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专题11-数列解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)(解析版).doc

1、 专题11 数列解答题 1.(2021·河北大名一中高三月考)已知数列满足,且. (1)求证:数列是等差数列; (2)记,数列的前n项和为. 【答案】 (1)证明见解析 (2)①当n为奇数时,;②当n为偶数时,. 【解析】 (1) , ,即, 数列是以为公差的等差数列. (2)由(1)可知数列是以为公差的等差数列,且, , , ①当n为奇数时, ②当n为偶数时, 2.(2021·河北唐山一中高三期中)为等差数列的前项和,且,,记,其中表示不超过的最大整数,如,. (1)求,,; (2)求数列的前项和. 【答案】 (1),, (2) 【

2、解析】 (1)由题意得可得:,所以, 所以, 所以,所以,,. (2)由(1)知:, 当时,, 当时,,, 当时,,, 当时,,, 所以. 3.(2021·河北衡水中学高三月考)对于正项数列,定义为数列的“匀称”值. (1)若数列的“匀称”值,求数列的通项公式; (2)若数列的“匀称”值,设,求数列的前项和及的最小值. 【答案】(1);(2),. 【解析】 (1)当时,由 得 当时, 当时, 即,检验时,成立 ; (2)当时,由 得 当时, 当时, 即,检验时,成立 当为奇数时,当为偶数时, 令,则 所以数列为递增

3、数列,即数列为递增数列 当时, 4.(2021·福建福州三中高三月考)已知数列的前n项和为,且. (1)求数列的通项公式; (2)若,求数列的前n项和. 【答案】(1);(2). 【解析】 (1)当时,,解得, 当时,,则,即, 又,则, ∴(常数),故是以为首项,以3为公比的等比数列, ∴数列的通项公式为. (2)由(1)可得:, ∴, 设,则 ∴, ∴,又, ∴ 5.(2021·福建·福清西山学校高三期中)已知数列满足,. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列前n项和. 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)当时,; 由已知得,

4、 于是, 即, 又也满足上式, 所以. (2)由(1)知, 而 当n为奇数时, , 当n为偶数时, . 综上,. 6.(2021·山东滕州一中高三期中)在数列中,且成等差数列. (1)求; (2)求的和. 【答案】 (1),, (2) 【解析】 (1)由于成等差数列,所以, , 所以. (2) ①, ②, 两式相减得, 所以数列是首项为,公差为的等差数列. 所以 7.(2021·山东昌乐二中高三月考)已知公差不为零的等差数列的前四项和为10,且,,成等比数列. (1)求数列通项公式; (2)设,求数列的前项和. 【答案】 (

5、1) (2) 【解析】 (1)由题意知, 解得,,或,(舍去), 所以. (2),将这个数列分为两部分,一部分是等差数列,一部分是等比数列,根据等差数列和等比数列求和公式得到: . 8.(2021·湖南永州·高三月考)已知数列满足,. (1)求; (2)记,证明:数列为等比数列. 【答案】(1)6;(2)详见解析. 【解析】 (1)因为已知数列,满足,. 所以, , ; (2), , 所以, , , 猜想数列是以4为首项,以2为公比的等比数列, 证明如下: , , , , 所以数列是以4为首项,以2为公比的等比数列. 9.(2021·湖

6、南郴州一中高三月考)设数列的前项和为,且,. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项的和. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)法一:∵,∴, 两式相减得:,即,∴. ∴, 而满足上式,∴. 法二:∵,∴, 两式相减得:,即,∴, ∴, ∴数列是以1为首项,以0为公差的等差数列, ∴, ∴. 当时,满足上式, ∴. (2)法一:由(1)知,,∴, ∴, 即数列是以4为公差的等差数列. ∴. 法二:由(1)知, ∴ . 10.(2021·广东福田一中高三月考)已知是等差数列,,. (1)求的通项公式; (2)设,求数列的前1

7、5项和. 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)利用已知条件解方程得到基本量 ,再利用公式写通项公式即可; (2)先代入化简,分类讨论去绝对值,再分组可求前15项和. (1) 设等差数列的公差为d,由条件得, 解得.故. (2)由(1)可知,其中 故的前15项和 11.(2021·广东肇庆一中模拟)已知等差数列中,,公差,其前四项中删去某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列的前三项. (1)求的值; (2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列,记的前项和为,求. 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)由不可能删去首项和末项,分别讨论

8、删去、,利用等比中项可得答案; (2)由求得,根据、中的项可得前100项是的前107项去掉的前7项后构成的,所以求出前107项去掉的前7项后可得答案. (1) 不可能删去首项和末项,否则等差数列中连续三项构成等比数列则,而已知,不合题意;若删去,则,即,所以, 因为,所以,舍去; 若删去,则,即,所以, 因为,所以,符合题意,故. (2) 由(1)知,, 所以,即的公比为2,首项为10, 所以,即,是数列中的第项, 设数列的前项和为,数列的前项和为, 因为,, 故前100项是的前107项去掉的前7项后构成的, 则. 12.(2021·广东惠州高三月考)已知数列是公

9、比为2的等比数列,其前项和为,,,成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)令,求数列的前项和. 【答案】(1);(2). 【解析】 (1)由,,成等差数列,且公比, 所以, 即, 整理得,解得, 所以数列的通项公式为. (2). 所以为等比数列,令,故为等差数列 因此分组求和可得: 13.(2021·广东湛江一中高三月考)已知等差数列满足.数列的前项和为,且. (1)求数列与的通项公式; (2)若,求数列的前项和. 【答案】(1);;(2). 【解析】(1)设的公差为因为,所以 又由,得, 所以. 数列的前项和为,且①,当时,②

10、 ①-②,得,当时,满足,所以. (2)因为, 所以③ ④ ③-④,得, 所以. 14.(2021·江苏海安高级中学高三月考)设各项均为正数的等差数列的前项和为,,且,,成等比数列. (1)求数列的公差; (2)数列满足,且,求数列的通项公式. 【答案】 (1); (2). 【解析】 (1)根据,,成等比数列可得,利用表示出和,解方程组可求得,结合可得结果; (2)由(1)可得,整理得,可知数列为等比数列,由等比数列通项公式可推导得到结果. (1) (1)设等差数列的公差为, ,,成等比数列,,即, 又,解得:或; 当时,,与矛盾,, 即等差数列的公差

11、 (2) 由(1)得:,,即, ,又,解得:, 数列是以为首项,为公比的等比数列, ,整理可得:. 15.(2021·江苏如皋中学高三月考)已知数列的前项和为,,. (1)若成等差数列,求的值; (2)若为等比数列,求. 【答案】 (1); (2) . 【解析】 (1)依题意表示出、,再根据等差中项的性质得到方程,解得即可; (2)根据等比中项的性质求出,即可得到的通项公式,再代入检验即可; (1) 解:由得: 当时,,所以; 当时,,所以 , 因为成等差数列,所以,即, 所以 ; (2)因为为等比数列,所以成等比数列, 所以,即,所以等比数列的

12、公比,所以, 经验:当时,满足题意, 综上所述: . 16.(2021·江苏苏州中学高三月考)在①,②,③中任选两个,补充在横线上,并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列,且___________. (1)求数列的通项公式; (2)若,求数列的前项和. 【答案】条件选择见解析;(1);(2). 【解析】 (1)选①②:因为是等差数列,且,, 所以,解得,,所以. 选①③:所以,解得,,所以. 选②③:因为是等差数列,且, 所以,解得,,所以. (2)因为,所以, 所以. 17.(2021·重庆市涪陵实验中学高三期中)已知数列是等差数列,数列是各项均为正数的等比数

13、列,且,,. (1)求数列和的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 【答案】(1),;(2),. 【解析】 (1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,且, 依题意有, 由,又, 解得, ∴, 即, ; (2)∵, ∴前项和 . ∴前项和,. 18.(2021·重庆八中高三月考)在①,,②,③,,这三个条件中任选一个,补全下列试题后并完成解答(选择多个条件并分别解答的按第1个给分) 设等差数列的前n项和为,且___________. (1)求数列的通项公式; (2)令,求数列的前n项的和. 【答案】 (1)答案见解析 (2). 【解析】

14、1)若选①,设等差数列的公差为d,因为,,所以,解得,所以, 所以数列的通项公式为; 若选②,当时,由得,所以, 当时,满足, 所以数列的通项公式为; 若选③,设等差数列的公差为d,因为,,所以,解得,所以, 所以数列的通项公式为. (2)由(1)得,所以,所以 , 所以,上面两式相减得: , 所以. 19.(2021·重庆一中高三月考)已知数列满足,且,,. (1)求数列的前三项,,; (2)是否存在一个实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,设数列的前项和为,求证:. 【答案】 (1),, (2)存在

15、 (3)证明见解析 【解析】 (1)由题意知,∴.同理可得,. (2)假设存在实数满足题意,则必是与无关的常数, 而,∴. ∴存在实数,使得数列为等差数列,且. (3)由(2)知数列是等差数列,其首项为2,公差为1,则, ∴, ∵数列的前项和为, ∴. 20.(2021·辽宁实验中学高三期中)已知等比数列的公比和等差数列的公差为,等比数列的首项为,且,,成等差数列,等差数列的首项为. (1)求和的通项公式; (2)若数列的前项和为,求证:. 【答案】 (1) (2)具体见解析. 【解析】 (1)根据题意,, 则,所以,. (2)由(1),, 所以……① 则……②, ①-②得,, 所以.

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