专题22-解三角形(同步练习)(文)(解析版).doc

专题22 解三角形（同步练习）
题型一 利用正余弦定理求角、边长
1-1．（10分）在中，角、、的对边分别为、、，已知。
(1)若，，求；
(2)若角，求角。
【解析】(1)由余弦定理得， 1分
∴，即， 3分
代入数值得，解得； 5分
(2)∵，∴由正弦定理得， 6分
由可得，，∴，
即， 8分
解得或 (舍去)，又∵，∴。 10分
1-2．（10分）在中，、、分别为角、、所对的边，已知。
(1)求的值；
(2)若，的周长为，求的长。
【解析】(1)在中，，
由正弦定理得， 2分
即，
∴， 4分
∴，即，∴； 5分
(2)由(1)可知，，， 8分
解得，，∴。 10分
1-3．（12分）中，是上的点，平分，是面积的倍。
(1)求；
(2)若，，求和的长。
【解析】(1)在中，，
设，，， 1分
，， 2分
由正弦定理得：， 3分
∴； 4分
(2)∵，， 6分
， 8分
， 10分
，解得。 12分
1-4．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，向量，向量，且。
(1)求的大小；
(2)若，求的最小值。
【解析】(1) ∵，∴， 1分
∴由正弦定理得， 2分
∴，∴， 4分
又∵，∴，，∴； 6分
(2)由余弦定理知，∴， 8分
∴
， 11分
∴的最小值为，当且仅当时取最小值。 12分
题型二 解三角形面积与周长问题
2-1．（10分）已知、、分别为的内角、、的对边，。
(1)若，求；
(2)若，且，求的面积。
【解析】(1)由正弦定理得，又，可得， 2分
∴由余弦定理可得； 5分
(2)由题意知，又∵，则，故， 7分
又∵，则，∴。 10分
2-2．（10分）设的内角、、所对的边分别为、、，且，。
(1)求角；
(2)若，求的周长。
【解析】(1)在中，，，则两式相除得， 2分
又由正弦定理得，即，又，则； 4分
(2)由(1)知，则，又，则， 5分
又∵，∴，解得， 7分
又∵， 9分
∴，故的周长为。 10分
2-3．（10分）在中，内角、、所对边分别为、、，若，且。
(1)求证：、、成等比数列；
(2)若的面积是，求边的长。
【解析】(1)在中，，则，则， 2分
又∵，则，则， 4分
又∵，，则、、成等比数列； 5分
(2)，则，
由(1)知，则，， 8分
又∵，∴。 10分
2-4．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，的外接圆半径为，
。
(1)求角的大小；
(2)求周长的取值范围。
【解析】(1)已知，
则由正弦定理得， 2分
简化移项得， 4分
又∵，∴，∴，又，则； 6分
(2)由的外接圆半径，且，可知， 7分
又，即，
∴， 9分
求解得(解不等式并结合三角形的三边关系)， 11分
则的周长，
∴周长的取值范围是。 12分
题型三 解三角形与三角函数综合
3-1．（10分）在中，、、分别是角、、所对的边，已知，且。
(1)求；
(2)若，求的面积。
【解析】(1)由及可得， 1分
由正弦定理可得，则， 3分
∴； 4分
(2)由(1)及得，则， 6分
∴， 8分
又∵，则，∴的面积。 10分
3-2．（10分）在中，。
(1)若，求的最大值；
(2)若，，，为垂足，求的值。
【解析】(1)，∵，则， 2分
则，当时，有最大值； 4分
(2)由余弦定理可知，故， 8分
又，则。 10分
3-3．（12分）已知向量，，。
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若、、分别是内角、、所对的边，且，，，求。
【解析】(1)， 2分
∴的最小正周期为， 3分
令，，，， 4分
则的对称中心为，； 5分
(2)已知，
则由正弦定理得，
又∵，则，则，则， 8分
又，则，，∴， 10分
又，则。 12分
3-4．（12分）在中，、、分别为内角、、的对边，且，已知，，，求：
(1)和的值；
(2)的值。
【解析】(1)在中，，
∵，，∴，即，∵， 2分
∴由余弦定理得：， 3分
即，∴，解得，； 5分
(2)在中，， 6分
由正弦定理得：， 8分
∵，∴为锐角，∴， 10分
则。 12分
3-5．（12分）在中，内角、、所对边分别为、、，且。
(1)证明：；
(2)若，且的面积为，求。
【解析】(1)由正弦定理得：
， 2分
展开并整理得，∴， 4分
(2)∵，则， 6分
由得，，∴， 8分
又得，∴，∴， 10分
由，解得。 12分
3-6．（12分）在中，已知内角，边，设内角，周长为。
(1)求函数的解析式和定义域；
(2)求的最大值。
【解析】(1)设、、为角、、所对的边，由题意得，，
，， 2分
∴()； 4分
(2)∵
， 7分
又∵，∴当，即时，取得最大值。 12分
3-7．（12分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为。
(1)求的取值范围；
(2)求函数的取值范围。
【解析】(1)设、、为角、、所对的边，，
由题意可得， 1分
∵的面积为，∴，变形可得， 2分
∴，由，可得， 3分
解得，又∵，∴向量夹角的范围为； 5分
(2)化简可得
， 7分
∵由(1)知，∴，∴， 10分
∴，∴的取值范围为。 12分
3-8．（12分）在中，、、分别是角、、所对的边，且满足。
(1)求角的大小；
(2)设，求的取值范围。
【解析】(1)由正弦定理知，， 1分
即， 3分
在中，，，， 4分
∴，即，又，
∴，∴，即； 5分
(2)依题意得， 6分
∴
， 9分
∴，由(1)知，
∴，， 11分
即。 12分