专题11-数列解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)(解析版).doc

专题11 数列解答题
1．（2021·河北大名一中高三月考）已知数列满足，且.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记，数列的前n项和为.
【答案】
（1）证明见解析
（2）①当n为奇数时，；②当n为偶数时，.
【解析】
（1）
，
，即，
数列是以为公差的等差数列.
（2）由（1）可知数列是以为公差的等差数列，且，
，
，

①当n为奇数时，

②当n为偶数时，

2．（2021·河北唐山一中高三期中）为等差数列的前项和，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，.
（1）求，，；
（2）求数列的前项和.
【答案】
（1），，
（2）
【解析】
（1）由题意得可得：，所以，
所以，
所以，所以，，.
（2）由（1）知：，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
所以.
3．（2021·河北衡水中学高三月考）对于正项数列，定义为数列的“匀称”值.
（1）若数列的“匀称”值，求数列的通项公式；
（2）若数列的“匀称”值，设，求数列的前项和及的最小值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
（1）当时，由
得
当时，
当时，
即，检验时，成立
；
（2）当时，由
得
当时，
当时，
即，检验时，成立

当为奇数时，当为偶数时，

令，则

所以数列为递增数列，即数列为递增数列
当时，
4．（2021·福建福州三中高三月考）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）当时，，解得，
当时，，则，即，
又，则，
∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）可得：，
∴，
设，则
∴，
∴，又，
∴
5．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前n项和.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）当时，；
由已知得，
于是，
即，
又也满足上式，
所以.
（2）由（1）知，
而

当n为奇数时，
，
当n为偶数时，
.
综上，.
6．（2021·山东滕州一中高三期中）在数列中，且成等差数列.
（1）求；
（2）求的和.
【答案】
（1），，
（2）
【解析】
（1）由于成等差数列，所以，
，
所以.
（2）
①，
②，
两式相减得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以
7．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由题意知，
解得，，或，（舍去），
所以.
（2），将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到：
.
8．（2021·湖南永州·高三月考）已知数列满足，.
（1）求；
（2）记，证明：数列为等比数列.
【答案】（1）6；（2）详见解析.
【解析】
（1）因为已知数列，满足，.
所以，
，
；
（2），
，
所以，
，
，
猜想数列是以4为首项，以2为公比的等比数列，
证明如下：
，
，
，
，
所以数列是以4为首项，以2为公比的等比数列.
9．（2021·湖南郴州一中高三月考）设数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）法一：∵，∴，
两式相减得：，即，∴.
∴，
而满足上式，∴.
法二：∵，∴，
两式相减得：，即，∴，
∴，
∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列，
∴，
∴.
当时，满足上式，
∴.
（2）法一：由（1）知，，∴，
∴，
即数列是以4为公差的等差数列.
∴.
法二：由（1）知，
∴

.
10．（2021·广东福田一中高三月考）已知是等差数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前15项和．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）利用已知条件解方程得到基本量 ，再利用公式写通项公式即可；
（2）先代入化简，分类讨论去绝对值，再分组可求前15项和.
（1）
设等差数列的公差为d，由条件得，
解得．故．
（2）由（1）可知，其中
故的前15项和

11．（2021·广东肇庆一中模拟）已知等差数列中，，公差，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.
（1）求的值；
（2）设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，求.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由不可能删去首项和末项，分别讨论删去、，利用等比中项可得答案；
（2）由求得，根据、中的项可得前100项是的前107项去掉的前7项后构成的，所以求出前107项去掉的前7项后可得答案.
（1）
不可能删去首项和末项，否则等差数列中连续三项构成等比数列则，而已知，不合题意；若删去，则，即，所以，
因为，所以，舍去；
若删去，则，即，所以，
因为，所以，符合题意，故.
（2）
由（1）知，，
所以，即的公比为2，首项为10，
所以，即，是数列中的第项，
设数列的前项和为，数列的前项和为，
因为，，
故前100项是的前107项去掉的前7项后构成的，
则.
12．（2021·广东惠州高三月考）已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，，成等差数列，且公比，
所以，
即，
整理得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）.
所以为等比数列，令，故为等差数列
因此分组求和可得：

13．（2021·广东湛江一中高三月考）已知等差数列满足．数列的前项和为，且．
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1）设的公差为因为，所以
又由，得，
所以．
数列的前项和为，且①，当时，②
①-②，得，当时，满足，所以．
（2）因为，
所以③
④
③-④，得，
所以．
14．（2021·江苏海安高级中学高三月考）设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的公差；
（2）数列满足，且，求数列的通项公式．
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】
（1）根据，，成等比数列可得，利用表示出和，解方程组可求得，结合可得结果；
（2）由（1）可得，整理得，可知数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.
（1）
（1）设等差数列的公差为，
，，成等比数列，，即，
又，解得：或；
当时，，与矛盾，，
即等差数列的公差；
（2）
由（1）得：，，即，
，又，解得：，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，整理可得：.
15．（2021·江苏如皋中学高三月考）已知数列的前项和为，，.
（1）若成等差数列，求的值；
（2）若为等比数列，求.
【答案】
（1）；
（2） .
【解析】
（1）依题意表示出、，再根据等差中项的性质得到方程，解得即可；
（2）根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，再代入检验即可；
（1）
解：由得：
当时，，所以；
当时，，所以 ，
因为成等差数列，所以，即，
所以 ；
（2）因为为等比数列，所以成等比数列，
所以，即，所以等比数列的公比，所以，
经验：当时，满足题意，
综上所述： .
16．（2021·江苏苏州中学高三月考）在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列，且___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．
【解析】
（1）选①②：因为是等差数列，且，，
所以，解得，，所以.
选①③：所以，解得，，所以.
选②③：因为是等差数列，且，
所以，解得，，所以.
（2）因为，所以，
所以.
17．（2021·重庆市涪陵实验中学高三期中）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2），.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，
依题意有，
由，又，
解得，
∴，
即，
；
（2）∵，
∴前项和

.
∴前项和，.
18．（2021·重庆八中高三月考）在①，，②，③，，这三个条件中任选一个，补全下列试题后并完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个给分）
设等差数列的前n项和为，且___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项的和.
【答案】
（1）答案见解析
（2）.
【解析】
（1）若选①，设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以，
所以数列的通项公式为；
若选②，当时，由得，所以，
当时，满足，
所以数列的通项公式为；
若选③，设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，所以，所以
，
所以，上面两式相减得：
，
所以.
19．（2021·重庆一中高三月考）已知数列满足，且，，.
（1）求数列的前三项，，；
（2）是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，求证：.
【答案】
（1），，
（2）存在，
（3）证明见解析
【解析】
（1）由题意知，∴.同理可得，.
（2）假设存在实数满足题意，则必是与无关的常数，
而，∴.
∴存在实数，使得数列为等差数列，且.
（3）由（2）知数列是等差数列，其首项为2，公差为1，则，
∴，
∵数列的前项和为，
∴.
20．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知等比数列的公比和等差数列的公差为，等比数列的首项为，且，，成等差数列，等差数列的首项为.
（1）求和的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求证：.
【答案】
（1）
（2）具体见解析.
【解析】
（1）根据题意，，
则，所以，.
（2）由（1），，
所以……①
则……②，
①-②得，，
所以.