2023届高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算.doc

第1讲　平面向量的概念及线性运算
考向预测
核心素养
主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、向量共线定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，中低档难度．偶尔会在解答题中作为工具出现.
数学抽象、直观想象

[学生用书P129]

一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意]　(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算

向量
运算
定义
法则(或几
何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算　

交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算　

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算　
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，
λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
常用结论
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
2．若G为△ABC的重心，则有
(1)＋＋＝0；(2)＝(＋)．
3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
二、教材衍化
1．(人A必修第二册P4练习T1改编)给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有(　　)
A．3个 B.4个
C.5个 D.6个
解析：选C.质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．
2．(人A必修第二册P14例6改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
解析：

如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a　－a－b
3．(人A必修第二册P15练习T2)点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
答案：　－

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1．(多选)(向量概念理解不准确致误)下列命题错误的是(　　)
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．相反向量就是方向相反的向量
D．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b
答案：ACD
2．(向量运算法则运用易错)点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　)
A．－＋ B.－－
C.－ D.＋
答案：A
3．(多选)(向量共线概念含义不清易错)已知a，b为两个非零向量，则下列说法中正确的是(　　)
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
C．－2a与2a是一对相反向量
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
解析：选ABC.A正确，因为2>0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|.B正确，因为5>0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2<0，所以－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，所以5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的.C正确，按照相反向量的定义可以判断．D不正确，因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－(b－a)是相等向量.
[学生用书P131])
考点一　平面向量的概念(自主练透)
复习指导：了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．
1．下列命题正确的是(　　)
A．|a|＝|b|⇒a＝b B.|a|>|b|⇒a>b
C．a∥b⇒a＝b D.|a|＝0⇒a＝0
解析：选D.对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以错误．对于B，两个向量不能比较大小，所以错误．对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，所以错误．对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是0，所以正确．
2．设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B.a∥b
C．a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
解析：选C.因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，故“a＝2b”是“＝”成立的充分条件．
3．给出下列命题：
①若向量a∥b，b∥c，则a∥c；
②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
③在菱形ABCD中，一定有＝.
其中是真命题的为________．(填序号)
解析：若b＝0，则向量a不一定与c平行，故①不正确．单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确．
在菱形ABCD中，||＝||，与方向相同，故＝，故③正确．
答案：②③
4.

如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为________．
解析：

如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD＝∠BCD＝∠E，
所以||＝||.
因为BC∥AE，所以△ADE∽△BDC，
所以＝＝＝，
故||＝.
答案：

平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
考点二　平面向量的线性运算(综合研析)
复习指导：1.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．
2．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义．
(1)(链接常用结论1)(一题多解)(2022·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b　　　 B.a＋b
C.a－b D.a－b
(2)

(2022·芜湖第一中学高三月考)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则＝(　　)
A．－＋ B.－＋
C．－＋ D.－＋
【解析】　

(1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A.
优解一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
优解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
(2)＝＋＝＋
＝(－)＋
＝－＋－
＝－＋，故选A.
【答案】　(1)A　(2)A

向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
|跟踪训练|
1.

如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A．0 B.
C. D.
解析：选D.由于＝，故＋＋＝＋＋＝.
2.

(2022·安徽省宣城市郎溪县模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，
即＝＋，解得＝＋，
即＝a＋b.
3．已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
解析：因为D为边BC的中点，所以＋＝2，又＋＋＝0.
所以＝＋＝2，
所以＝－2，所以λ＝－2.
答案：－2
考点三　向量共线定理的应用(多维探究)
复习指导：理解两个向量共线的含义，了解向量的线性运算性质及其几何意义．
角度1　判定向量共线、点共线
已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
【解】　(1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，
所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，
所以＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
又与有公共点A，所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知，＝λ，
若点B在线段AM上，则与同向，且λ≠0，λ≠1，所以||>||>0，所以λ>1.故实数λ的取值范围为(1，＋∞)．
角度2　利用向量共线定理求参数
(链接常用结论3)(1)(一题多解)在△ABC中，若＝2，＝＋λ，则λ＝________．

(2)如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
【解析】　(1)方法一：由＝2，知A，B，D三点共线．所以＋λ＝1，从而λ＝.
方法二：由题意知＝＋　①，
＝＋　②，
且＋2＝0.①＋②×2，得3＝＋2.所以＝＋，所以λ＝.
(2)注意到N，P，B三点共线，因此有＝m＋＝m＋，从而m＋＝1，所以m＝.
【答案】　(1)　(2)

[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
|跟踪训练|
1．已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝n　a＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)
A．m＋n＝0 B.m－n＝0
C．mn＋1＝0 D.mn－1＝0
解析：选D.由＝a＋mb，＝n　a＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(n　a＋b)，即所以mn－1＝0.
2．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ＝________．

解析：因为＝，＝，
所以＝，＝2.
由向量加法的平行四边形法则可知，
＝＋，
所以＝λ＝λ(＋)＝λ
＝λ＋2λ，
由E，F，K三点共线，可得λ＋2λ＝1，λ＝.
答案：
[学生用书P414(单独成册)]
[A　基础达标]
1．(2022·成都市高三高考适应性考试)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|a
解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
2．若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　)
A．2－ B.2－
C．2＋ D.2＋
解析：

选A.如图，2－＝＋(－)＝＋＝＋＝.
3．(2022·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝(　　)
A．－2 B.－
C.－ D.
解析：选A.＝＋＝＋＝－＋＝－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.
4．(2022·丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为(　　)
A．2 B.3
C.4 D.8
解析：选A.因为＋＋＝2＝2(－)，
所以3＝－＝，所以∥，且方向相同，所以＝＝＝3，所以S△PAB＝＝2.
5．(多选)(2022·武汉市高三模拟)在△ABC中，下列命题正确的是(　　)
A.－＝
B.＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若·＞0，则△ABC为锐角三角形
解析：选BC.由向量的运算法则知－＝，＋＋＝0，故A错误，B正确；
因为(＋)·(－)＝2－2＝0，
所以2＝2，即||＝||，
所以△ABC为等腰三角形，故C正确；
因为·＞0，所以角A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．故选BC.
6．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选CD.因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即≠0，因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以解得sin α＝－.又α∈(0，2π)，故α的值可以为或.
7．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________．
解析：因为a与b共线，所以存在实数x，使a＝xb，所以2e1－e2＝xe1＋λxe2，所以故λ＝－.
答案：－
8.

如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝________．
解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.
答案：b－a
9．(2022·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________．
解析：取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝.
答案：　
[B　综合应用]
10．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
解析：选ACD.若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝2－，即有－＝－，即＝，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若＝－－，
即＋＋＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；

如图，＝x＋y，且x＋y＝，
可得2＝2x＋2y，
设＝2，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
11．(多选)定义一种向量运算“”：ab＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，则下列结论正确的是(　　)
A．ab＝ba
B．λ(ab)＝(λa)b(λ∈R)
C．(a＋b)c＝ac＋bc
D．若e是单位向量，则|ae|≤|a|＋1
解析：选AD.当a，b共线时，ab＝|a－b|＝|b－a|＝ba，当a，b不共线时，ab＝a·b＝b·a＝ba，故A是正确的；当a，b共线且λ＝0，b≠0时，λ(ab)＝0，(λa)b＝|0－b|≠0，故B是错误的；
当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)c＝|a＋b－c|，ac＋bc＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C是错误的；
当e与a不共线时，|ae|＝|a·e|<|a|·|e|＝|a|<|a|＋1，当e与a共线时，|ae|＝|a－e|≤|a|＋1，故D是正确的．
12．(一题多解)在△ABC中，点D在线段BC上，且＝2，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．
解析：方法一：＝x＋(1－x)＝x(－)＋，即－＝x(－)，所以＝x，所以＝x，因为＝2，所以＝3，则0<x<＝，所以x的取值范围是.
方法二：设＝λ，λ∈，则＝＋＝＋λ＝(1－λ)＋λ＝x＋(1－x)·，则x＝1－λ∈.
答案：
13．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n(m，n∈R)，则＋＝________．
解析：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
则消去λ，得＋＝3.
答案：3