吉林省实验中学2019届高三下学期第八次月考数学(理)试题.doc

吉林省实验中学2018-2019学年度下学期
高三年级第八次月考数学（理科）试题

第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 设平面向量，若，则等于 （ ）
A． B． C． D．
5．二项式 的展开式中第9项是常数项，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．11 D．12
6. 已知点(2,8)在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.

7.右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.

8.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为，
这一数值也可以表示为，若，则 （ ）
A． B． C． D．

9.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.

10.一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
11.设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．

12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）
13.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
14.如果实数满足不等式组，且，则目标函数的最大值是_______
15. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：
椭圆，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线， 分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为__________.

16. 已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足,且.若对任意恒成立，则实数的最小值为______．
三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）
17.（本小题满分12分） 在所对的边分别为且， （1）求角的大小；
（2）若，，求及的面积.

18.（本小题满分12分） 某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:

（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数； 
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据， 根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X ，求X的分布列和数学期望.
附：

19.（本小题满分12分） 如图在棱锥中，为矩形，面，

（1）在上是否存在一点，使面，若
存在确定点位置，若不存在，请说明理由；
（2）当为中点时，求二面角的余弦值.

20. （本小题满分12分）已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足.
（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
（2）一条在y轴截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程.

21.（本小题满分12分）已知函数，曲线
y=f(x)与y=g(x)在原点处的切线相同。(1)求a的值；
(2)求f(x)的单调区间和极值；
(3)若时，，求k的取值范围。

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.
22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)将的方程化为普通方程，将的方程化为直角坐标方程;
(2)已知直线的参数方程为，与交于点A，与交于点B，且，求的值.

23. 选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知
(1)已知关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
(2)解不等式

数学月考试题答案（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
C
D
A
A
D
A
C
C
D
C
A
A

二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.将答案填在答题卡的相应位置上
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解：（1），，由正弦定理可得， 又，，， ，， 所以，故. .............6分
（2），，由余弦定理可得：，即
解得或（舍去），故. 所以. ....................12分
解：(1)由图可知，第一组有3人，第二组有7人第三组有27人
因为后四组频数成等差数列，所以后四组的频数依次为27,24,21,18.所以视力在5.0以下的频率为，故全年级视力在5.0以下的人数约为. .............4分
(2) .............6分
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;
(3) 依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名的学生分别有3人和6人，可取0、1、2、3
, , ， ．
的分布列为

0
1
2
3

的数学期望 ． .............12分
19.
解：（Ⅰ）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，
故只需即可，
所以由,即存在点E为
PC中点 ...........…6分
法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， 由题意知PD＝CD＝1，
，设， ，，由
，得，即存在点E为PC中点.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
，， ，
设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为
由的法向量为得，得，同理求得
所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值为. ....................12分
20. 解: (Ⅰ) 因为，即，所以
所以，又因为,所以，即:,即
所以椭圆的标准方程为…………………………4分
(Ⅱ) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为
联立直线和椭圆方程得: ，由,得
设，以直径的圆恰过原点，所以,，即
也即，即，将(1)式代入,得
即，解得,满足（*）式，所以,所以直线.............12分
21.解：（1）因为，
依题意，，得，
（2）所以
当时， ；当时
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
的极小值为 ；无极大值；
（3）由（1）知，当时，,,此时无论K取何值均满足，
当时，令
所以，
又令,所以
因为时，令得，
①当时，，所以在递增，
从而 即满足时，。
②当时，，所以在递增，
又因为，x趋近时趋近，
根据零点存在性定理所以存在使得，
所以在上递减，在上递增，因为,所以，
此时不满足时， 综上所述，的取值范围是。

22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
解：（1）曲线消去参数得，曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程为，即.…………5分
（2） 把直线的参数方程代入曲线的普通方程得.同理，把直线的参数方程代入曲线的普通方程得，.,
.综上所述：.…………10分

23. 选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
解：（1）因为不等式有实数解，所以，
.…………5分
（3）
①当时，
②当时，
③当时，
综上得，…………10分
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