第45讲-解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题(原卷版).docx

第45讲 解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题
一．解答题（共24小题）
1．（2021•常熟市校级期中）已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．椭圆上有两个不同的点，关于直线对称
（1）求椭圆的方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）求面积的最大值为坐标原点）．

2．（2021•扶沟县校级模拟）设椭圆中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于、两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

3．（2021•江北区校级模拟）过抛物线的对称轴上一点，的直线与抛物线相交于，两点，自，向直线作垂线，垂足分别为，．
（1）当时，求证：；
（2）记，△，的面积分别为，，，是否存在，使得对任意的，均有成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

4．（2021春•武陵区校级月考）如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记，的面积为，．
（1）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；
（2）求的最小值及此时点的坐标．

5．（2021•上城区校级期中）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上．
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求证：直线与直线的倾斜角互补；
（3）当时，求面积的最大值．

6．（2021•浙江月考）如图，已知抛物线与圆有四个不同的公共点，，，．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

7．（2021春•浙江期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点与抛物线的焦点重合，且抛物线经过点，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）已知直线与抛物线交于、两点，与椭圆交于、两点，且直线平分，求首尾顺次连结、、、四点所得图形的面积的取值范围．
8．（2021•麒麟区校级模拟）已知椭圆的短轴端点与抛物线的交点重合，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）设是抛物线准线上的一个动点，过作抛物线的切线，，，为切点．
（ⅰ）求证：直线经过一个顶点；
（ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，椭圆的下顶点为，求面积的最大值．
9．（2021•浙江模拟）已知椭圆和抛物线，点为第一象限中抛物线上的动点，过作抛物线的切线分别交轴、轴于点、，为抛物线的焦点．
（Ⅰ）求证：平分；
（Ⅱ）若直线与椭圆相切于点，求面积的最小值及此时的值．

10．（2021•菏泽二模）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且过点（1，）．抛物线C2：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3＝0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点．
（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；
（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．

11．（2021•安徽）如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与，分别交于、两点，与、分别交于、两点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）过作直线（异于，与、分别交于、两点．记△与△的面积分别为与，求的值．

12．（2021•柯桥区期末）如图，，为椭圆的左、右焦点．点满足：延长，分别交椭圆于，两点，且的重心在椭圆．直线交于点．
（1）若，是椭圆长轴的两个端点，求直线，的斜率之积；
（2）设△，的面积分别为，，求的最小值．

13．（2021•浙江模拟）已知点为抛物线的焦点，点，点为抛物线上的动点，直线截以为直径的圆所得的弦长为定值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图，直线交轴于点，抛物线上的点满足的中垂线过点且直线不与轴平行，求的面积的最大值．

14．（2021•闵行区校级模拟）已知点为抛物线的焦点，点，点为抛物线上的动点，直线为常数）截以为直径的圆所得的弦长为定值．
（1）求焦点的坐标；
（2）求实数的值；
（3）若点，过点的直线交抛物线于另一点，的中垂线过点，求的值和的面积．
15．（2021•江苏）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求△的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标．

16．（2021•广东月考）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．

17．（2021•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
18．（2021•浙江模拟）已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点．
（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由．

19．（2021春•浙江月考）如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，过点作抛物线的切线与轴相交于点，直线交抛物线另一点为，线段交轴于点．记，的面积分别为，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求的最小值．

20．（2021•浙江月考）设抛物线的焦点为，，，，为抛物线上的两点不经过焦点，且直线斜率存在，若的中垂线恰好经过．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的中垂线交轴于点，求面积与面积之和的最大值．

21．（2021•温州模拟）如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于，和，（其中，在轴的上方），交轴于点．
（Ⅰ）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；
（Ⅱ）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程．

22．（2021•浙江模拟）如图，已知椭圆，离心率为，，，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，为△的内心，连接，延长交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设△，△的面积分别为，，求的取值范围．

23．（2012秋•三元区校级月考）已知椭圆的离心率，直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆，圆心为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当圆与轴相切的时候，求的值；
（Ⅲ）若为坐标原点，求面积的最大值．
24．（2021•绍兴期中）已知椭圆和抛物线，点为的左焦点，点为的焦点．
（Ⅰ）过点的直线与相切于点，若，求抛物线的方程．
（Ⅱ）过点的直线交于，两点，点满足为坐标原点），且点在线段上．记的面积为，的面积为，求的取值范围．