2017-2021北京初三(上)期中数学汇编：正多边形和圆.docx

2017-2021北京初三（上）期中数学汇编
正多边形和圆2
一、单选题
1．（2021·北京市第二十二中学九年级期中）如图，正方形内接于⊙O，点E在上，则的度数（     ）

A．25° B．50° C．45° D．100°
2．（2021·北京市第五中学分校九年级期中）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．
3．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，【晓观数学】其边长为半径画弧得到的三角形.在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈”.图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2，成员甲先借绳子绕行一周画出，再将三等分，得到，，三点.接着，成员乙分别以，，为圆心画出图中的弧三角形.研究小组在，，，四点中的某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为，成员乙所在的位置为，若将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量（单位：°，），甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为和（单位：），绘制出两个函数的图象（如图3）.
结合以上信息判断，下列说法中错误的是（）

A．的半径为 B．图3中的值为270
C．当时，1取得最大值12 D．检测仪器放置在点处
4．（2019·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（　　）

A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
5．（2021·北京市第三十九中学九年级期中）如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（   ）

A．4 B．8 C． D．
6．（2020·北京市第二中学分校九年级期中）如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（       ）

A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2021·北京·东直门中学九年级期中）已知正三角形ABC的边心距为cm，则正三角形的半径为______cm．
8．（2021·北京一七一中九年级期中）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是_______；
（2）按照阿尔卡西的方法，计算n=1时π的近似值是_______．（结果保留两位小数）（参考数据：）

9．（2021·北京市西城外国语学校九年级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为__________．

10．（2018·北京八十中九年级期中）正六边形的边长为2，则其外接圆的半径为_____，正六边形的面积为_____．
11．（2019·北京市陈经纶中学九年级期中）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是_____米2．
12．（2019·北京四中九年级期中）有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是____．
13．（2019·北京市第十三中学分校九年级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__．

14．（2019·北京市第四十四中学九年级期中）圆内接正六边形的边长是8cm，则该正六边形的半径为____．

参考答案
1．C
【分析】
连接OB、OC，由题意易得，然后根据圆周角定理可求解．
【详解】
解：连接OB、OC，如图所示：

∵正方形内接于⊙O，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查正多边形与圆及圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆及圆周角定理是解题的关键．
2．A
【分析】
利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】
解：过B点作AC垂线，垂直为G，

根据正六边形性质可知，，
∴，
∴S扇形=，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
3．B
【分析】
如图，根据题意，找到甲、乙对应的图像，然后求得，以及，，进而求出圆半径，再对选项逐一分析即可.
【详解】
解：∵将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量，且成员乙所在的位置为，
∴根据如图3所示，实线部分图像距离先保持不变，再下降至0，然后上升可判断则实线部分为应为乙的图象，（点Q在以A点为圆心画的上，则AQ距离不变），
∴当Q点从B点逆时针运动时，图像如图中实线所示，检测仪器应该在A点，
∵Q从B点到A点时，运动的角度为个圆周，
∴ ，
结合图可得，，
如图，连接AB、OA、OB，过O作OD⊥AB于点D，
∵OA=OB,OD⊥AB，
∴
∴
∴，
∴的半径为
如图，当射线OB转至中点位置时，即P在OA所在直线上，y1取最大值，长度为的直径12m，此时转过的圆心角为60°，即.
∴A、C、D正确，
故选B.

【点睛】
此题考查正多边形和圆、等腰三角形三线合一及弧三角形的相关问题，根据题意找到正确的函数的图象是解本题的关键.
4．D
【分析】
连接OA，OB，构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．
【详解】
解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
当点P不在弧AB上时，
∠APB＝∠AOB＝30°，
当点P在弧AB上时，
∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故选D．

【点睛】
本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角．
5．D
【分析】
利用正方形的性质以及勾股定理可以求得正方形的边长.
【详解】

如图所示：⊙O的半径为4，
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴AC=2×4=8，
∵，AB=BC，
∴=64，
解得：AB=4，
即⊙O的内接正方形的边长等于4．
故选D．
【点睛】
正确掌握正方形的性质是解题关键．
6．B
【详解】
根据题意，分3个阶段；
①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，
②P在弧AC之间，∠DME保持36°，大小不变，
③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；
又由点P作匀速运动，故①③都是线段；
分析可得：B符合3个阶段的描述；
故选B．
点睛：本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．
7．
【分析】
根据题意画出图形，连接OB、OC、过O作OD⊥BC于D，再根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】
解：如图所示，△ABC是等边三角形，

连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，则
，
故cm．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，解直角三角形，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用等边三角形及直角三角形的性质解答．
8．     1     3.23
【分析】
（1）如图，根据正六边形的性质可证得△AOB为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解；
（2）利用锐角三角函数分别计算出圆的内接正六边形的周长和外切正六边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2π的近似数值即可解答．
【详解】
解：（1）如图，
∵该多边形为圆内接正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=1，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=1，即则⊙O的内接正六边形的边长是1,
故答案为：1；
（2）如图，设圆的半径为1，
当n=1时，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，
则圆内接正六边形的边长为1，周长为6，
圆外切正六边形的边长为，周长为，
根据题意得：2π= ，
则π= ≈1.5+1.732=3.232≈3.23，
故答案为：3.23．

【点睛】
本题考查了圆周率π的近似值的计算、圆的内接和外切正多边形的性质、锐角三角函数解直角三角形，根据题意，结合图形，计算出单位圆内接正六边形和外切正六边形的边长是解答的关键．
9．2π
【分析】
根据圆内接正六边形的性质得到∠AOB=，再利用弧长公式计算即可．
【详解】
如图连接OA、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB=，
∴的长为，
故答案为：．
．
【点睛】
此题考查圆内接正六边形的性质，弧长的计算公式，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．
10．     2     6
【分析】
首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积．
【详解】
解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝×360＝60，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴它的半径为2，边长为2；
∵在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60＝2×，
∴边心距是：；
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6．
故答案为：2；6

【点睛】
本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
11．：6
【分析】
首先根据题意画出图形,易得△OBC是等边三角形,继而可得正六边形的边长,由S正六边形＝6S△OBC求得结果即可．
【详解】
解：如图所示：
连接OB,OC,过点O作OH⊥BC于H
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴∠BOC=×360°＝60°
∵OB＝OC
∴△OBC是等边三角形
∴BC＝OB＝OC
∴BH＝BC＝1
∴OH＝
∴S正六边形＝6S△OBC＝6××2×＝6
故答案为：6．

【点睛】
本题主要考查了圆和正多边形，数形结合，求出一个等边三角形面积×6即为所得
12．2
【分析】
要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形,这个圆形纸片的边缘即为其外接圆,根据正方形的对角线的长度与其外接圆半径的关系即可求出.
【详解】
正方形的边长是4,
则正方形的对角线的长为
这个圆形纸片的最小半径是 .
故答案为:
【点睛】
此题考查了正多边形与圆的知识.注意正方形的外接圆半径与的关系,这是一个需要熟记的内容.
13．3
【详解】
连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM= =30°，
∴OM=OB•cos∠BOM=6× =3，
故答案为3.

14．8
【分析】
求出正六边形的中心角，连接两个顶点，可得等边三角形，于是可得到正六边形的边长．
【详解】
连接OA，OB，

∵正六边形，
∴∠AOB==60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键；求得中心角的度数是此类题目常用的，比较重要，应注意掌握．
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