第23讲-证明数列不等式(原卷版).docx

第23讲 证明数列不等式
一．解答题（共47小题）
1．（2021•浙江月考）设等差数列的前为，已知，．
（1）求数列的通项公式
（2）记数列的前项和为，求证：
2．（2021春•江油市校级期中）等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，求数列 的前项和
（3）由（2），是否存在最小的整数，使得对于任意的，均有，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
3．（2021春•兰山区校级月考）等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．
4．数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上．
（1）求证：是等比数列；
（2）当时，记，证明：数列的前项和．
5．（2021•临沂期中）等比数列的前项和为，已知对任意，点均在函数为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小．
6．已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立，
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：；，．
7．，等比数列的前项和为，点，均在函数上．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
8．已知，求证：．
9．（2021•嘉兴模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：，．
10．（2021春•秀山县校级月考）设函数，．
（1）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；
（2）设，证明：为自然对数的底数）．
11．（2021春•阳江校级月考）设数列满足，，，2，3，，
（1）求，，；
（2）猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
（3）设，数列的前项和为，求证：．
12．（2012秋•济源校级期中）设数列满足，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
13．（2007•崇文区一模）已知数列中，，，数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，证明．
14．（2021春•绍兴期中）已知正项数列满足：，，为数列的前项和．
求证：对任意正整数，有；
设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时，．
15．（2021•邯郸一模）已知正项数列的前项和满足：，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足：且，试比较与的大小，并证明你的结论．
16．（2021•安徽三模）已知正项数列的前项和为，且
①求，，；
②求数列的通项公式；
③若数列满足，，求证：．
17．（2021春•历下区校级期中）（1）已知，，比较和的大小并给出解答过程；
（2）证明：对任意的，不等式成立．
18．（2021•盐城三模）（1）已知，比较与的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
（2）求证：．
19．（2021春•枣庄校级月考）（1）已知，，都是正数，且，用分析法证明；
（2）已知数列的通项公式为，．利用（1）的结论证明如下等式：．
20．（2021•杭州期中）已知数列的前项和满足，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：．
21．（2021•沙坪坝区校级一模）已知数列的前项之积满足条件：①为首项为2的等差数列；②．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为．求证：对任意正整数，有．
22．已知数列中，为的前项和，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
23．（2021•宾阳县校级期中）已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）证明不等式且
24．已知函数，，为常数）
（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；
（2）当时，证明不等式在，上恒成立；
（3）证明：，（参考数据：
25．（2021•衡水校级模拟）已知函数．
（1）求函数在点，处的切线方程；
（2）记为的从小到大的第个极值点，证明：不等式．
26．（2012•洛阳模拟）已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，对于任意的，且，证明：不等式．
27．证明不等式：．
28．（2021春•辛集市校级月考）已知．
求函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明不等式：
29．（2021•大庆一模）已知函数
（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；
（2）在（1）中，取最小值时，设函数．若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）证明不等式：且．
30．（2021春•荔湾区校级月考）已知数列的前项和为，，当时，．数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，求证：．
31．（2021春•淮安期末）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有．
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，．
32．（2009秋•沙坪坝区校级月考）表示不超过的最大整数，正项数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）已知数列的前项和为，求证：当时，有．
33．（2021•黄冈模拟）已知数列满足，首项为；
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：；
（3）设数列满足，其中为一个给定的正整数，
求证：当时，恒有．
34．（2021•桃城区校级模拟）设公差不为0的等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若是与的等比中项，，．
（1）求，与；
（2）若，求证：．
35．（2021•柯桥区期末）设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：．
36．（2021•芜湖二模）已知数列的前项和为，且满足．各项为正数的数列中，
对于一切，有，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
37．（2021•温州期末）已知数列的前项和为，满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：对任意，都有．
38．（2021•温州三模）已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项．
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为前项和，证明：．
39．（2021•中原区校级月考）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，将的底数与指数互换得到，设数列的前项和为，求证：．
40．（2021•浙江开学）已知数列的前项积为，，且对一切均有．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：．
41．（2021•台州模拟）已知数列，的前项和分别为，，且．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求证：．
42．（2021春•浙江月考）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明：．
43．（2021•浙江模拟）已知数列的前项之积为，即，且，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，，求证：对一切，均有．
44．已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得△都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为．
（1）求（1），（2），并猜想（不要求证明）；
（2）令，记为数列中落在区间，内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）已知数列满足：，数列满足：，，求证：．
45．（2021•山东模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）证明：．
46．（2021•闵行区期末）已知数列为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．
（1）求数列、的通项公式；
（2）是否存在，，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由．
（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
47．（2021春•资阳期末）已知数列中，，且对任意，，有．
（1）求的通项公式；
（2）已知，，且满足，求，；
（3）若（其中对任意恒成立，求的最大值．