专题跟踪检测(二)-三角恒等变换、解三角形.doc

专题跟踪检测（二） 三角恒等变换、解三角形
1．若lg tan α＝1，log3tan β＝2，则tan(α－β)＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
解析：选B　因为lg tan α＝1，log3tan β＝2，所以tan α＝10，tan β＝32＝9，
所以tan(α－β)＝＝＝.
2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为(　　)
A．－ B.
C．－3 D．3
解析：选D　由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝3.
3．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(　　)
A. B.
C．6 D．5
解析：选B　因为sin A＝6sin B，由正弦定理可得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝62＋12－2×6×1×，解得c＝.
4．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　∵α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，两边平方后得：1＋2sin αcos α＝，即sin αcos α＝－，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α＝，cos α＝，则cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　　)
A．cos C＝ B．sin B＝
C．a＝3 D．S△ABC＝
解析：选AD　∵A＋3C＝π，∴B＝2C，根据正弦定理＝，得2sin C＝3×2sin Ccos C，
又sin C≠0，∴cos C＝.A正确．
易知sin C＝，∴sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝.B错误．
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
化简得到a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1，
若a＝3，则A＝C＝，故B＝，不满足题意，故a＝1.C错误．
S△ABC＝absin C＝×1×2×＝.D正确．故选A、D.
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，B＝，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　在△ABC中，a＝2，b＝3，B＝，由正弦定理＝，可得sin A＝＝，因为a＜b，所以A＜B，所以cos A＝＝，所以sin＝－sin A＋cos A＝－×＋×＝.
7．已知cos＝－(0＜α＜π)，则＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选A　∵cos＝－，∴sin α－cos α＝，将两边同时平方，得sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，2sin αcos α＝＞0.又0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＞0，∴sin α＋cos α＝＝＝.又cos＝sin 2α＝2sin αcos α＝，
∴＝＝，故选A.
8．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为(　　)

A．65米 B．74米
C．83米 D．92米
解析：选B　设AC的高度为x，则由已知可得AB＝3x，BC＝BE＝2x，BD＝＝3x，所以DE＝BD－BE＝3x－2x＝79，解得x＝≈24.7，所以楼高AB≈3×24.7＝74.1≈74(米)．
9．△ABC中，已知AC＝，∠ABC＝60°，AB＜BC，且△ABC的面积为3，则AB边上的高等于(　　)
A．2 B.
C. D．2
解析：选A　如图所示，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，AB边上高为h，由面积公式得S＝acsin B＝ac×＝3，所以ac＝12，又cos B＝＝＝，所以a2＋c2＝25，又因为AB＜BC，即c＜a，所以a＝4，c＝3，所以h＝asin B＝4×＝2.
10．(多选)(2021·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，S△ABC＝2，且ccos B＋bcos C－2acos A＝0，则有(　　)
A．A＝ B．C＝
C．a＝ D．c＝2
解析：选AB　由正弦定理知，ccos B＋bcos C－2acos A＝0可化为sin Ccos B＋sin Bcos C－2sin Acos A＝0，即sin(B＋C)－2sin Acos A＝0，因为sin(B＋C)＝sin A，且sin A＞0，所以cos A＝.又0＜A＜π，所以A＝.由b＝2，S△ABC＝bcsin A＝2，得c＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋42－2×2×4×＝12，所以a＝2.由正弦定理得＝，则sin C＝＝＝1，又C∈(0，π)，所以C＝.故选A、B.
11．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b＜4，c＝7，且满足(2a－b)cos C＝c·cos B，则下列结论正确的是(　　)
A．C＝60° B．△ABC的面积为6
C．b＝2 D．△ABC为锐角三角形
解析：选AB　∵(2a－b)cos C＝ccos B，∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，∴2sin Acos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即2sin Acos C＝sin(B＋C)，∴2sin Acos C＝sin A．∵在△ABC中，sin A≠0，∴cos C＝，∴C＝60°，A正确．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，得49＝64＋b2－2×8bcos 60°，即b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5，又b＜4，∴b＝3，C错误．∴△ABC的面积S＝absin C＝×8×3×＝6，B正确．又cos A＝＝＜0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b2＋c2－a2＝bc，a＝，则b＋c的取值范围是(　　)

解析：选B　由b2＋c2－a2＝bc及a＝，得＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－，所以b＋c≤.又b＋c＞a＝，所以＜b＋c≤.故选B.
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，a－c＝2，A＝，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∵b＝3，a－c＝2，A＝，
∴(c＋2)2＝32＋c2－2×3c×，解得c＝5，
则△ABC的面积为
S＝bcsin A＝×3×5×＝.
答案：
14．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
解析：∵＝＝3，∴tan α＝2.
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－＝.
答案：
15．(2022届·长沙质检)如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”．设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________ m2.

解析：在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，
∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos∠AOB，即AB＝100，
∴SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝·OA·OB·sin θ＋AB2＝1002，令tan φ＝2，则SOACB＝
∴“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10 000＋25 000)m2.
答案：10 000＋25 000
16．设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，则＝______；tan B的最大值为________．
解析：由正弦定理可得＝·＝·，再结合余弦定理可得＝·＝··＝.由a2＋2b2＝c2，得＝＝－3.由已知条件及大边对大角可知0＜A＜＜C＜π，从而由A＋B＋C＝π可知tan B＝－tan(A＋C)＝－＝－＝，因为＜C＜π，所以＋(－tan C)≥2＝2(当且仅当tan C＝－时取等号)，从而tan B≤＝，即tan B的最大值为.
答案：－3