2020北京海淀初三(上)期末数学备考训练几何综合+相似+旋转(教师版)含答案.docx

2020北京海淀初三（上）期末数学备考训练几何综合+相似+旋转（教师版）
一．选择题（共13小题）
1．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（　　）

A．150° B．120° C．60° D．30°
【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．
【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，
∴BC与B'C是对应边，
∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（　　）

A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．
【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB＝4，AD＝2，DE＝1.5，则BC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，AB＝4，AD＝2，DE＝1.5，
∴，
即，
解得：BC＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系．
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．
5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，
∴，A错误；
∴，C错误；
∴，D正确；
不能得出，B错误；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】分别得出OA，OM，ON，OP，OQ的长判断即可．
【解答】解：由图形可得：OA＝，OM＝，ON＝，OP＝，OQ＝5，
所以点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过P点，
故选：C．
【点评】此题考查坐标与旋转问题，关键是根据各边的长判断．
7．如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB＝1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵D是边AB的中点，
∴AD：AB＝1：2，
∴＝（）2＝．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
8．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，而E是AB的中点，BE＝AB＝CD，再证明△BEF∽△DCF，然后根据相似三角形的性质可计算的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝CD；
∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝（）2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．
9．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】根据位似变换的性质得到＝，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到＝，所以＝，然后把OC1＝OC，AB＝4代入计算即可．
【解答】解：∵C1为OC的中点，
∴OC1＝OC，
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴＝，B1C1∥BC，
∴＝，
∴＝，
即＝
∴A1B1＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴即
解得：EC＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是关键．
11．如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE：EC＝1：2，则S△AED：S△CEB为（　　）

A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】由AD∥BC可证明△ADE∽CBE，再由相似三角形的性质就可以得出结论
【解答】解：∵AD∥BC．
∴△ADE∽CBE，
∴S△AED：S△CEB＝AE2：EC2，
∵AE：EC＝1：2，
∴S△AED：S△CEB＝1：4，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方运用．解答本题求出两三角形相似是关健．
12．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（　　）

A．7m B．6m C．5m D．4m
【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．
【解答】解：如图；
AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即 ，
解得：BC＝7m，
故树的高度为7m．
故选：A．

【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．
13．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（　　）

A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2
【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3
∴S△ADE：S△ABC＝4：9
故选：A．
【点评】熟练掌握三角形的性质．
二．填空题（共6小题）
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为　（1，2）　．

【分析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算．
【解答】解：点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0），
∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'，
∵点A的坐标为（2，4），
∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A（﹣1，2），B（﹣1，0），A′（﹣2，4），则B′的坐标为　（﹣2，0）　．

【分析】利用点A和点A′的坐标关系得到相似比为2，然后把B点的横纵坐标乘以2即可得到点B′的坐标．
【解答】解：∵A（﹣1，2）的对应点A′的坐标为（﹣2，4），
∴B点（﹣1，0）的对应点B′的坐标为（﹣2，0）．
故答案为（﹣2，0）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是　（8，0）　．

【分析】根据位似图形的主要特征：每对位似对应点与位似中心共线画图解答．
【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），
所以位似中心的坐标为（8，0）．
故答案为：（8，0）

【点评】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
17．正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．
（1）如图，若tanB＝2，则的值为　　；
（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tanB的值为　　．

【分析】（1）由正方形的性质得ED＝EC，∠CED＝90°，再在Rt△BDE中，利用正切的定义得到DE＝2BE，则CE＝BE，所以＝；
（2）连结DC、DC′，如图，根据旋转的性质得DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，则可判断△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得＝＝，则可设DC＝3x，BD＝5x，然后利用正方形性质得DE＝3x，接着利用勾股定理计算出BE＝4x，最后根据正切的定义求解．
【解答】解：（1）∵四边形CEDF为正方形，
∴ED＝EC，∠CED＝90°，
在Rt△BDE中，∵tanB＝＝2，
∴DE＝2BE，
∴＝＝；
（2）连结DC、DC′，如图，
∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，
∴DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，
即＝，
∴△DBB′∽△DCC′，
∴＝＝，
设DC＝3x，BD＝5x，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DE＝3x，
在Rt△BDE中，BE＝＝＝4x，
∴tanB＝＝＝．
故答案为，．

【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长和得到对应角相等．解决（2）的关键是证明△DBB′∽△DCC′得到＝．
18．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，若∠ADC＝15°，则∠ABE＝　15°　．

【分析】因为△ABD和△ACE都是等边三角形，所以有AD＝AB，AC＝AE，又因为∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，所以∠DAC＝∠BAE，故可根据SAS判定△ADC≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得出∠ABE的度数．
【解答】解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，
又∵∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）．
又∵∠ADC＝15°，
∴∠ABE＝∠ADC＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查等边三角形的性质及三角形全等的判定方法，解答本题的关键是根据题意判断出△ADC≌△ABE，难度一般．
19．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是　（9，0）　．

【分析】位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线．
【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．
【点评】本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心．
三．解答题（共31小题）
20．如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．

【分析】由∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD可得出△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质可得出＝，代入AO＝4，CO＝2，CD＝3即可求出AB的长．
【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，即＝，
∴AB＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
21．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．
（1）如图1，
①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．
②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为　α　．
（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；
（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．

【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD＝AC＝AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；
②由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BDC，可求∠BDC的度数；
（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC＝BC，∠DCE＝60°＝∠ACB，CD＝CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE＝BD；
（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求，OH＝HC，BH＝3HC，即可求tan∠FBC的值．
【解答】证明：（1）①如图1，连接DA，并延长DA交BC于点M，

∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴AD＝AC，且AB＝AC，
∴AD＝AB＝AC，
∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上
②∵AD＝AB＝AC
∴∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD，
∵∠BAM＝∠ADB+∠ABD，∠MAC＝∠ADC+∠ACD，
∴∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC，
∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝2∠ADB+2∠ADC＝2∠BDC＝α
∴∠BDC＝
故答案为：α
（2）如图2，连接CE，

∵∠BAC＝60°，AB＝AC
∴△ABC是等边三角形
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵∠BDC＝
∴∠BDC＝30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE＝60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴DE＝CE，且∠CDE＝60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD＝AE，
（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，

∵在△BOF中，BO+OF≥BC
∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，
如图，过点O作OH⊥BC，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BC＝AC，∠ACB＝45°，且OH⊥BC，
∴∠COH＝∠HCO＝45°，
∴OH＝HC，
∴OC＝HC，
∵点O是AC中点，
∴AC＝2HC，
∴BC＝4HC，
∴BH＝BC﹣HC＝3HC
∴tan∠FBC＝＝
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sinC＝，求BC的长．

【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD＝ACsinC＝3、，再在△ABD中根据AB＝3、AD＝3求得BD＝3，继而根据BC＝BD+CD可得答案．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AC＝5，，
∴AD＝AC•sinC＝3．
∴在Rt△ACD中，．
∵AB＝，
∴在Rt△ABD中，．
∴BC＝BD+CD＝7．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．

【分析】先利用勾股定理计算出AC＝2，则CE＝2，所以＝，再证明∠BAC＝∠DCE．然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△CED．
【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，
∵CE＝AC，
∴CE＝2，
∵CD＝5，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
∴△ABC∽△CED．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
24．古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．

在△ABC的边BC上取B'，C'两点，使∠AB'B＝∠AC'C＝∠BAC，则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，＝，＝，进而可得AB2+AC2＝　BC（BB′+C′C）　；（用BB'，CC'，BC表示）
若AB＝4，AC＝3，BC＝6，则B'C'＝　　．
【分析】先利用相似三角形的判定得到△ABC∽△B'BA∽△C'AC，则根据相似三角形的性质得＝，＝，从而得到AB2+AC2＝BC•B′B+BC•C′C；然后利用此结论和图3计算B′C′的长．
【解答】解：∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC
∴＝，＝，
∴AB2＝BC•B′B，AC2＝BC•C′C，
∴AB2+AC2＝BC•B′B+BC•C′C＝BC（BB′+C′C）；
∵AB＝4，AC＝3，BC＝6，
∴42+32＝6（BB′+C′C），
即6（BC﹣B′C′）＝25，
∴6﹣B′C′＝，
∴B′C′＝．
故答案为BC（BB'+CC'）；．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
25．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB＝QA”是否正确：　否　（填“是”或“否”）；
（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB＝PA．
①如图2，点P在△ABC内，∠ABP＝30°，求∠PAB的大小；
②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC＝α，∠BPC＝β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）首先证明AQ＝AD＝AE，再证明DE＝BE＝AQ，只要证明BQ＞BE即可；
（2）①方法一：作PD⊥AB于D，则∠PDB＝∠PDA＝90°，只要证明△PAD是等腰直角三角形即可；
方法二：作点P关于直线AB的对称点P'，连接BP'，P'A，PP'，则∠P'BA＝∠PBA，∠P'AB＝∠PAB，BP'＝BP，AP'＝AP．利用勾股定理逆定理证明∠PAP′＝90°即可；
②结论：α+β＝45°，作AD⊥AP，并取AD＝AP，连接DC，DP．由△BAP≌△CAD，推出∠1＝∠2，PB＝CD，由∠DAP＝90°，AD＝AP，可得，∠ADP＝∠APD＝45°，由，推出PD＝PB＝CD，推出∠DCP＝∠DPC，由∠APC＝α，∠BPC＝β，可得∠DPC＝α+45°，∠1＝∠2＝α﹣β．推出∠3＝180°﹣2∠DPC＝90°﹣2α，推出∠ADP＝∠1+∠3＝90°﹣α﹣β＝45°，延长即可解决问题；
【解答】解：（1）否．
理由：如图1中，

∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠ABD＝∠DBC＝∠BCE＝∠ACE＝22.5°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠ACB＝67.5°，
∵△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，
∴AQ平分∠BAC，
∴∠QAD＝45°，
∴∠AQD＝∠ADQ＝67.5°，
∴AD＝AQ，同法可证AQ＝AE，连接DE，易证DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠DBE，
∴DE＝BE，∵DE＝AD＝AQ，
∴BE＝AQ，
∵∠BEQ＞∠BQE，
∴BQ＞BE，
∴BQ＞AQ．
故答案为否．

（2）①作PD⊥AB于D，则∠PDB＝∠PDA＝90°，

∵∠ABP＝30°，
∴．
∵，
∴．
∴．
由∠PAB是锐角，得∠PAB＝45°．
另证：作点P关于直线AB的对称点P'，连接BP'，P'A，PP'，则∠P'BA＝∠PBA，∠P'AB＝∠PAB，BP'＝BP，AP'＝AP．

∵∠ABP＝30°，
∴∠P'BP＝60°．
∴△P'BP是等边三角形．
∴P'P＝BP．
∵，
∴．
∴P'P2＝PA2+P'A2
∴∠PAP'＝90°．
∴∠PAB＝45°．
②结论：α+β＝45°，证明如下：
作AD⊥AP，并取AD＝AP，连接DC，DP．

∴∠DAP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC+∠CAP＝∠DAP+∠CAP，
即∠BAP＝∠CAD，
∵AB＝AC，AD＝AP，
∴△BAP≌△CAD，
∴∠1＝∠2，PB＝CD，
∵∠DAP＝90°，AD＝AP，
∴，∠ADP＝∠APD＝45°，
∵，
∴PD＝PB＝CD，
∴∠DCP＝∠DPC，
∵∠APC＝α，∠BPC＝β，
∴∠DPC＝α+45°，∠1＝∠2＝α﹣β．
∴∠3＝180°﹣2∠DPC＝90°﹣2α，
∴∠ADP＝∠1+∠3＝90°﹣α﹣β＝45°，
∴α+β＝45°．
【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．求证：△ABC∽△EBD．

【分析】先根据垂直的定义得出∠EDB＝90°，故可得出∠EDB＝∠C．再由∠B＝∠B即可得出结论．
【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°．
∵∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C．
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBD．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
27．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA＝PD，如图1所示，则tan∠BAP的值为　1　；
（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的不同），并求此时tan∠BAP的值．

【分析】（1）由勾股定理求出BP＝CP＝3，由三角函数定义即可得出结果；
（2）分两种情况：①AP＝AD＝6；PD＝AD＝6时；由三角函数定义即可得出结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵PA＝PD，
∴由勾股定理得：BP＝CP＝BC＝3，
∴tan∠BAP＝＝＝1；
故答案为：1；
（2）分两种情况：
①AP＝AD＝6时，BP＝＝＝3，
∴tan∠BAP＝＝＝；
②PD＝AD＝6时，CP＝＝3，
∴BP＝BC﹣CP＝6﹣3，
∴tan∠BAP＝＝＝2﹣

【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
28．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA＝，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α＝60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA＝30°可得∠APC的大小为　150　度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为　PA2+PC2＝PB2　；
（2）如图2，当α＝120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为　4PA2•sin2+PC2＝PB2　．

【分析】（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC＝90°，根据勾股定理解答即可；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′＝PA，根据勾股定理解答即可；
（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP＝AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝60°，P′C＝PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′＝60°，
∵∠PAC+∠PCA＝＝30°，
∴∠APC＝150°，
∴∠P′PC＝90°，
∴PP′2+PC2＝P′C2，
∴PA2+PC2＝PB2，
故答案为：150，PA2+PC2＝PB2；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝120°，P′C＝PB，
∴∠APP′＝30°，
∵∵∠PAC+∠PCA＝＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴∠P′PC＝90°，
∴PP′2+PC2＝P′C2，
∵∠APP′＝30°，
∴PD＝PA，
∴PP′＝PA，
∴3PA2+PC2＝PB2；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝α，P′C＝PB，
∴∠APP′＝90°﹣，
∵∵∠PAC+∠PCA＝，
∴∠APC＝180°﹣，
∴∠P′PC＝（180°﹣）﹣（90°﹣）＝90°，
∴PP′2+PC2＝P′C2，
∵∠APP′＝90°﹣，
∴PD＝PA•cos（90°﹣）＝PA•sin，
∴PP′＝2PA•sin，
∴4PA2sin2+PC2＝PB2，
故答案为：4PA2sin2+PC2＝PB2．

【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵活运用类比思想是解题的关键．
29．如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．

【分析】由平行线的性质得出∠CAB＝∠EDA．再由已知条件即可得出结论．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠CAB＝∠EDA．
∵∠B＝∠DAE，
∴△ABC∽△DAE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cos∠ADE的值；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．

【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠B，根据勾股定理得到AB＝13，由三角函数的定义即可得到结论；
（2）由（1）得，设AD为x，则，由于AC＝AD+CD＝12，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∴，
∴；

（2）由（1）得，
设AD为x，则，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴，
解得，
∴．
【点评】本题考查了解直角三角形，正确掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
31．（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝2，BC＝1，则△BCD的周长为　3　；
（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②在图3中补全图形，求∠EOF的度数；
③若，则的值为　　．

【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，得出△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC，即可得出结果；
（2）①在AD上截取AH＝DE，再作EH的垂直平分线，交AD于F，△EDF即为所求；
②连接OA、OD、OH，由正方形的性质得出∠1＝∠2＝45°，由SAS证明△ODE≌△OAH，得出∠DOE＝∠AOH，OE＝OH，得出∠EOH＝90°，证出EF＝HF，由SSS证明△EOF≌△HOF，得出∠EOF＝∠HOF＝45°即可；
③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，设AF＝8t，则CE＝9t，设OG＝m，由正方形的性质得出GE＝CE﹣CG＝9t﹣m，DE＝2CG﹣CE＝2m﹣9t，FK＝AF﹣KA＝8t﹣m，DF＝2DK﹣AF＝2m﹣8t，由HL证明Rt△EOG≌Rt△HOK，得出GE＝KH，因此EF＝GE+FK＝17t﹣2m，由勾股定理得出方程，解方程求出m＝6t，得出OG＝OK＝6t，GE＝9t﹣m＝9t﹣6t＝3t，FK＝8t﹣m＝2t，由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴BD＝AD，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC＝1+2＝3，
故答案为：3；
（2）①如图1所示：
△EDF即为所求；
②如图2所示：AH＝DE，
连接OA、OD、OH，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∠1＝∠2＝45°，
在△ODE和△OAH中，
，
∴△ODE≌△OAH（SAS），
∴∠DOE＝∠AOH，OE＝OH，
∴∠EOH＝90°，
∵△EDF的周长等于AD的长，
∴EF＝HF，
在△EOF和△HOF中，
，
∴△EOF≌△HOF（SSS），
∴∠EOF＝∠HOF＝45°；
③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，如图3所示：
设AF＝8t，则CE＝9t，设OG＝m，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴四边形OGDK为正方形，CG＝DG＝DK＝KA＝AB＝OG，
∴GE＝CE﹣CG＝9t﹣m，DE＝2CG﹣CE＝2m﹣9t，FK＝AF﹣KA＝8t﹣m，DF＝2DK﹣AF＝2m﹣8t，
由（2）②知△EOF≌△HOF，
∴OE＝OH，EF＝FH，
在Rt△EOG和Rt△HOK中，
，
∴Rt△EOG≌Rt△HOK（HL），
∴GE＝KH，
∴EF＝GE+FK＝9t﹣m+8t﹣m＝17t﹣2m，
由勾股定理得：DE2+DF2＝EF2，
∴（2m﹣9t）2+（2m﹣8t）2＝（17t﹣2m）2，
整理得：（m+6t）（m﹣6t）＝0，
∴m＝6t，
∴OG＝OK＝6t，GE＝9t﹣m＝9t﹣6t＝3t，FK＝8t﹣m＝2t，
∴＝＝＝＝．
故答案为．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
32．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．

【分析】根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC＝∠BEC＝90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠ADC＝∠BEC，
而∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．
33．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．

【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA＝＝，则可计算出AB＝10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDC＝S△ABC，即CD•BE＝•AC•BC，于是可计算出BE＝，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA＝＝，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD•BE＝•AC•BC，
∴BE＝＝，
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，
即cos∠ABE的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
34．如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段