2016江苏省南通、泰州、扬州、淮安高三第二次模拟考试数学试卷(含答案).doc

南通市、泰州市、扬州市、淮安市2016届高三第二次调研测试
数学Ⅰ

注意事项
1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
参考公式：
棱锥的体积公式：，其中S为棱锥的底面积，h为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.
开始
k0
k > 9
k
输出k
结束
Y
N
1. 设复数z满足（i为虚数单位），则复数z的实部为 .
2. 设集合，则实数a的值为 .
3. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 .
（第3题）
4. 为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如下表：
使用寿命
[500，700)
[700，900)
[900，1100)
[1100，1300)
[1300，1500)
只数
5
23
44
25
3
根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100 h的灯泡只数是 .
-3
-2
O
x
y

（第6题）
5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力. 某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 .
6. 已知函数的图象如图所示，则a+b的值是 .
7. 设函数，当且仅当时，y取得最大值，则正数的值为 .
8. 在等比数列中，，公比. 若成等差数列，则的值是 .
9. 在体积为的四面体ABCD中，AB平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为 .
10. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(-2，0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为 .
A
B
m
n
C
（第12题）
11. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的，满足f(x+2)=f(x). 若当时，，则函数y=f(x)-1在区间[-2, 4]上的零点个数为 .
12. 如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3. 点B，C分别在m，n上，，则的最大值是 .
13. 设实数x，y满足，则的最小值是 .
14. 若存在，使得，则实数t的取值范围是 .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分14分）
在斜三角形ABC中，.
（1）求C的值；
（2）若，求△ABC的周长.

A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
P
M
N
（第16题）
16. （本小题满分14分）
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点.
求证：（1）AP∥平面C1MN；
（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN .

17. （本小题满分14分）
植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m的围墙. 现有两种方案：
方案① 多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90º），如图1所示，其中AE+EB=30 m；
方案② 多边形为等腰梯形AEFB（AB>EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10 m.
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案.

A
E
B
图1
A
E
B
图2
F
（第17题）

18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为. A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足.
（1）若点P的坐标为，求椭圆的方程；
（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且，直线OA，OB的斜率之积为，求实数m的值.
（第18题）

19. （本小题满分16分）
设函数，其中k是实数.
（1）设k=0，解不等式；
（2）若k≥0，求关于x的方程实根的个数.

20. （本小题满分16分）
设数列{an}的各项均为正数，{an}的前n项和.
（1）求证：数列{an}为等差数列；
（2）等比数列{bn}的各项均为正数，，且存在整数，使得.
（i）求数列{bn}公比q的最小值（用k表示）；
（ii）当时，，求数列{bn}的通项公式.
2016届高三第二次调研测试数学试题1参考答案

一、填空题：
1. 【答案】
【解析】因为，所以z的实部为.
2. 【答案】1
【解析】∵，∴，∴或，解得. 经检验当时，符合题意.
3. 【答案】17
【解析】当k=0时，循环结果为k=1；继续循环，结果k=3；继续循环，结果k=17. 退出循环，输出k的值.
4. 【答案】1400
【解析】使用寿命不低于1100h指的是使用寿命在[1100, 1300)和[1300，1500)范围之内，故使用寿命不低于1100h的灯泡数量估计是.
5. 【答案】
【解析】从5个主题中选择2个主题作答，共有10种结果，其中“立德树人”主题被选中的结果有4种，故“立德树人”主题被选中的概率=.
6. 【答案】
【解析】∵函数f(x)的图象经过点(-3，0)和点(0，-2)，∴有解得∴a+b=.
7. 【答案】2
【解析】∵且仅当时y取最大值，∴最大值为1，且，解得. 又∵仅当时y取最大值，∴函数周期满足：，即，即，∴.
8. 【答案】
【解析】∵成等差数列，∴，即，解得，∵，∴，∴.

9. 【答案】
【解析】由题意知四面体ABCD的体积，∴.
又且BC=2，BD=3，∴，∴或， 由余弦定理得或19，故或.
P
T
R
S
10. 【答案】4
【解析】如图，连接OT，∵OT=1，OP=2，∴∠TPO=30º，
∴直线PT方程为：，即.
又，且PT=RS，∴，
由弦长公式可知，圆心到直线PT的距离d为，
又∵，∴.
11. 【答案】7
【解析】由f(x+2)=f(x)知f(x)是以2为周期的周期函数，函数y=f(x)-1的零点个数由y=f(x)与y=1的交点个数确定. 画出函数y=f(x)在区间[-2, 4]上的图象，与直线y=1有7个交点，故函数y=f(x)-1有7个零点.

y=1

12. 【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
m
n

其中，A(0，3)，设B(b，2)，C(c，0)，则，，由知，，化简得，由得.
∴，当且仅当b=c时取最大值.
13. 【答案】
【解析】令，则，所以则.
14. 【答案】
【解析】令，当时，. 当时，由得，故，即存在，使得成立，
利用导数知识可得为上的单调增函数，所以，
为上的单调减函数，所以，从而.

二、解答题：
15. 【解答】解：（1）因为，即，
因为在斜三角形ABC中，， …………………………1分
所以， …………………………4分
即，亦即，因为，所以. …………6分
（2）在△ABC中，，则.
由正弦定理，得， …………9分
故，…………12分
，
所以△ABC的周长为. ……………………14分

A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
P
M
N
(第16题)
16. 【解答】证明：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM=PC1.又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，所以四边形AMC1P为平行四边形. 从而AP∥C1M. …………4分
又平面，平面，所以AP∥平面. ……………………6分
（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD.
又M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC. 所以MN⊥BD. ………8分
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN平面ABCD，
所以DD1⊥MN. ……………………10分
而DD1∩DB=D，DD1，DE平面BDD1B1，所以MN⊥平面BDD1B1.……12分
又MN平面C1MN，所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.…………………14分

17. 【解答】解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S1，S2.
方案① 设AE=x，则 …………………… 3分
(当且仅当x=15时，“=”成立). …………………… 5分
方案② 设∠BAE=θ，则. …………………… 8分
由得，（舍去）. ………………… 10分
因为，所以，列表：

+
0
-

↗
极大值
↘
所以当时，， ……………… 12分
因为，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE=.
答：方案①，②苗圃的最大面积分别为，建苗圃时用方案②，且∠BAE=.
……………… 14分

18. 【解答】解：（1）因为，则，所以.
代入椭圆方程，得， ① ………………… 2分
又椭圆的离心率为，所以. ② ………………… 4分
由①②，得a2=2，b2=1，故椭圆的方程为. ………………… 6分
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3). 因为，所以P(-2x1，-2y1).
因为，所以(-2x1-x2，-2y1-y2)=m(x3-x2，y3-y2)，
即于是 ……………… 9分
代入椭圆方程，得，
即. ③ ……………… 12分
因为A，B在椭圆上，所以. ④
因为直线OA，OB的斜率之积为，即，结合②知. ⑤ ………… 14分
将④⑤代入③，得，解得. ……………… 16分

19. 【解答】解：（1）k=0时，. 由得. ………… 2分
此时，原不等式为，即，
解得或. 所以原不等式的解集为. ………… 5分
（2）由方程得：. ①
由得，所以，.
方程①两边平方，整理得. ② ………… 7分
当时，由②得，所以原方程有唯一解.
当时，由②得判别式△，
i）时，△=0，方程②有两个相等的根，所以原方程有唯一的解. ………… 10分
ii）且时，方程②整理为，
解得，.
由于△>0，所以，其中，，即.
故原方程有两解. ………… 14分
iii）时，由ii）知，即，故不是原方程的解.
而，故原方程有唯一解.
综上所述：当或时，原方程有唯一解；
当且时，原方程有两解. ………… 16分
注：ii）中，法2：故方程②两实根均大于k，所以原方程有两解.

20. 【解答】证明：（1）因为， ①
所以 ②
①-②，得， …………………… 2分
因为数列{an}的各项均为正数，所以.
从而，
所以数列{an}为等差数列. …………………… 4分
（2）（I）①中，令n=1，得a1=1，所以an=2n-1，Sn=n2.
由得，，
所以， ③
由得，，即， ④
当n=k时，④恒成立.
当n≥k+1时，④两边取自然对数，整理得：. ⑤
设，则，
记，，则，
故为（0，1）上增函数，所以，从而，
故为上减函数，从而的最大值为.
⑤中，，解得. …………………… 10分
当时，同理有，
所以公比q的最小值为（整数k≥2）. …………………… 12分
（Ⅱ）依题意，.
由（2）知，（整数k≥2），
所以，，
从而，
当q=2时，，只能k=3，此时，不符；
当q=3时，，只能k=2，此时，不符；
当q=4时，，只能k=2，此时，符合.
综上，. ………………………… 16分
数学Ⅰ卷 第12页（共12页）