备战2023年高考数学一轮复习-第6节-离散型随机变量的数字特征.docx

第6节　离散型随机变量的数字特征

1.了解离散型随机变量的概念.
2.理解离散型随机变量的分布列及其均值、方差的概念.
3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.

1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为　　　　或可以　　　　　的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
2.离散型随机变量的分布列
(1)分布列的概念及表示
①一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率　　　　　　　　　,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列. 
②与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用表格表示,如表,
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
还可以用　　　表示. 
(2)分布列的性质
根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有两个性质:
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=　　　. 
3.离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称E(X)=　　　　　　　　　　　=∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望. 
(2)统计意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的　　　　　　.
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则E(aX+b)=　　　　　　. 
4.离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义:设离散型随机变量X的分布列如表所示,
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,
…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=∑i=1n(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称D(X)为随机变量X的　　　　,记为σ(X). 
(2)统计意义:随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度,方差或标准差越小,随机变量的取值越　　　;方差或标准差越大,随机变量的取值越　　　. 
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则D(aX+b)=
a2D(X).

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,D(X)越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近.

1.若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量.
2.方差与均值的关系:D(X)=E(X2)-(E(X))2.

1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值个数为(　　)
A.25 B.10 C.7 D.6
2.(选择性必修第三册P70练习T1改编)随机变量ξ的分布列如表,且E(ξ)=1.1,则D(ξ)=(　　)
ξ
0
1
x
P
15
p
310
A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.68
3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中得分情况如表所示,
ξ1(甲得分)
0
1
2
P(ξ1=xi)
0.2
0.5
0.3

ξ2(乙得分)
0
1
2
P(ξ2=xi)
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛,选哪名运动员参加较好(　　)
A.甲 B.乙
C.甲、乙均可 D.无法确定
4.设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
13
m
14
16
则P(|X-3|=1)=　　　　. 
5.已知随机变量ξ的分布列如表,则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为　　　　. 

ξ
0
1
2
P
y
0.4
x

离散型随机变量的分布列
角度一　离散型随机变量的分布列的性质及应用
(1)(多选题)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k5)=ak(k=1,2,3,
4,5),则(　　)
A.15a=1
B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2
C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2
D.P(ξ=1)=0.3
(2) 随机变量X的分布列如表:
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=　　　　,公差d的取值范围是　　　　. 

离散型随机变量的分布列性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”,可以求相关参数的取值范围或值.
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”,求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是不是正确.
角度二　求离散型随机变量的分布列
在一次购物抽奖活动中,假设某10张奖券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的分布列.

求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
提醒:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
[针对训练]
1.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求η=|X-1|的分布列.

2.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分
布列.

离散型随机变量的均值与方差
角度一　求离散型随机变量的均值与方差
为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准:滑雪时间不超过1 h免费,超过1 h的部分每小时收费标准为40元(不足1 h的部分按1 h计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1 h离开的概率分别为14,16;1 h以上且不超过2 h离开的概率分别为12,23;两人滑雪时间都不会超过3 h.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列与数学期望E(ξ),方差D(ξ).

求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)由均值的定义求E(X).
(5)由方差的定义求D(X).
提醒:注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.
角度二　均值与方差在决策中的应用
(2021·浙江温州一模)某投资公司在今年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目可供选择:项目一为新能源汽车,根据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29;
项目二为通信设备,根据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.

利用均值、方差进行决策的方法
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,从而进行决策.
[针对训练]
(2021·广东惠州高三调研)某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案.
方案一:交纳延保金7 000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2 000元;
方案二:交纳延保金10 000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1 000元.
某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,如表所示,
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金与维修费用的和的数学期望为决策依据,医院选择哪种延保方案更划算?

离散型随机变量的分布列、均值与方差的创新应用
某产品自生产并投入市场以来,生产企业为确保产品质量,决定邀请第三方检测机构对该产品进行质量检测,并依据质量指标Z来衡量产品的质量.当Z≥8时,产品为优等品;当6≤Z<8时,产品为一等品;当2≤Z<6时,产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件,绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本,估计该企业生产该产品的质量情况,并用频率估计概率.
(1)从该企业生产的所有产品中随机抽取1件,求该产品为优等品的概率;
(2)现某人决定购买80件该产品,已知每件成本1 000元,购买前,邀请第三方检测机构对要购买的这80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议:从80件产品中随机抽出4件产品进行检测,若检测出3件或4件为优等品,则按每件
1 600元购买,否则按每件1 500元购买,每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X元,求X的分布列与数学期望;
(3)商场为推广此款产品,现面向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛硬币的结果,操控机器人在方格上行进,已知硬币出现正、反面的概率都是12.方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.机器人开始在第0格,客户每掷一次硬币,机器人向前移动一次.若掷出正面,机器人向前移动一格(从k到k+1);若掷出反面,机器人向前移动两格(从k到k+2),直到机器人移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时,游戏结束.若机器人停在“胜利大本营”,则可获得优惠券.设机器人移到第n格的概率为Pn(0≤n≤50,n∈N*),试证明{Pn-Pn-1}(1≤n≤49,n∈N*)是等比数列,并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品.

将概率、统计及分布列、期望、方差等知识与数列综合在一起命题,是近两年高考的一大趋向和亮点.该类问题以实际应用为手段,背景新颖,思维含量高,能够增强数学应用意识及阅读理解能力、化归转化能力与运算求解能力的培养和数学建模、直观想象、数据分析、数学运算等核心素养的提升.
[针对训练]
甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目,答题分两轮,第一轮为“选题答题环节”,第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”,答题规则:每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23,乙恰能答对备选5道题中的其中3道题;第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”,答题规则:先确定一人坐庄答题,若答对,继续答下一题…,直到答错,则换人(换庄)答下一题…,以此类推.例如若甲首先坐庄,则他答第1题,若答对继续答第2题,如果第2题也答对,继续答第3题,直到他答错,则换成乙坐庄开始答下一题…,直到乙答错再换成甲坐庄答题,以此类推.当两人共计答完20道题游戏结束,假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答,且记第n道题也由该同学(最先答题的同学)作答的概率为Pn(1≤n≤20,n∈N*),其中P1=1,已知供甲、乙回答的20道题中,甲、乙两人答对其中每道题的概率都是13,如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加10分,答错(不答视为答错)则减5分,甲、乙答题相互独立,两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题.
(1)请预测第二轮最先开始作答的是谁,并说明理由;
(2)①求第二轮答题中的概率P2,P3;
②求证Pn-12为等比数列,并求Pn(1≤n≤20,n∈N*)的表达式.

请完成“课时作业”第292～293页的内容