴上表示如图：

【点评】本题考查了解一元一次不等式，其一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
19．【分析】①②得出，求出，把代入②得出，再求出即可．
【解答】解：，
①②，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
20．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为，，0，1，2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
21．【分析】根据消元法，得出、的值，再根据，且为非负数，可得答案．
【解答】解：，
①②，得：，
，
，即，
解得，，
又，
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出的取值范围．
22．【分析】（1）合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项的能力是解题的关键．
23．【分析】（1）利用积的乘方的逆运算进行求解即可；
（2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解．
【解答】解：（1）

；
故答案为：1；
（2），
，
，
，
解得：．
【点评】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：

，
，
，
当时，原式

．
【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25．【分析】（1）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了650元列方程，然后解方程求出，再计算即可；
（2）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元列不等式组，然后解不等式组后确定的整数值即可得到该公司的购买方案．
【解答】解：（1）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，
根据题意得，
解得，
则，
答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件；
（2）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，
根据题意得，解得，
为整数，
或，
当时，；当时，；
答：该公司有2种不同的购买方案：甲种奖品购买了7件，乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了12件．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，
26．【分析】由题意可得，，方程变形后求出与的值，即可确定出与的值．
【解答】解：由题意可设，，
则方程组变形为，
解得：，
，
解得：．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
27．【分析】（1）方法1：两个正方形面积和，方法2：大正方形面积两个小长方形面积；
（2）由题意可直接得到；
（3）由阴影部分面积正方形的面积正方形的面积三角形的面积三角形的面积，可求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）由题意可得：方法 方法
故答案为：，
（2）
故答案为：
（3）阴影部分的面积
阴影部分的面积
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．
28．【分析】（1）先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可得出结果；
（2）先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可得出结果．
【解答】解：（1），
．
又，
，
．
又，
．
同理得：，
由①②得：．
的取值范围是：．
（2），
．
又，
．
．
又，，
．
同理得：．
由①②得：．
的取值范围是：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法；熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
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