2022北京北师大实验中学高三考前热身数学(教师版).docx

2022北京北师大实验中学高三考前热身
数 学
第一部分
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A. B. 1 C. D. 3
3. 向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）

A. 3 B. C. -3 D.
4. 设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为
A. B. 1 C. 2 D. 4
6. 设，， 则（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数，，则“”是“函数为奇函数”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
9. 已知圆C：x2+y2+2x-4y+1=0，若在圆C中存在弦AB，满足AB=2，且AB的中点M在直线2x+y+k=0上，则实数k的取值范围是（ ）
A. [-2，2] B. [-5，5] C. (-，) D. [-，]
10. 对于数列，若存在常数M，使得对任意，与中至少有一个不小于M，则记作，那么下列命题正确的是（ ）
A. 若，则数列各项均大于或等于M
B. 若，，则
C. 若，则
D 若，则
第二部分
二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案写在答题纸的相应位置）
11. 在的展开式中，常数项为___________.
12. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的一个取值为_________．
13. 已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为，两条渐近线与以A为圆心1为半径的圆都相切，则该双曲线的渐近线方程是______，该双曲线的标准方程是______．
14. 设函数的零点为，若成等比数列，则_______.
15. 在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：______．
①Sigmoid函数是单调递增函数；
②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；
③对于任意正实数a，方程有且只有一个解；
④Sigmoid函数的导数满足：．
三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 在中，.
（1）求B；
（2）若，___________.求a.
从①，②这两个条件中任选一个，补充上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
17. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）

（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于的点位的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明）
18. 如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．

（1）求证：；
（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离．
19. 设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;
(Ⅱ)已知导函数区间上存在零点，证明:当时，.
20. 已知椭圆过点，设它左､右焦点分别为､，左顶点为，上顶点为，且满足.
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于､(异于点)两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由.
21. 对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)

参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，得：，，故，故选B.
2. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
3. 向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）

A. 3 B. C. -3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量减求得，利用向量的坐标运算性质，向量相等即可得出．
【详解】解： 根据向量的减法得,
，
且，
因此，则
故选：D．
4. 设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中等式求解出等差数列的公差，进而求解出数列的前项和，最后根据的表达式求解出结果
【详解】设公差为则，
因此，所以当时，取最大值
故选：B
5. 已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-，
因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，
所以3+=4，p=2；
故选C．

6. 设，， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出a，b，c与0，1的大小关系，进而得到答案．
【详解】，
，即，且，即，
，即，故.
故选：C
7. 设函数，，则“”是“函数为奇函数”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：当时，函数，此时函数为奇函数；反之函数为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.
考点：1.充分必要条件的判断；2.函数的奇偶性.
8. 已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由，得，
又，
所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：C．
9. 已知圆C：x2+y2+2x-4y+1=0，若在圆C中存在弦AB，满足AB=2，且AB的中点M在直线2x+y+k=0上，则实数k的取值范围是（ ）
A. [-2，2] B. [-5，5] C. (-，) D. [-，]
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件求出点M的轨迹，再利用点M的轨迹与直线2x+y+k=0有公共点即可列式计算作答.
【详解】圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的圆心，半径，因M为线段AB的中点，则，
此时，，于是得点M的轨迹是以点C为圆心，1为半径的圆，而点M在直线2x+y+k=0上，
因此，直线2x+y+k=0与点M的轨迹有公共点，从而得，解得，
所以实数k的取值范围是.
故选：D
10. 对于数列，若存在常数M，使得对任意，与中至少有一个不小于M，则记作，那么下列命题正确的是（ ）
A. 若，则数列各项均大于或等于M
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】通过数列为1，2，1，2，1，2…，当时，判断A；当时，判断C；当数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，时，判断B；直接根据定义可判断D正确.
【详解】对于A：在数列1，2，1，2，1，2…中，，数列各项均大于或等于不成立，故A错误；
对于B：数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，，而各项均为3，则不成立，故B错误；
对于C：在数列1，2，1，2，1，2…中，，此时不正确，故C错误；
对于D：若，则中，与中至少有一个不小于，故正确，
故选：D．
第二部分
二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案写在答题纸的相应位置）
11. 在的展开式中，常数项为___________.
【答案】60
【解析】
【分析】根据二项式展开式通项，找到常数项即可.
【详解】根据二项式展开式通项，易知
故答案为：60.
12. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的一个取值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移后的可得函数，根据题意可得可得，取一值即可得解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，由函数的图象关于原点对称，
可得,
所以，，
当时，.
故答案为：
13. 已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为，两条渐近线与以A为圆心1为半径的圆都相切，则该双曲线的渐近线方程是______，该双曲线的标准方程是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，即可求出，再设出双曲线的方程，即可写出双曲线渐近线的方程，最后由点到直线的距离公式即可求出的值即可.
【详解】有双曲线一个顶点为，可知焦点在轴上，则，
故双曲线可设为，则渐近线，
又，解得，所以渐近线
则双曲线的方程为.
故答案为：; .
14. 设函数的零点为，若成等比数列，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】将函数的零点转化为的交点横坐标，结合函数图像，列方程求出零点，进而可得的值.
【详解】令，得
则函数的零点
即为的交点横坐标，如图：

由图可知，
解得

故答案为：.
15. 在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：______．
①Sigmoid函数是单调递增函数；
②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；
③对于任意正实数a，方程有且只有一个解；
④Sigmoid函数的导数满足：．
【答案】①②④
【解析】
【分析】由的单调性可得的单调性可判断①；利用，可判断②；由的单调性可判断③； 求出和可判断④.
【详解】因为为单调递减函数，所以为单调递增函数，故①正确；
因为，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为，故②正确；
因为为单调递增函数，且，，
仅当时，方程有且只有一个解，故③错误；
，
，所以，故④正确．
故答案为：①②④.
三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 在中，.
（1）求B；
（2）若，___________.求a.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题目条件，由正弦定理得，化简即可求出.
（2）若选①，由余弦定理得：，即可解得a 的值 .
若选②，利用两角和的正弦函数公式可求得的值，由正弦定理即可解得a 的值.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得：，因为，所以，所以，即，即
，即，又，所以.
【小问2详解】
若选①，则 在 中，由余弦定理得：，可得：，解得：，或（舍），可得.
若选②，，则，
由正弦定理：，可得：，解得：.
17. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）

（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于的点位的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）分布列见解析，1；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.
【解析】
【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；
（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；
（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．
【详解】（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，
所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为；
（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于的有两个点：C，D，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列为

所以X的期望为；
（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.
【点睛】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.
18. 如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．

（1）求证：；
（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由中位线定理得EFDC，然后由线面平行判定定理和性质定理得出线线平行，从而证得结论成立；
（2）以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角的余弦值．
（3）根据向量法求点到平面的距离.
【小问1详解】
因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EFAB，DCAB，所以EFDC．
又因为EF平面PCD，DC⊂平面PCD，
所以EF平面PCD．
又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，
所以EFGH，又因为EFAB，所以ABGH.
【小问2详解】
因为，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由，则，
所以，.
设平面PAB的一个法向量为，则可取
设平面PDC的一个法向量为＝(x，y，z)，
由，，
得，取z＝1，得＝(0，2，1)．
所以cos〈〉＝，
所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为．
小问3详解】
由点到平面距离公式可得，
即点A到平面PCD的距离为.
19. 设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求导得到，，解得答案.
(Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.
详解】(Ⅰ)，故，
，故.
(Ⅱ) ，即，存在唯一零点，
设零点为，故，即，
在上单调递减，在上单调递增，
故
，
设，则，
设，则，单调递减，
，故恒成立，故单调递减.
，故当时，.
【点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.
20. 已知椭圆过点，设它的左､右焦点分别为､，左顶点为，上顶点为，且满足.
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于､(异于点)两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由.
【答案】（1）椭圆的方程为，离心率；（2）是定值，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）依题意列之间关系，解方程即得结果；
（2）设直线方程，联立方程得､两点坐标之间的关系，再计算即得结果.
【详解】解：（1）根据题意得，解得，
所以椭圆的方程为，离心率；
（2）因为直线不与y轴垂直，所以直线的斜率不为，
设直线的方程为，设､，
联立方程，化简得.
显然点在椭圆的内部，所以.
则，.
又因为，所以，.
所以，
所以，即是定值.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和离心率，以及直线与椭圆的综合应用，属于中档题.
21. 对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，
根据对应关系得到，再计算，，得到答案.
【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使成立的为：或.
【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

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