2023版大一轮数学人教A版-第5节-古典概型.docx

第5节　古典概型

知识梳理
1.古典概型
定义：一般地，若试验有如下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点的个数.

概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.(　　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(　　)
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　　)
(4)概率为0的事件一定是不可能事件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个样本点，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.

2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D．非以上答案
答案　A
解析　从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p＝＝.
3．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门．不能开门地就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________．
答案　　
解析　第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为＝；
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为＝.

4．(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有C＝10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝.故选A.
5．(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率p＝＝.
6．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　法一　设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．

由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.
法二　因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均为.

考点一　古典概型的简单计算
1.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为＝.
2.(2021·衡阳质检)在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　一次随机取出2个球，样本点总数为C＝15，至少有1个红球包含的样本点个数为CC＋C＝9，
∴至少有1个红球的概率P＝＝.
3.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.
答案　
解析　从10件产品中取4件，共有C种取法，恰好取到1件次品的取法有CC种，由古典概型概率计算公式得P＝＝＝.
感悟升华　古典概型的样本点个数的探求方法：
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.

考点二　古典概型与其他知识的简单交汇
【例1】 (1)(2020·上海浦东一模)已知集合A＝{－2，－1，－，，，1，2，3}，任取k∈A，则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为________(结果用数值表示).
(2)(2021·河北七校联考)若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆＋＝1的焦距为整数的概率为________.
答案　(1)　(2)
解析　(1)集合A＝{－2，－1，－，，，1，2，3}，任意k∈A的样本点总数为8，
当k＝±2时，幂函数f(x)＝xk为偶函数，从而幂函数f(x)＝xk为偶函数包含的样本点个数为2，
∴幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率p＝.
(2)∵m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，∴样本点总数为6，又满足椭圆＋＝1的焦距为整数的m的取值有1，3，11，共有3个，∴椭圆＋＝1的焦距为整数的概率p＝＝.
感悟升华　求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定样本点个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解.
【训练1】 设平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　有序数对(m，n)的所有可能情况为4×4＝16个，由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的样本点为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P(A)＝＝.

考点三　古典概型与统计的综合应用
【例2】 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.
解　(1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，
所以直方图中x的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是＝230.
因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5，
且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，
所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，
所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，
月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，
月平均用电量在[280，300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户).
抽样方法为分层随机抽样，在[240，260)，[260，280)，[280，300]中的用户比为3∶2∶1，
所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分别抽取3户、2户和1户.
设参加节目的2户来自不同组为事件A，将来自[240，260)的用户记为a1，a2，a3，来自[260，280)的用户记为b1，b2，来自[280，300]的用户记为c1，在6户中随机抽取2户有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，c1)，共15种取法，其中满足条件的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，c1)，(b2，c1)，共11种，故参加节目的2户来自不同组的概率P(A)＝.
感悟升华　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.
【训练2】 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
解　(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.
(2)法一　设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有样本点为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.
所以P(D)＝.
即这2件商品来自相同地区的概率为.
法二　这2件商品来自相同地区的概率为＝＝.

A级　基础巩固
一、选择题
1.一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是(　　)
A. B.
C. D.0
答案　A
解析　列举出所有样本点，找出“只有1次正面”包含的结果.一枚硬币连掷2次，样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为＝.故选A.
2.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
343　432　341　342　234　142　243　331　112
342　241　244　431　233　214　344　142　134
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142，112，241，142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为＝.故选C.
3.(2020·鹤壁模拟)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的样本点有C＝28个，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的样本点有4C＝12个，根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率p＝＝.
4.(2021·武汉质检)我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出.这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质中随机选取三种，则取出的三种物质中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　B
解析　法一　依题意，样本点有C＝10(个)，恰好有两个不相克关系的情况有＝5(个)，所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p＝1－＝，故选B.
法二　依题意，样本点有C＝10(个)，恰好有一个相生关系和两个相克关系的情况有＝5(个)，所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p＝＝，故选B.
法三　(列举法)依题意，三种物质间相生相克关系如下表，
金木水
金木火
金木土
金水火
金水土
金火土
木水火
木水土
木火土
水火土
×
√
√
√
×
×
×
√
×
√
所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p＝＝，故选B.
5.(2021·重庆诊断)今年“五一”小长假期间，某博物馆准备举办一次主题展览，为了引导游客有序参观，该博物馆每天分别在10时，13时，16时公布实时观展的人数.下表记录了5月1日至5日的实时观展人数：

1日
2日
3日
4日
5日
10时观展人数
3 256
4 272
4 567
2 737
2 355
13时观展人数
5 035
6 537
7 149
4 693
3 708
16时观展人数
6 100
6 821
6 580
4 866
3 521
通常用实时观展的人数与博物馆的最大承载量(同一时段观展人数的饱和量)之比来表示观展的舒适度，50%以下称为“舒适”，已知该博物馆的最大承载量是1万人.若从5月1日至5日中任选2天，则这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　5月1日至5日中，该博物馆每天在10时，13时，16时这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的有2天，分别为5月4日和5月5日，从5月1日至5日中任选2天，样本点总数n＝C＝10，这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”包含的样本点个数m＝CC＝6，所以这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率p＝＝＝.
6.六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　丙排第一，除甲乙外还有3人，共A种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得A，此时共有A·A＝6×12＝72种可能；
丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有CA排法，甲和乙都不排在第一位，则剩下3人有1人排在第一位，则有CAA种排法，此时故共有CA＋CAA＝84种排法.故概率p＝＝.
二、填空题
7.(2020·宜昌模拟)下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________.
答案　
解析　2位男同学记为男1，男2，则三位同学依次走出教室包含的样本点有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6种，其中第2位走出的是女同学包含的样本点有2种.
故第2位走出的是女同学的概率是p＝＝.
8.(2021·长沙调研)2020年国庆档上映的影片有《夺冠》，《我和我的家乡》，《一点就到家》，《急先锋》，《木兰·横空出世》，《姜子牙》，其中后两部为动画片.甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________.
答案　
解析　甲观看了六部中的两部共有C＝15种，乙观看了六部中的一部共有C＝6种，则甲、乙两人观影共有15×6＝90种，则甲、乙两人观看同一部动画片共有C·C＝2×5＝10种，所以甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为p＝＝.
9.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.如图，若拨珠的三档从左至右依次定位：百位档、十位档、个位档，则表示数字518.若在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被5整除的概率为________.

答案　
解析　所拨数字共有CC＝24种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0，当个位数字为5时，则个位档拨一颗上珠，其他三档选择两个档位各拨一颗下珠，有C＝3种；当个位数字为0时，则个位档不拨珠，其他三档选择一档位拨一颗上珠，再选择两个档位各拨一颗下珠，有CC＝9种，所以所拨数字能被5整除的概率为＝.
三、解答题
10.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.

(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？
(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.
解　(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为30×＝2，女生人数为45×＝3.
则从5人中任意选取2人共有C＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C＝3种，则至少有一名男生有C－C＝7种.故至少有一名男生的概率为p＝，即选取的2人中至少有一名男生的概率为.
11.某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.
解　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.则P(B)＝＝，P(C)＝＝.
由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，故所求事件的概率为.
B级　能力提升
12.(2021·合肥模拟)现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群(包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”)旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　四名学生从四个地方共有4×4×4×4＝256种情况，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分组再排列共有C×A＝6×4×3×2＝144种，所以恰有一个地方未被选中的概率为＝.
13.我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第Ⅰ专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是________(结果用最简分数表示).
答案　
解析　将5位同学根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业，所有的不同分配方式有3×3×3×3×3＝243种，三个专业都有我校学生的情况有A＝150种不同分配方式，三个专业都有我校学生的概率＝.
14.(2020·海南模拟)为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5 000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5 000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图，如图所示.

(1)求出频率分布直方图中的a值和这200人的平均年龄；
(2)从第2，3，5组中用分层随机抽样的方法抽取12人，并再从这12人中随机抽取3人进行电话回访，求这三人恰好属于不同组别的概率；
(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为购买力强人群与年龄有关？
附：
α
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d
解　(1)由题意得：(2×0.01＋0.015＋0.03＋a)×10＝1，所以a＝0.035，200人的平均年龄为：20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5；
(2)依题意按照分层抽样从第2组中抽取3人，第3组中抽取7人，第5组中抽取2人；再从这12人中抽取3人一共有C种结果；其中这三人恰好来自不同组别有CCC种结果，故这三人恰好属于不同组别的概率p＝＝.
(3)零假设为H0：购买力强人群与年龄无关，由题意可得2×2列联表为：

购买力强人群
购买力弱人群
合计
青少年组
100
20
120
中老年组
60
20
80
合计
160
40
200
故χ2＝＝≈2.083＜6.635＝x0.010.
所以根据小概率值α＝0.010的独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为购买力强人群与年龄有关联.