高考物理一轮复习-第3讲-带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值多解问题.docx

授课提示：对应学生用书第351页
[A组　基础巩固练]
热点一　带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
1. (多选)(2022·湖南长沙模拟)如图所示，在半径为R的圆形区域内(圆心为O)有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)。一群具有相同比荷的负离子以相同的速率由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于R，则下列说法正确的是(不计离子的重力)(　　)

A．从Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
B．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
C．所有离子飞出磁场时的动能一定相等
D．在磁场中运动时间最长的离子不可能经过圆心O点
解析：由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为PQ，由Q点飞出的离子圆心角最大，所对应的时间最长，轨迹不可能经过圆心O点，故A、D正确，B错误；因洛伦兹力永不做功，故粒子在磁场中运动时动能保持不变，但由于不知离子的初动能，故飞出时的动能不一定相等，故C错误。
答案：AD
2．(2022·河南名校联考)如图所示，水平放置的平行板长度为L、两板间距也为L，两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在两板正中央P点有一个不计重力的电子(质量为m、电荷量为－e)，现在给电子一个水平向右的瞬时初速度v0，欲使电子不与平行板相碰撞，下列说法正确的是(　　)

A．v0>或v0<　　　　　 B.<v0<
C．v0> D．v0<
解析：电子在磁场中做匀速圆周运动，半径R＝，如图所示。当R1＝时，电子恰好与下板相切；当R2＝时，电子恰好从下板边缘飞出两平行板(即飞出磁场)。由R1＝，解得v1＝，由R2＝，解得v2＝，所以欲使电子不与平行板相碰撞，电子初速度v0应满足v0>或v0<，故选项A正确。

答案：A
3. (2022·湖南张家界模拟)如图所示，在边长为L的正方形区域abcd内有垂直纸面向里的匀强磁场，有一个质量为m、带电荷量大小为q的离子，从ad边的中点O处以速度v垂直ad边界向右射入磁场区域，并从b点离开磁场。下列说法正确的是(　　)

A．离子在O、b两处的速度相同
B．离子在磁场中运动的时间为
C．若增大磁感应强度B，则离子在磁场中的运动时间减小
D．若磁感应强度B＜，则该离子将从bc边射出
解析：离子在磁场中做匀速圆周运动，离子在O、b两处的速度大小相同，但是方向不同，故A错误；离子在磁场中的运动半径满足R2＝L2＋(R－L)2，解得R＝，则粒子在磁场中运动的弧长所对的圆心角的正弦值sin θ＝0.8，即θ＝53°，运动的时间t＝T＝·＞，故B错误；若增大磁感应强度B，由R＝知，离子在磁场中的运动半径减小，粒子将从ab边射出，此时粒子在磁场中运动对应的圆心角增大，则运动时间增大，故C错误；若离子从bc边射出，则R＝＞，即B＜，故D正确。
答案：D
热点二　带电粒子在磁场中运动的多解问题
4．(2022·山东威海模拟)如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。求：

(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
解析：(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，
即qv0B0＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
联立两式得磁感应强度B0＝。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，离子的运动轨迹如图所示，两板之间的正离子只运动一个周期即T0时，有r＝
当在两板之间的正离子共运动n个周期，即nT0时，有r＝(n＝1,2,3，…)
联立求得正离子的速度的可能值
v0＝＝(n＝1,2,3，…)。

答案：(1)　(2)(n＝1,2,3，…)
[B组　综合提能练]
5. (多选)(2022·湖北武汉部分学校联考)如图所示，在矩形区域MNPE中有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，从M点沿MN方向发射两个α粒子，两粒子分别从P、Q射出。已知ME＝PQ＝QE，则两粒子(　　)

A．速率之比为5∶2
B．速率之比为5∶3
C．在磁场中运动时间之比为53∶90
D．在磁场中运动时间之比为37∶90
解析：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动。设ME长度为L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝，粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，从Q点射出的粒子的运动半径rQ＝L，从P点射出的粒子半径满足r＝(2L)2＋(rP－L)2，解得rP＝L，故两粒子的速率之比＝＝，故A正确，B错误；由几何关系可知，通过Q点的粒子的轨迹对应的圆心角θQ＝90°，通过P点的粒子的轨迹对应的圆心角θP满足sin θP＝＝，可得θP＝53°，两粒子在磁场中运动时间之比＝＝＝，故C正确，D错误。

答案：AC
6．(2022·辽宁辽阳模拟)如图所示，半径为r的圆形区域内有平行于纸面的匀强电场，电场方向与水平方向成60°角斜向右下方，同心大圆半径为3r，两圆间有垂直于纸面向里的匀强磁场(内、外边界上均有磁场)。一个比荷为k的带电粒子由静止经电压为U0的加速电场加速后恰好沿磁场边界的切线进入磁场，并恰好从内圆的最高点A处垂直电场方向进入偏转电场，并从最低点C处离开电场。不计粒子重力。

(1)求匀强磁场的磁感应强度的大小；
(2)求偏转电场的电场强度的大小；
(3)若调整加速电场的电压，使该粒子不进入偏转电场，求加速电压的取值范围。
解析：(1)作出粒子的运动轨迹如图所示，设带电粒子在磁场中运动的半径为R，由几何关系得：
(3r－R)2＋(r)2＝R2
解得R＝2r
由公式qvB＝m，U0q＝mv2
解得B＝。

(2)粒子在偏转电场中做类平抛运动，由几何关系知：
2rcos 30°＝×t2
2rsin 30°＝vt
解得E＝。
(3)粒子在加速电场中运动时有：qU＝mv′2
而qv′B＝，B＝
解得U＝U0
①当R1＝r时，粒子经过电场左边界，
解得U1＝U0；
②当R2＝r时，粒子经过电场右边界，
解得U2＝U0
所以加速电压的取值范围为
0≤U≤U0或U0≤U。
答案：(1)　(2)　(3)0≤U≤U0或U0≤U
7．如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个粒子源位于圆周上的M点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为m、电荷量为－q的粒子，不计粒子重力，N为圆周上的另一点，半径OM和ON间的夹角为θ，且满足tan＝0.5。

(1)若某一粒子以速率v1，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，求此粒子的速率v1；
(2)若大量此类粒子以速率v2＝，从M点射入磁场，方向任意，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
(3)若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为题(1)中计算出的v1，求磁场中有粒子通过的区域面积。
解析：(1)粒子以速率v1沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，运动轨迹如图甲所示：

设轨迹半径为r1，则tan＝
解得r1＝
由牛顿第二定律可得qv1B＝m
解得v1＝。
(2)大量此类粒子以速率v2＝从M点射入磁场，由牛顿第二定律可得qv2B＝m
解得r2＝2R
粒子方向任意，粒子在磁场中运动时间最长时，弧长(劣弧)最长，对应的弦长最长(磁场圆的直径)，运动轨迹如图乙所示，
则sin α＝
解得α＝
粒子在磁场中运动的最长时间tmax＝＝。
(3)粒子沿各个方向以v1进入磁场做匀速圆周运动时的轨迹半径都为r1，且不变。由图丙可知，粒子在磁场中通过的面积S等于以O3为圆心的半圆形MO3O的面积S1、以M为圆心的扇形MOQ的面积S2和以O点为圆心的圆弧 MQ与直线MQ围成的面积S3之和。
S1＝π()2＝
S2＝πR2
S3＝πR2－R2·＝πR2－R2
所以S＝πR2－R2。

答案：(1)　(2)　(3)－R2