第28讲-平面向量范围与最值问题(解析版).docx

第28讲 平面向量范围与最值问题
一、单选题
1．（2021·四川·双流中学高三期末（理））如图所示，边长为1的正方形的顶点，分别在边长为2的正方形的边和上移动，则的最大值是（ ）

A．4 B． C． D．2
【答案】D
【分析】
建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合二倍角公式进行求解即可.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系：
令，由于，故，，
如图，，
故，
故
同理可求得，
即，
，
当时，有最大值2．
故选：D

2．（2021·四川资阳·高三月考（理））已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
可设，，根据，可得的关系式，并得出的范围，，将用表示，再根据函数的最值即可得解.
【详解】
解：可设，，
则，
即，则，，
，
当时，取得最大值为6，
即的最大值为6.
故选：C
3．（2021·河南南阳·高三期中（文））已知､是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中､，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】
建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.
【详解】
解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设，
可得，，，
由，，得，
，，，
，
，，
当时，的最大值为2，此时为弧的中点.
所以的最大值是2.
故选：B.

4．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知，若点P是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】
以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设，求出点坐标，再求出数量积，然后引入函数，用导数求得最大值．
【详解】
∵，∴可以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；
不妨设，则，故点P坐标为
则，∴
令，则，
则当时，，当时，，
则函数在递增，在上递减，则，即的最大值为12．
故选：C．

5．（2021·浙江丽水·高三期中）已知平面向量，，，，若，，则（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】A
【分析】
令，可得，且，设 ，，，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.
【详解】
令，则，故，且，
假设 ，，，
所以根据已知条件有，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是，
故选：A.
6．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知平面向量满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可得，再结合向量的数量积的性质可求，最后代入即可求出答案.
【详解】
设
得

即

,

故选：A
7．（2021·山西·怀仁市第一中学校高三期中（理））已知平面向量满足，=1，=－2，，则的最大值为（ ）
A．－1 B．－2 C． D．
【答案】D
【分析】
由题意不妨设，利用，可得为定值，再求出的解析式，利用基本不等式即可求出的最大值．
【详解】
解：由，不妨设，
又，可设，
则，
又，
∴，
∴；
∴，
当且仅当或时取“=”；
∴的最大值为．
故选：D．
8．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A、B、C在下底面圆的圆周上，且，点Р在上底面圆的圆周上，则的最小值为（ ）
A．246 B．226 C．208 D．198
【答案】D
【分析】
问题可转化为三棱锥且三棱锥有外接球，求转化为求的最值，再转化为利用向量求解即可.
【详解】
如图，

ABC的外心是AC中点，点P到底面ABC的距离为7，设Р所在截面圆的圆心为，此截面与平面ABC平行，球心在上，
，
则，
设P在平面ABC上的射影为Q，则Q在以为圆心，3为半径的圆，因为PQ⊥平面ABC，所以PQ与平面ABC内所有直线都垂直，PQ=7,
所以

，
当反向时，取得最小值-12，
所以的最小值
故选：D
9．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）已知中，，，当时，的最小值为（ ）
A．10 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】
先利用余弦定理求出，从而可求出，然后对平方后化简，再利用二次函数的性质可求得结果
【详解】
由余弦定理得，解得，
所以
所以
，
当时，取最小值，
所以，
故选：D．
10．（2021·北京朝阳·高三期中）如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A． B．6 C． D．4
【答案】B
【分析】
根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】
解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，
因为，，
所以，
所以，，
所以，
所以，
所以当，即时，的最小值为.
故选：B

11．（2021·辽宁实验中学高三期中）若平面向量，满足，则对于任意实数，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
转化，结合题干条件和二次函数的性质，即得解
【详解】
由题意，

当且仅当时等号成立
故的最小值是
故选：A
12．（2021·重庆八中高三月考）四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，M为线段上一动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：由题意，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系

则，，
M为线段上一动点，设，其中
，
，
当时，
的最小值为.
故选：D.
13．（2021·北京·101中学高三开学考试）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意，则，代入题干数据，结合二次函数的性质，即得解
【详解】
由题意，向量与共线，
故存在实数，使得

当且仅当时等号成立
故选：D
14．（2022·全国·高三专题练习）设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】
根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，，A，B，C三点共线，
∴且，则，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故选：A
15．（2021·广西桂林·高三月考（文））已知向量，，.若恒成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由条件利用向量的数量积公式，三角恒等变换，变形为，再根据求得的最大值，进而可得的范围.
【详解】
由已知，
，
由，
得，
得，
故的最大值为，
所以.
故选：B.
16．（2021·江苏·高三专题练习），,，若对任意实数，恒成立，则实数的范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先由题中条件，根据向量模的计算公式，求出，再将不等式恒成立转化为对任意实数恒成立，根据一元二次不等式恒成立的判定条件，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为，,，
则，则，
所以，
又对任意实数，恒成立，
则对任意实数恒成立，
因此只需，解得或，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查考查一元二次不等式恒成立求参数的问题，考查向量模的计算，属于常考题型.

二、多选题
17．（2021·江苏省天一中学高三月考）己知△ABC中，角A，B．C所对的边分别是a，b，c，B=，2=，AP=则下列说法正确的是（ ）
A．=+ B．a+3c的最大值为
C．△ABC面积的最大值为 D．a+c的最大值为2
【答案】AD
【分析】
利用平面向量基底表示向量可判断A；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断B，C，D.
【详解】
对于A，在△ABC中，因2=，则，A正确；
在△ABP中，由余弦定理得：，
当且仅当时取“=”，于是得当时，，
，C不正确；
在△ABP中，令，则，，由正弦定理得：，
则，，
其中锐角由确定，而，则当时，，取最大值，D正确；
而，则的最大值应大于的最大值，又，即a+3c的最大值为是不正确的，B不正确.
故选：AD
18．（2022·河北·高三专题练习）在中，，，下述四个结论中正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为边上的一个动点，则为定值2
C．若，为边上的两个动点，且，则的最小值为
D．已知为内一点，若，且，则的最大值为2
【答案】AC
【分析】
A.以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由为的重心，结合向量的数乘运算判断；B.设，把用含t的代数式表示判断；C.不妨设M靠近B，，求得M，N的坐标，得到关于x的函数，利用二次函数求值判断；D. 由结合BP=1，得到，再令，转化为，利用三角函数的性质求解判断.
【详解】
如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，

则，因为为的重心，所以，则 ，
所以 ，所以，故A正确；
设，则，则，
，故B错误；
不妨设M靠近B，，得，

则，当时，的最小值为：故C正确；
由，且P为内一点，BP=1，则，即，
令，则，
因为，则，所以，
所以的范围是，故D错误.
故选：AC
19．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在凸四边形中，对边的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，，则（ ）

A． B．
C．的最大值为1 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】
根据题意，化简整理，即可判断A的正误；利用B、C、E三点共线及F、C、D三点共线，化简计算，即可判断B的正误；根据基本不等式，计算整理，可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】
对于A：因为，所以，
所以，故A正确；
对于B：由B、C、E三点共线可得，
由F、C、D三点共线可得，解得，故B正确；
对于C：由得，
当且仅当时等号成立，所以有最小值为4，无最大值，故C错误；
对于D：因为，所以，
所以.
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ACD
【点睛】
解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则、三点共线定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简，转化分析的能力，属中档题.
20．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值3
B．面积的最大值为
C．的取值范围是
D．若为中点，则不可能等于
【答案】ABD
【分析】
对于A:利用和数量积的计算公式可求；
对于B：利用面积公式和基本不等式即可判断；
对于C：先判断出，结合的范围即可判断；
对于D：利用求出范围，即可判断.
【详解】
设.
对于A:因为，所以D为BC的中点.
因为，所以，
即，所以.
因为，所以，
所以.故A正确；
对于B：，
又，当且仅当“"时,取“=”
此时，
所以.故B正确；
对于C：因为，所以，
所以.
当时，D、E重合，取得最大值3.
可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故C错误；
对于D：若为中点，则
.故D正确.
故选：ABD.
21．（2022·河北·高三专题练习）如图，在中，，，，点，为边上两个动点，且满足，则下列选项正确的是（ ）

A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．当取得最大值时，点与点重合
【答案】BC
【分析】
取的中点，利用向量的加法法则和数量积的运算律可得，求出的最小值，即可得答案，当点与点重合时，取得最大值，然后利用余弦定理可得答案
【详解】
取的中点，则，，则，易知的最小值为点到的距离，即的最小值为，即的最小值为，故B选项正确，A错误；
当点与点重合时，取得最大值，即，故的最大值为，故C选项正确，D错误.
故选：BC

22．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角三角形中，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则（ ）

A．点所在圆的半径为2 B．点所在圆的半径为1
C．的最大值为14 D．的最大值为16
【答案】AC
【分析】
斜边BC上的高即为圆的半径；把求的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求的最大值，从而判断出P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时取最大值.
【详解】
设AB 的中点为M，过A作AH垂直BC于点H，因为，所以，，
所以由，得，所以圆的半径为2，即点所在圆的半径为2，所以选项A正确，B错误；
因为，，，
所以
，
所以当P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时，取最大值，且最大值为，
所以的最大值为，所以选项C正确，D错误.

故选：AC.
23．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，等边的边长为2，点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段的右上方则（ ）

A．有最大值3 B．有最大值3
C．有最小值无最大值 D．无最大值也无最小值
【答案】BD
【分析】
根据题意，设，则，进而得,,，再结合三角恒等变换和向量数量积运算依次讨论各选项即可求解.
【详解】
如图，设，则，
所以在中，
，，
在中，，
所以,,,
所以
，
故，
由于，故，所以，故A选项错误；

，
由于，故，，即有最大值3，故B选项正确；

所以
，
由于，故，所以有最大值，无最小值；故C选项错误；
，
由于，故，所以，所以无最大值也无最小值，故D选项正确；
故选：BD

【点睛】
本题考查了向量的数量积、模长的坐标表示，解题的关键点是建立坐标系后求出各点的坐标，把数量积、模长用坐标表示，再根据的范围求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.
24．（2022·全国·高三专题练习）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则有两解
C．若为锐角三角形，则b取值范围是
D．若D为边上的中点，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】
由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．
【详解】
因为，所以，，又，所以，A错；
若，则，三角形有两解，B正确；
若为锐角三角形，则，，所以，，
，，C正确；
若D为边上的中点，则，，
又，，
由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：BCD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．
25．（2021·湖北·高三月考）在中，角A､B､C的对边分别为，且，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．满足条件的不可能是直角三角形
B．面积的最大值为
C．已知点M是边BC的中点，则的最大值为3
D．当A=2C时，若O为的内心，则的面积为
【答案】BD
【分析】
对于A，利用勾股定理的逆定理判断；
对于B，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；
对于C，由数量积坐标公式即可判断；
对于D，由已知条件可得为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得的面积．
【详解】
对于A，因为，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，所以A错误；
对于B，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，
因为，所以，
化简得，所以点 在以为圆心，为半径的圆上运动，
所以点到边的最大距离为，
所以面积的最大值为，所以B正确；
对于C，因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，设
则 ，即，
又，，所以，故C错；
对于D，由A=2C，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，，，
为直角三角形， ，
所以的内切圆半径为，
所以的面积为
所以D正确，
故选：BD．
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．
26．（2021·福建·三明一中高三期中）中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】BD
【分析】
根据平面向量共线定理可知A错误；
根据，利用基本不等式可求得最大值，知B正确；
由，利用基本不等式可求得最小值，知C错误；
利用基本不等式可得，知D正确.
【详解】
对于A，，
三点共线，，A错误；
对于B，，（当且仅当时取等号），B正确；
对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误；
对于D，（当且仅当时取等号），D正确.
故选：BD.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
27．（2021·广东珠海·高三期末）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，、为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】BD
【分析】
先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则，分析可得，利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】
先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则.
证明：因为、、三点共线，可设，即，
所以，，所以，.
、为正实数，，即，故，
，且、、三点共线，，
∴当且仅当，时取等号，
，当且仅当，时取等号.
故选：BD.
28．（2021·全国·高三月考）已知为所在平面内一点，且，，是边的三等分点靠近点，，与交于点，则（ ）
A．
B．
C．
D．的最小值为-6
【答案】ABD
【分析】
由题意得，由向量线性运算知，故A正确；根据，，三点共线可知，是的中点，是靠近的四等分点，可推出，B正确；根据等边三角形求得，可知，C错误；建立直角坐标系，利用坐标运算可得，可求得最小值-6，D正确.
【详解】
解：∵，∴
又∵是边的三等分点靠近点
∴
∴，故选项A正确；
设，则
∵，，三点共线
∴，故
∴是的中点
∴
又∵，，三点共线，所以为靠近的四等分点
∴，故选项B正确；
∵是边长为4的等边三角形
∴
∴，故选项C不正确；
以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则点，，，设点，则
∴最小值为-6，故选项D正确.
故选：ABD．
29．（2022·河北·高三专题练习）是的重心，，，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量等于
C．
D．的最小值为-1
【答案】AC
【分析】
根据向量的线性运算结合重心的性质判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量的数量积的运算律判断C，D.
【详解】
A：当点为的重心时，
如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.

则，∴A正确，
B：∵在方向上的投影为，
∴在方向上的投影向量为，∴B错误，
C：∵是的重心，
∴，，
∴
，∴C正确，
D：当与重合时，∵
，与的最小值为矛盾
∴D错误，
故选：AC．
30．（2021·广东·高三月考）已知，点满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为1 B．当时，
C．当时，的面积为定值 D．当时，
【答案】AD
【分析】
首先根据数量积的定义求出，再利用余弦定理求出，即可得到，再一一判断即可；
【详解】
解：因为，所以，，，所以，因为，所以，由余弦定理，所以，所以，所以，
当时，点在直线上，故的最小值为点到直线的距离，故A正确；
，若，则，故B错误；
当时，点在过线段中点且平行于直线的直线上，的面积不为定值，故C错误；当时，点在过线段中点且平行于直线的直线（即线段的垂直平分线）上，所以，故D正确；
故选：AD

31．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的两个动点，且．记，，下列说法正确的有（ ）

A．为定值 B．
C． D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】
先根据已知条件将所有线段长用含有的式子表示，再对各选项进行分析.对于A可以转化为的值；对于B根据已求式直接表示即可；对于C可以在中利用将与联系起来即可；对于D利用向量的基底法将所求数量积进行转化，再利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】
根据题意可知，，则，不妨设，则，.在中根据勾股定理得,即，解得.所以,.
对于A，在中，所以，根据图形可知，所以，因为，所以
，故A正确；
对于B，由易求可得，故B错误；
对于C，在中，，因为，所以，故C正确；
对于D，根据图形以及向量运算法则可知，所以，因为，所以根据基本不等式得，当且仅当即时等号成立，即的最小值为，故D正确.
故选:ACD

三、填空题
32．（2021·浙江·绍兴一中高三期中）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________.
【答案】60
【分析】
如图所示，设先证明四点共圆，求出，再利用余弦定理和重要不等式求解.
【详解】

如图所示，设
所以，,
因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，
所以 所以，
所以四点共圆.
在△中，由正弦定理得
所以因为.
在△中，由余弦定理得，
所以.
所以的最大值为60.
故答案为：60
33．（2021·黑龙江大庆·高三月考（理））锐角中，角，，所对边的长分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为_______________________.
【答案】
【分析】
先通过正弦定理角化边得3边关系，代入余弦定理求得角余弦值的最小值，进而可得角正切值的最大值，再利用三角形面积公式及向量数量积可得目标式的最大值.
【详解】
解：中，
所以，
，
当且仅当时等号成立，此时最小，最大.
此时

故答案为：.
34．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知向量，是平面内的两个非零向量，则当取最大值时，与夹角为________．
【答案】##
【分析】
根据，结合平面向量数量积的运算性质推出，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.
【详解】
∵向量，是平面内的两个非零向量，
∴，当且仅当时取等号，
∴，即，
∴，即，当且仅当时取等号，即，则与夹角为，
∴当取最大值时，与夹角为.
故答案为：.
35．（2021·上海·格致中学高三期中）已知向量，满足，，则的最大值为______.
【答案】
【分析】
先求得、，进而平方，计算即得结论．
【详解】
设向量的夹角为，
，
，
则，
令，
则，
据此可得：，
即的最大值是
故答案为：.
36．（2021·河南·高三月考（理））已知在中.，平面内有动点满足，则数量积的最大值是___________.
【答案】
【分析】
根据题意建立恰当的坐标系，求出的轨迹方程，即可求解.
【详解】
如图，根据已知条件建立恰当的坐标系，各点坐标分别为：，

设动点，则由得，
化简得出满足，令.
则，
所以的最大值为.
故答案为：16.
37．（2021·浙江·模拟预测）平面向量满足：的夹角为，，则的最大值为_____.
【答案】##
【分析】
设，，，线段的中点为，将转化为，求出的轨迹是过、且半径为2的圆（除去两点），求出的最大值，进一步求出的最大值即可求解.
【详解】
设，，，则有，，
设线段的中点为，则，，
则

，
因为，，
所以的外接圆的直径，
所以点的轨迹是过、且半径为2的圆（除去两点），记圆心为，
当在圆上时，，此时（不能与重合），
所以，

当不在圆上时， ，，又，

所以，所以，
所以，
所以，
故的最大值为.
故答案为：
38．（2019·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）已知，，则的最大值=___________.
【答案】2
【分析】
由可得，化简结合三角函数即可求解
【详解】
由可得，即，，要使，故，可得，又，故，当向量同向时，，
故答案为：2
39．（2021·陕西·西安中学高三月考（文））如图，△ABC中，，，，为△ABC重心，P为线段BG上一点，则的最大值为___________.

【答案】20
【分析】
延长交于，由为△ABC重心，得为的中点，则可得，设，可得，分别把用基底表示，再由数量积的运算结合二次函数求最值可得的最大值
【详解】
延长交于，
因为为△ABC重心，所以为的中点，
所以,
设，因为P为线段BG上一点，所以，
因为为△ABC重心，所以，
因为,
，
所以

其对称轴为，
所以当时，取得最大值20，
故答案为：20

40．（2021·浙江·诸暨中学高三月考）设，，，（），则（）的最小值为___________.
【答案】
【分析】
设，，，，可得，､是以为圆心，以为半径的圆上的动点，设，，，，则在以为圆心，以为半径的圆上，所求的即为 即可求解.
【详解】
设，，，，
则，，，
因为，所以，
因为，所以､是以为圆心，以为半径的圆上的动点，
设，，则，，
设，，则在以为圆心，以为半径的圆上，
设，则
，
故答案为：.

41．（2021·湖南·益阳市箴言中学高三月考）如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于､的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是___________

【答案】
【分析】
由向量的线性运算得，因此，只要求得的最大值即可，这可由基本不等式得结论．
【详解】
解：因为为的中点，所以，

从而.
又为定值，再根据，可得，所以当且仅当时，即为的中点时，等号成立，取得最小值是，
故答案为：.
42．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）中，为上的一点，满足若为上的一点，满足，的最小值为______ .
【答案】
【分析】
利用向量共线的推论可得，再由，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，所以，
，
又因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
43．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知平面向量，，满足，，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】
根据已知条件求得即，当时即可取得最小值.
【详解】
由可得：，
由可得：，
所以，可得，
所以当时，，
故答案为：.
44．（2021·山东德州·高三期中）如图，梯形中，，，若点为边上的动点，则的最小值是________.

【答案】##
【分析】
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图：

，
设，,，
，则，解得，
，点为边上的动点，
设 ，，，，
，
当时，取得最小值，代入可得的最小值是.
故答案为：
45．（2021·浙江·学军中学高三期中）如图，已知是半径为2，圆心角为的一段圆弧上一点，，则的最小值为___________.

【答案】##
【分析】
建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值乘转换成求三角函数的最值即可．
【详解】
解：已知是半径为2，圆心角为的一段圆弧上一点，，
以圆心为原点，垂直平分线所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，

则：，，，由题设：，；
则

其中；
所以，当时，
则的最小值为；
故答案为：．
46．（2022·全国·高三专题练习）点为所在平面内一点，，，若的面积为，则的最小值是________．
【答案】
【分析】
在中，根据题意化简得到，根据的面积为，求得，再根据，得到，设，结合点与点连线的斜率， 利用直线与半圆相切，即可求解.
【详解】
在中，设角对的三边分别为，
由，
又由，可得且，解得，
因为的面积为，所以，可得，
由，可得
，
设，其中
因为表示点与点连线的斜率，
如图所示，当过点与半圆相切时，此时斜率最大，
在直角中，，可得，
所以斜率的最大值为，
所以的最大值为，所以，所以，
即的最小值为.
故答案为：.

四、解答题
47．（2021·山东菏泽·二模）“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：
；，其中， ，， 均为常数，为自然对数的底数
令，经计算得如下数据：，，，，，，，，，，问：
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立，关于的回归方程（系数精确到0.01）
（3）若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01）
附：①相关系数r＝
回归直线中：，
参考数据：，．
【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）；（3）亿元．
【分析】
（1）分别计算两个函数模型的相关系数和，比较和的大小关系即可判断；
（2）由得，即，根据最小二乘法求和的值，即可求解；
（3）将代入（2）中的回归方程即可求解.
【详解】
（1）为了判断两个函数模型：；，拟合程度，只需要判断两个函数模型，拟合程度即可．
设和的相关系数为，和的相关系数为，
由题意
，
，
显然，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．
（2）先建立关于的线性回归方程，由得，，即，
，
，
所以关于的线性回归方程为，即，
所求回归方程为：，
（3）若2021年盈利额为500亿元，即为，
，，
解得：，
所以2021年的研发资金投入量约为亿元．