2021北京高三二模数学汇编：平面解析几何(教师版).docx

2021北京高三二模数学汇编：平面解析几何
一．选择题（共11小题）
1．（2021•朝阳区二模）已知抛物线C的焦点F到准线l的距离为2，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，过点A作直线PF的垂线，垂足为H，则|PH|•|PF|的最小值为（　　）
A．2 B．6 C． D．2
2．（2021•朝阳区二模）若圆O：x2+y2＝1上存在点P，直线l：y＝k（x+2）上存在点Q，使得＝，则实数k的取值范围为（　　）
A．[，] B．[﹣，] C．{﹣，} D．{﹣，}
3．（2021•昌平区二模）过原点且倾斜角为45°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为（　　）
A． B．3 C． D．8
4．（2021•西城区二模）若直线y＝2x与双曲线C：＝1无公共点，则双曲线C的离心率可能是（　　）
A． B．1 C．2 D．
5．（2021•昌平区二模）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B． C． D．y＝±2x
6．（2021•朝阳区二模）已知双曲线C：x2﹣＝1的一个焦点为（﹣2，0），则双曲线C的一条渐近线方程为（　　）
A．x+y＝0 B．x+y＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y﹣1＝0
7．（2021•海淀区二模）已知实数x，y满足x2+y2+4x﹣6y+12＝0，则x的最大值是（　　）
A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3
8．（2021•海淀区二模）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，P（x0，y0）是该抛物线上的一点．若|PF|＞2，则（　　）
A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，+∞） C．y0∈（2，+∞） D．y0∈（﹣∞，2）
9．（2021•房山区二模）设F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，且|OP|＝|OF1|，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B．2 C． D．1
10．（2021•丰台区二模）已知双曲线的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，则a＝（　　）
A．3 B． C． D．
11．（2021•顺义区二模）已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
12．（2021•东城区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），那么抛物线C的准线方程为　 　，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为　 　．
13．（2021•西城区二模）对于抛物线C，给出下列三个条件：
①对称轴为y轴；②过点（1，1）；③焦点到准线的距离为2．
写出符合其中两个条件的一个抛物线C的标准方程　 　．
14．（2021•昌平区二模）已知抛物线C：y2＝4x与椭圆有一个公共焦点F，则点F的坐标是　 　；若抛物线的准线与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则椭圆D的离心率e＝　 　．
15．（2021•房山区二模）若三个点M（3，2），M（2，2），Q（3，﹣2）中恰有两个点在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的方程为　 　．
16．（2021•海淀区二模）已知双曲线M：＝1的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点．若四边形F1ABO为菱形，则双曲线M的离心率为　 　．
17．（2021•丰台区二模）已知点P（x0，y0）为抛物线C：x2＝4y上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则|x0|＝　 　．
18．（2021•顺义区二模）若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为　 　．
三．解答题（共4小题）
19．（2021•西城区二模）已知椭圆C：＝1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（﹣3，0），B（3，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求△BMO与△NMO的面积之比．
20．（2021•昌平区二模）已知椭圆C：过点P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m与椭圆C有两个不同的交点A，B，当|PA|＝|PB|时，求实数k的取值范围．
21．（2021•丰台区二模）已知椭圆，过点（﹣1，0）的直线l交椭圆C于点A，B．
（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，求|AB|；
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，使为定值？若存在，求点P的坐标及的值；若不存在，说明理由．
22．（2021•顺义区二模）已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过点M（0，1）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得∠ANM＝∠BNM（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

2021北京高三二模数学汇编：平面解析几何
参考答案
一．选择题（共11小题）
1．【分析】由题意首先求得抛物线的方程，设出直线PF与AH的方程，求出点H的坐标，根据点与点的距离公式，结合二次函数的性质即可求出．
【解答】解：∵抛物线C的焦点F到准线l的距离为2，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，
∴F1（1，0），准线x＝﹣1，
设A（x1，y1），
∵点A在抛物线C上，且|AF|＝5，
∴x1+＝5，
∴x1＝4，
∴A（4，4），
设直线PF：x＝my+1，①，
直线AH：y﹣4＝﹣m（x﹣4），②，
联立方程①②可得yH＝，
∴|PH|＝•|﹣﹣|，
|PF|＝•|﹣﹣2|，
∴|PH|•|PF|＝（1+m2）•||•||＝2|5++|，
设＝t，
则|PH|•|PF|＝2|2t2+4t+5|＝2|2（t+1）2+3|＝4（t+1）2+6，
当t＝﹣1，即m＝﹣1时，|PH|•|PF|取得的最小值6，
故选：B．

【点评】本题考查了根据抛物线的弦长求参数，抛物线中最短距离，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题．
2．【分析】利用已知条件推出直线与圆相交，转化为圆的到直线的距离小于等于半径，转化求解即可．
【解答】解：圆O：x2+y2＝1上存在点P，直线l：y＝k（x+2）上存在点Q，使得＝，
可得：≤1，
解得k∈[﹣，]．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
3．【分析】求出直线的方程为y＝x，即x﹣y＝0，化简圆方程得圆心为（0，2）且半径r＝2．利用点到直线的距离公式算出圆心到直线的距离，结合垂径定理即可得出直线截圆所得弦长．
【解答】解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan45°＝1，
结合直线过原点，得直线方程为y＝x，即x﹣y＝0
∵圆x2+y2﹣4y＝0，即x2+（y﹣2）2＝4，
得圆心为（0，2），半径r＝2，
∴圆心到直线的距离d＝＝，
∴可得直线截圆得弦长为：2＝2＝2．
故选：A．
【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
4．【分析】利用双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的关系，即可推出结果．
【解答】解：直线y＝2x与双曲线C：＝1无公共点，
可得＞2，
所以e＝＝＞，
结合选项可知，双曲线C的离心率可能是2．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
5．【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系可得b＝a，再由近线方程y＝±x，即可得到所求方程．
【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，
可得e＝＝，即有c＝a，
由c2＝a2+b2，可得b2＝a2，
即b＝a，
则渐近线方程为y＝±x，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．
6．【分析】利用双曲线的焦点坐标，求解c，然后求解b，即可求解双曲线的渐近线方程．
【解答】解：双曲线C：x2﹣＝1的一个焦点为（﹣2，0），所以c＝2，因为a＝1，所以b＝，
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
7．【分析】根据题意，将x2+y2+4x﹣6y+12＝0变形为（x+2）2+（y﹣3）2＝1，则有﹣1≤x+2≤1，分析可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x2+y2+4x﹣6y+12＝0，即（x+2）2+（y﹣3）2＝1，
则有﹣1≤x+2≤1，解可得﹣3≤x≤﹣1，
即x的最大值是﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查圆的标准方程的应用，涉及圆的标准方程的形式，属于基础题．
8．【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设出P的坐标，运用抛物线的定义，可得|PF|＝d（d为P到准线的距离），即可得到所求值．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），
准线l为x＝﹣1，
P（x0，y0）是该抛物线上的一点．若|PF|＞2，
则由抛物线的定义，可得|PF|＝d（d为P到准线的距离），
即有x0+1＞2，
解得，x0＞1，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
9．【分析】先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．
【解答】解：由题意可得a＝，b＝1，c＝2，
∴|F1F2|＝2c＝4，
∵|OP|＝|OF1|，
∴|OP|＝|F1F2|，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16，
∵||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，
∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|＝12，
∴|PF1|•|PF2|＝2，
∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|•|PF2|＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题．
10．【分析】由双曲线方程求得其一条渐近线方程，根据圆的方程求得圆心与半径，由题意可得：圆心到渐近线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，即可求得a的值．
【解答】解：由双曲线的一条渐近线为ay＝﹣x，即ay+x＝0，
圆x2+（y﹣2）2＝1的圆心为（0，2），半径为1，
由题意可知：圆心到渐近线的距离等于半径，即＝1，
由a＞0，解得：a＝，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查计算能力，属于基础题．
11．【分析】由已知可得动圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1的圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，
∴a2+b2＝1，则动圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1的圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上，
如图：

原点O到直线y＝x+2的距离d＝，
则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，是中档题．
二．填空题（共7小题）
12．【分析】将M的坐标代入抛物线的方程，求得p，可得抛物线的方程和准线方程；再由线段的垂直平分线的性质和两点的距离公式，可得所求长度．
【解答】解：由抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），
可得42＝8p，解得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣1，
由线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F（1，0），
可得|FN|＝|FM|＝＝5．
故答案为：x＝﹣1，5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及线段的垂直平分线的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
13．【分析】选①②，由对称轴为y轴，设出抛物线方程，再代入（1，1）即可得解．
【解答】解：选①②，设x2＝2py，则2p＝1，解得，故抛物线方程为x2＝y．
故答案为：x2＝y．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，属于基础题．
14．【分析】求出抛物线的焦点坐标得到第一问；求出AB坐标，代入椭圆方程，求解离心率即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x与椭圆有一个公共焦点F，则点F的坐标是（1，0），
抛物线的准线与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，
所以A（﹣1.1），B（﹣1，﹣1），
所以，a2﹣b2＝1，b2＝，a2＝，
所以，离心率为：e＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，椭圆的简单性质的应用，是中档题．
15．【分析】利用已知条件，判断M、Q在抛物线上，转化求抛物线C的标准方程．
【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px关于x轴对称，
M（3，2），M（2，2），Q（3，﹣2）两点在C上，只能是M、Q两点，
代入坐标易得p＝4，所以抛物线C的标准方程为y2＝8x．
故答案为：y2＝8x．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
16．【分析】利用已知条件，求出A的坐标，代入双曲线方程，转化求解离心率即可．
【解答】解：双曲线M：＝1的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点．
四边形F1ABO为菱形，可得A（﹣，c），B（，），
所以，
即e4﹣8e2+4＝0，e＞1，
可得e2＝4+2，
所以e＝．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
17．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解P的纵坐标，然后求解|x0|即可．
【解答】解：抛物线的准线方程，y＝﹣1，
点P（x0，y0）为抛物线C：x2＝4y上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，
可得y0＝2，所以x02＝4y0＝8，可得|x0|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
18．【分析】根据双曲线的几何性质，可得b＝a，再由渐近线方程为y＝±x，得解．
【解答】解：由题意知，2c＝•2a，
∴c＝a，
∴b＝＝＝a，
∴C的渐近线方程为y＝±x＝±x．
故答案为：y＝±x．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，渐近线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
三．解答题（共4小题）
19．【分析】（Ⅰ）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），则，写出PA所在直线方程，求得E点坐标，得到直线l的方程，再写出PB方程求解N点坐标，把三角形的面积比转化为B与N点的横坐标的绝对值之比得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，a＝3，又e＝，∴c＝，
则b＝．
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），则．
∴直线AP的方程为，
取x＝4，可得点E（4，），
∵直线BE的斜率为＝，
∴直线l的方程为，
又直线PB的方程为，
联立直线l与PB的方程，消去y得，
∴，①
∵，∴，
代入①解得点N的横坐标，
∴．
故△BMO与△NMO的面积之比为4：7．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查整体运算思想，是中档题．
20．【分析】（Ⅰ）求出b，结合离心率求解a，推出椭圆方程．
（Ⅱ）解法1：（1）当k＝0时，显然成立．（2）当k≠0时，①m＝0时，显然不成立．②当m≠0，即mk≠0时，联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合中点坐标，求解直线MP的斜率，通过MP⊥AB．转化求解即可．
解法2：联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2）．结合韦达定理，通过|PA|＝|PB|，推出k（3m+4k2+1）＝0．然后转化求解实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得b2＝1．
由解得a2＝4．
所以椭圆C的方程为．…………（5分）
（Ⅱ）解法1：（1）当k＝0时，显然成立．
（2）当k≠0时，
①m＝0时，显然不成立．
②当m≠0，即mk≠0时，
由
得（4k2+1）x2+8mkx+4m2﹣4＝0．
因为直线l与椭圆C的有两个交点，
所以△＝64m2k2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＞0．
即4k2+1﹣m2＞0．（*）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则．
所以．
所以线段AB的中点．
直线MP的斜率，
由|PA|＝|PB|，得MP⊥AB．
所以
解得．
将代入到（*）中，得，
即，
所以8﹣4k2＞0．
解得，且k≠0．
综上所述，实数k的取值范围是．………………（15分）
解法2：由得（4k2+1）x2+8mkx+4m2﹣4＝0．
因为直线l与椭圆C的有两个交点，
所以△＝64m2k2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＞0
即4k2+1﹣m2＞0（1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．
由|PA|＝|PB|得，．
即（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）＝0．
即（x1﹣x2）（x1+x2）+k（x1﹣x2）[k（x1+x2）+（2m﹣2）]＝0．
从而．
由x1≠x2得（k2+1）（x1+x2）+2k（m﹣1）＝0．
所以．
即k（3m+4k2+1）＝0．
解得．
将代入到（1）中，得，
即，
所以8﹣4k2＞0．
解得．
所以实数k的取值范围是．………………（15分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
21．【分析】（Ⅰ）当直线l斜率不存在时，其方程为x＝﹣1．联立直线与椭圆方程，求出AB坐标，然后求解距离即可．
（Ⅱ）假设存在P（m，0），使为定值．
①当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理利用向量的数量积为常数，求出，说明存在点，使为定值．
②当直线l与x轴垂直时，不妨设，验证即可．
【解答】解：（Ⅰ）当直线l斜率不存在时，其方程为x＝﹣1．
由得或
所以．
（Ⅱ）假设存在P（m，0），使为定值．
①当直线l斜率存在时，
设直线l的方程为：y＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣3＝0．
则．
所以
＝（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2
＝
＝
＝，
＝
＝．
若为常数，只需，
解得，此时．
所以存在点，使为定值．
②当直线l与x轴垂直时，
不妨设，
当点P坐标为时，．
综上，存在点，使为定值．……………………………（15分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
22．【分析】（Ⅰ）由离心率为，且过点，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（0，t）（t≠1），写出直线AN的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，由∠ANM＝∠BNM，推出k1+k2＝0，进而可得2kx1x2+（1﹣t）（x1+x2）＝0，联立直线l：y＝kx+1与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，即可解得t，进而可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，
解得a＝2，b＝2，
所以椭圆G的方程为+＝1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（0，t）（t≠1），
所以直线AN的斜率为k1＝，
直线BN的斜率为k2＝，
所以∠ANM＝∠BNM，当且仅当k1+k2＝0，
所以+＝
＝
＝＝0，
即2kx1x2+（1﹣t）（x1+x2）＝0，
根据题意，直线l的方程为y＝kx+1，
联立，得（1+2k2）x2+4kx﹣6＝0，
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
所以2k•﹣+（1﹣t）＝＝0，
由因为k≠0，
所以t＝4，
所以+＝1．
所以在y轴上存在点N使得∠ANM＝∠BNM，点N的坐标为（0，4）．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
16 / 16