课时作业-第2节-圆与方程.docx

第2节　圆与方程

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
圆的方程
1,4

直线与圆的位置关系
2,3,6,7,8,9
11

圆与圆的位置关系
5

综合问题

10,12,13
14,15

1.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是(　D　)
A.以(1,-2)为圆心,11为半径的圆
B.以(1,2)为圆心,11为半径的圆
C.以(-1,-2)为圆心,11为半径的圆
D.以(-1,2)为圆心,11为半径的圆
解析:由x2+y2+2x-4y-6=0得(x+1)2+(y-2)2=11,故圆心为(-1,2),半径为11.故选D.
2.直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　B　)
A.相切 B.相交或相切
C.相交 D.不能确定
解析:因为直线y=kx+1过定点(0,1),
而(0,1)在圆x2+y2=1上.故选B.
3.已知☉O的圆心是坐标原点O,且被直线x-3y+3=0截得的弦长为3,则☉O的方程为(　C　)
A.x2+y2=1 B.x2+y2=2
C.x2+y2=3 D.x2+y2=4
解析:由题意,圆心到直线的距离d=|3|1+3=32,由几何法可知,l= 2r2-d2=3,
代入数据可得r2-34=94,
所以r2=3,
所以圆的标准方程为x2+y2=3.故选C.
4.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(　B　)
A.x2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+y2=5
C.x2+(y+2)2=5 D.(x-1)2+y2=5
解析:因为所求圆的圆心与圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称,
所以所求圆的圆心为(2,0),半径为5,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.故选B.
5.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于(　C　)
A.21 B.19 C.9 D.-11
解析:圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1.
因为圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,
所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=25-m(m<25).从而|C1C2|= 32+42=5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+25-m=5,解得m=9.故选C.
6.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是(　A　)
A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3]
解析:x2+y2=4,圆心(0,0),半径r=2,
圆心到直线4x-3y+25=0的距离d=|0-0+25|42+(-3)2=5,
所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3,
最大值为5+2=7,
所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7].
故选A.
7.(多选题)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m等于(　AD　)
A.2 B.4 C.6 D.10
解析:圆C:(x-3)2+(y-3)2=72的圆心C的坐标为(3,3),半径r=62,
因为直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,
所以圆心到直线的距离为22,
则有d=|6-m|1+1=22,
解得m=2或10.故选AD.
8.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 
解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.
所以圆心C(0,-1),半径r=2.
圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d=|1+1|2=2,
所以|AB|=2r2-d2=24-2=22.
答案:22
9.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线x-ay+1=0平行,则a=　 . 
解析:因为点P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,
所以过点P(2,2)与圆(x-1)2+y2=5相切的切线方程为(2-1)(x-1)+2y=5,
即x+2y-6=0.
由直线x+2y-6=0与直线x-ay+1=0平行,得a=-2.
答案:-2

10.已知直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,过点P(1,k)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则三角形PAB的面积等于(　D　)
A.3 B.32 C.34 D.334
解析:因为直线kx+y+4=0是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,
所以直线kx+y+4=0过圆心C(3,-1),
即3k-1+4=0,k=-1,
所以点P(1,-1),|PC|=2,
因为圆C的半径r=1,
所以切线长|PA|=|PB|=|PC|2-r2=3,
且在直角三角形中sin∠APC=sin∠BPC=r|PC|=12,
所以∠APC=∠BPC=30°,∠APB=60°,
所以三角形PAB的面积
S=12|PA|×|PB|sin∠APB=334.故选D.
11.圆x2+y2+2x-8=0截直线y=kx+1(k∈R)所得的最短弦长为(　A　)
A.27 B.22 C.43 D.2
解析:直线y=kx+1过定点(0,1),
圆x2+y2+2x-8=0可化为(x+1)2+y2=32,
故圆心为(-1,0),半径为r=3.
因为(0+1)2+12=2<32,
所以点(0,1)在圆x2+y2+2x-8=0内,
又(0,1)和(-1,0)的距离为(-1)2+(-1)2=2,根据圆的几何性质可知,圆x2+y2+2x-8=0截直线y=kx+1(k∈R)所得的最短弦长为232-(2)2=27.故选A.
12.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则四边形OCPD(O为坐标原点)面积的最小值是(　B　)
A.3 B.22 C.23 D.2
解析:因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,
当点P与圆心的距离最小时,切线长PC,PD最小,此时四边形OCPD的面积最小,
所以圆心到直线3x+4y=15的距离d=|-15|32+42=3,
所以|PC|=|PD|=d2-r2=22,
所以四边形OCPD的面积S=2×12|PC|r=22.故选B.
13.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是　　　　. 
解析:由题意得圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1的圆心为(a,a-2),半径为1.
设点M的坐标为(x,y),
因为|MA|=2|MO|,
所以x2+(y+3)2=2x2+y2,
整理得x2+(y-1)2=4,
故点M的轨迹是以(0,1)为圆心,2为半径的圆.
由题意得圆C和点M的轨迹有公共点,
所以1≤a2+(a-3)2≤3,
解得0≤a≤3.
所以实数a的取值范围是[0,3].
答案:[0,3]

14.过圆x2+y2=16上的动点作圆C:x2+y2=4的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为(　A　)
A.π B.3π2 C.2π D.3π
解析:如图所示,过圆x2+y2=16上一动点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,

则|OP|=4,|OA|=|OB|=2,|PB|=|PA|=|OP|2-|OA|2=23,
则sin∠OPA=|OA||OP|=12,且∠OPA为锐角,
所以∠OPA=30°,同理可得∠OPB=30°,
所以∠APB=60°,则△APB为等边三角形,
连接OP交AB于点M,
因为OP为∠APB的角平分线,则M为AB的中点,
所以OM⊥AB,
且∠OAB=90°-∠PAB=30°,
所以|OM|=12|OA|=1,
若圆C内的点不在任何切点弦上,则该点到圆C的圆心的距离应小于|OM|,
即圆C内的这些点构成了以原点为圆心,半径为1的圆的内部,
因此,圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为π×12=π.故选A.
15.过点P(x,y)作圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y-2)2=1的切线,切点分别为A,B,若|PA|=|PB|,则x2+y2的最小值为(　B　)
A.2 B.2 C.22 D.8
解析:如图所示,由圆的切线的性质得C1A⊥PA,C2B⊥PB,

在Rt△PAC1,Rt△PBC2中有|PA|2=|PC1|2-1,|PB|2=|PC2|2-1,
由题知|PA|=|PB|,
所以|PC1|=|PC2|,
所以点P在线段C1C2的垂直平分线上;
由题知C1(0,0),C2(2,2),
所以C1与C2的中点Q的坐标为(1,1),
C1与C2所在直线的斜率为k1=2-02-0=1,
所以P,Q所在直线l的斜率为k2=-1k1=-1,
所以直线l的方程为y=-1×(x-1)+1,
即y=-x+2,
点P(x,y)在直线y=-x+2上,
所以点P的坐标满足y=-x+2,
所以x2+y2=x2+(-x+2)2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2≥2.故选B.