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概率的计算--知识讲解

【学习目标】
1.能求一些简单不确定事件发生的概率，并能设计符合要求的简单概率试验；
2.体会频率是描述随机现象的数学模型，发展数据分析概念.
【要点梳理】
要点一、等可能事件的概率
设一个试验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有其中的一种结果出现.如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的.
一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：P（A）=.
要点诠释：
等可能事件的概率问题实际上是古典概型，满足下列两个特点的概率问题称为古典概型：
①一次试验中，可能出现的结果是有限的；②一次试验中，各种结果发生的可能性相同.
要点二、求等可能事件的概率
一般地，不确定事件发生的可能性的计算方法和步骤是：
（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；
（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；
（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=.

【典型例题】
类型一、摸到黄球的概率
1．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是(　 )　　A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
【答案】C.
【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸到黄球的概率是.
【总结升华】这是一道典型的古典概型题.
举一反三：
【变式】（2013•绍兴）一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B.
类型二、掷骰子游戏
2．（2020•铜仁地区）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是（　　）
A. B. C. D.
【思路点拨】用向上一面的数字是大于4的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【答案】C.
【解析】解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，大于4的有5，6，则向上一面的数字是大于4的概率为2÷6=．
【总结升华】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【变式】掷一枚质地均匀的骰子，掷得点数为3的倍数的概率为（ ）
A.　　　 B.　　　 C. 　　　 D.
【答案】B.
类型三、停留在阴影部分的概率
3.（2020•苏州）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（　　）
A. B. C. D.

【思路点拨】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．
【答案】B.
【解析】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是2÷6=．故选B．
【总结升华】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
举一反三：
【变式1】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.
【答案】P（停在阴影部分）=.

【变式2】如图，已知等边△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，若向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是（不考虑落在线上的情形）（　　）
A. B. C. D.

【答案】C.
类型四、简单概率的综合应用
4.小明家里的阳台地面，水平铺设了仅黑白颜色不同的18块方砖（如图），他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上．
（1）求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率；
（2）上述哪个概率较大？要使这两个概率相等，应改变第几行第几列的哪块方砖颜色？怎样改变？

【思路点拨】首先审清题意，明确所求概率为哪两部分的比值，再分别计算其面积，最后相比计算出概率．
【答案与解析】
解：（1）由图可知：共18块方砖，其中白色8块，黑色10块，
故小皮球停留在黑色方砖上的概率是；小皮球停留在白色方砖上的概率是.
（2）因为＞，所以小皮球停留在黑色方砖上的概率大于停留在白色方砖上的概率．
要使这两个概率相等，应改变第二行第4列中的方砖颜色，黑色方砖改为白色方砖．
【总结升华】此题用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，AB为转盘直径，如图所示，并规定：顾客消费100元（含100元）以上，就能获得一次转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准9折、8折、7折区域，顾客就可以获得相应的优惠．
（1）某顾客正好消费99元，是否可以获得相应的优惠．
（2）某顾客正好消费120元，他转一次转盘获得三种打折优惠的概率分别是多少？

【答案与解析】解：（1）根据规定消费100元（含100元）以上才能获得一次转盘的机会，而99元小于100元，故不能获得转盘的机会；
（2）某顾客正好消费120元，超过100元，可以获得转盘的机会．

【总结升华】本题考查了概率的求法.用到的知识点为：概率=已知圆心角的度数与360°之比．