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专题11 一元二次方程
考点一：一元二次方程之相关概念
知识回顾
1. 一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。
3. 一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。
微专题
1．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ ．
2．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 ．
3．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
4．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
5．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
考点二：一元二次方程之解一元二次方程
知识回顾
1. 直接开方法解一元二次方程：
适用形式：或或（均大于等于0）
①时，方程的解为：。
②时，方程的解为：。
③时，方程的解为：。
2. 配方法解一元二次方程：
运用公式：。
具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
即：
∴
若，则即可求得两根。
3. 公式法解一元二次方程：
（1） 根的判别式：由配方法可知，即为一元二次方程根的判别式。用表示。
①方程有两个不相等的实数根。
②方程有两个相等的实数根。
③方程没有实数根。
（2） 求根公式：
当时，则一元二次方程可以用来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。
①时，一元二次方程的两根为。
②时，一元二次方程的两根为。
③时，方程没有实数根。
4. 因式分解法求一元二次方程：
利用因式分解的手段将一元二次方程化为的形式，再利用来求解二元一次方程。
微专题
6．（2022•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？（ ）
A．9 B．﹣3 C．6+ D．﹣6+
7．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
9．（2022•甘肃）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6
10．（2022•荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 ．
11．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2
12．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4
C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4
13．（2022•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（ ）
A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6
14．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
15．（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 ．
16．（2022•云南）方程2x2+1＝3x的解为 ．
17．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
18．（2022•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m≥﹣ D．m＞﹣
19．（2022•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
20．（2022•巴中）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＞﹣ B．k＜﹣ C．k＞﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0
21．（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
22．（2022•西宁）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
23．（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
24．（2022•大连）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B．9 C．6 D．﹣9
25．（2022•营口）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣4
26．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
27．（2022•上海）已知x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
28．（2022•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
考点三：一元二次方程之根与系数的关系：
知识回顾
1. 根与系数的基本关系：
若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为：
。
同时存在：。
2. 常考推广公式：
①。
②。
③。
④。
⑤。
⑥。
微专题
29．（2022•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
30．（2022•青海）已知关于x的方程x2+m x+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
31．（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0
32．（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
33．（2022•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（ ）
A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6
34．（2022•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+m n+2m的值为（ ）
A．0 B．﹣10 C．3 D．10
35．（2022•乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．﹣
36．（2022•巴中）α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为 ．
37．（2022•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝ ．
38．（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 ．
39．（2022•绥化）设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为 ．
40．（2022•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 ．
41．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 ．
考点四：一元二次方程之实际应用：
知识回顾
1. 列方程解实际应用题的步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。
④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。
⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
2. 一元二次方程实际应用的基本类型：
①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。
②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
⑤商品销售问题：基本等量关系：
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
⑥图形面积问题：
利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
微专题
42．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
43．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
44．（2022•哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96
45．（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52 B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1+x2）＝11.52
46．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
47．（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
48．（2022•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400 D．400x2＝625
49．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
50．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
51．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
52．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
53．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ （用百分数表示）．
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