2020北京初二(上)期中数学汇编：勾股定理的逆定理.docx

2020北京初二（上）期中数学汇编
勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（2020·北京四中八年级期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，3，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6
2．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）．
A．2，2，3 B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，2，3
3．（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）下列线段不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3
C．a＝1，b＝1，c＝2 D．a＝2，b＝3，c＝6
4．（2020·北京市第十三中学分校八年级期中）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（       ）
A．3，4，5 B．6，8，9 C．1，2，7 D．5，12，14
5．（2020·北京·北外附中八年级期中）下列命题中正确的是（　　）
A．在直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2＝c2，则∠A＝90°
D．在△ABC中，若a＝3，b＝4，则c＝5
6．（2020·北京八中八年级期中）有公共边的两个直角三角形，称为“双生直角三角形”.下列给定的数组中，不能构成“双生直角三角形”边长的是（       ）
A．3，4，5，12，13 B．3，4，5，3，5
C．7，15，20，24，25 D．5，6，8，10，53
7．（2020·北京市第四十四中学八年级期中）下列线段不能组成直角三角形的是（            ）
A．a=6，b = 8，c=10 B．a=1，b=2，c=3
C．a=7，b=24，c=25 D．a=2，b=3，c=6
8．（2020·北京铁路二中八年级期中）下列线段不能组成直角三角形的是（        ）．
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝1，b＝2，c＝3
C．a＝2，b＝3，c＝4 D．a＝7，b＝24，c＝25
9．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图，在ΔABC中，D是BC上一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为（       ）

A．14 B．13 C．12 D．9
10．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期中）下列长度的三条线段，能成为一个直角三角形的三边的一组是（　　）
A．3,4,5 B．1，2，3 C．2，4，6 D．9，16，25
11．（2020·北京·北师大二附中海淀学校八年级期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，2， 3
二、填空题
12．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）图中每个小方格的边长是l，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是_____．

13．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB-∠DCE=______°（点A、B、C、D、E是网格线交点）．

三、解答题
14．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？

15．（2020·北京八中八年级期中）如图，每个小正方形的边长都是1.A、B、C、D均在网格的格点上.
（1）直接写出四边形ABCD的面积与BC、BD的长度；
（2）∠BCD是直角吗？请说出你的判断理由.
（3）找到一个格点E，并画出四边形ABED，使得其面积与四边形ABCD的面积相等.
解：（1）SABCD=___________；BC=___________；BD=___________.
（2）判断___________（填“是”或“否”）
理由_________________________________________________;
（3）在图中画出一个满足条件的四边形ABED.

16．（2020·北京市第十三中学分校八年级期中）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）直接写出四边形ABCD的面积和周长；
（2）求证：∠BCD=90°．

17．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）若△ABC的三边长a、b、c满足6a+8b+10c﹣50=a2+b2+c2，试判断△ABC的形状．

参考答案
1．A
【分析】
根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵12+（3）2＝22
∴以1，3，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
C、∵22+32≠42
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
D、∵42+52≠62
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．
2．A
【分析】
欲判断是否能构成直角三角形，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】
A、22+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，此选项不合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、12+(2)2＝(3)2，能构成直角三角形，此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，注意题干要求找出不能构成直角三角形的选项，不要弄错了．
3．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵62+82＝102，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵12+（2）2＝（3）2，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵12+12＝（2）2，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵22+32≠（6）2，∴不能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．A
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、∵32+42＝52，∴能构成直角三角形，故本选项正确；
B、∵62+82≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+22≠（7）2，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵52+122≠142，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
5．B
【分析】
根据勾股定理逐一判断每个选项即可得出答案.
【详解】
解：A、在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，原命题是假命题；
B、如果一个三角形两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题；
C、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠C＝90°，原命题是假命题；
D、在Rt△ABC中，若a=3，b=4，则c=5，原命题是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理，也就是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，注意区分直角边和斜边.
6．B
【分析】
根据“双生直角三角形”的定义逐一进行判断即可．
【详解】
A.32+42=52,52+122=132，有公共边，故该选项不符合题意；
B. 32+42=52，而3,5与3，4，5中任一个数都不满足勾股定理，所以不能构成直角三角形，故该选项符合题意；
C. 152+202=252,72+242=252，有公共边，故该选项不符合题意；
D. 62+82=102,52+(53)2=102，有公共边，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查“双生直角三角形”的定义和勾股定理，掌握“双生直角三角形”的定义和勾股定理是解题的关键．
7．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可.
【详解】
解：A.∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故该选项错误；
B.∵12+(2)2=(3)2，∴能构成直角三角形，故该选项错误；
C.∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故该选项错误；
D.∵22+(6)2≠32，∴不能构成直角三角形，故该选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理. 即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
8．C
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项逐一分析即可解答．
【详解】
解：A、32+42=52，.能组成直角三角形；
B、12+（2）2=（3）2，能组成直角三角形；
C、22+32≠42：不能组成直角三角形；
D、72+242=252，：能组成直角三角形．
故选C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形是解答本题的关键．
9．A
【分析】
根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，再根据勾股定理求出BD即可．
【详解】
解：∵AC＝13，AD＝12，CD＝5，
∴AD2＋CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD＝AB2-AD2=152-122=9，
∴BC＝BD＋CD＝9＋5＝14，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理求出∠ADC＝90°是解此题的关键．
10．B
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、∵（3）2+（4）2≠（5）2，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12+（3）2=22，∴能构成直角三角形，故本选项正确；
C、∵22+（6）2≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
11．B
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、12+22=3≠32，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
12．5或21．
【分析】
根据勾股定理得出AB，CD的长度，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】
解：AB＝32+22=13，CD＝22+22=22，
当EF为斜边时，EF＝AB2+CD2=21，
当EF是直角边时，EF＝AB2-CD2=5，
故答案为：5或21．
【点睛】
此题主要考查勾股定理和逆定理，熟练利用定理和逆定理解直角三角形是解题关键．
13．45
【分析】
如图作辅助线，证明△AHC是等腰直角三角形，△AFH≌△CDE，得到∠HAC＝45°，∠FAH＝∠DCE，然后根据平行线的性质求出∠FAC＝∠ACB，将∠ACB－∠DCE转化为∠FAC－∠FAH＝∠HAC进行计算即可．
【详解】
解：如图所示作辅助线，点F、H均在格点上，设一小格为1，
由勾股定理得：AH＝CH＝CE＝12+22=5，AC＝12+32=10，
∴AH2＋CH2＝AC2，
∴△AHC是等腰直角三角形，∠HAC＝45°，
又∵AF＝CD＝2，FH＝DE＝1，
∴△AFH≌△CDE，
∴∠FAH＝∠DCE，
∵AF∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB，
∴∠ACB－∠DCE＝∠FAC－∠FAH＝∠HAC＝45°，
故答案为：45．

【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，通过作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
14．（1）54；（2）△ABC不是直角三角形．
【分析】
（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可；
（2）运用勾股定理逆定理判定即可．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16
∴AB=AD2+BD2=122+162=20
同理：AC=AD2+CD2=122+52=13
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；
（2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169
∴BC2≠AB2+ AC2
∴△ABC不是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
15．（1）14，29，42；（2）否，CD2+BC2≠BD2 ；（3）见解析．
【分析】
（1）利用矩形的面积减去三个三角形和一个梯形的面积即可求出四边形ABCD的面积，然后利用勾股定理即可求出BC,BD的长度；
（2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）只要找到点E，使△BDE与△BDC面积相等即可．
【详解】
（1）SABCD=5×5-12×5×1-12×3×1-12×(1+3)×1-12×5×2=14，
BC=52+22=29，BD=42+42=42；
（2）∠BCD不是直角，理由如下：
CD=22+12=5 ，
∵CD2+BC2≠BD2 ，
∴∠BCD不是直角；
（3）如图，

【点睛】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，平行线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
16．（1）四边形ABCD的面积为14.5，四边形ABCD的周长是26+35+17；（2）证明见解析．
【分析】
（1）用四边形ABCD所在长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形ABCD的面积；利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD，即可求得四边形ABCD的周长；
（2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可证明；
【详解】
（1）四边形ABCD的面积=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；
由勾股定理得AB=52+12=26，BC=42+22=25，CD=22+12=5，AD=42+12=17，
故四边形ABCD的周长是26+25+5+17=26+35+17；
（2）连接BD．
∵BD2=32+42=25，BC2+CD2=20+5=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°．

【点睛】
本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．见解析
【分析】
把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．
【详解】
∵6a+8b+10c﹣50=a2+b2+c2，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）=0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，（c﹣5）2≥0，
∴a﹣3=0，得a=3；
b﹣4=0，得b=4；
c﹣5=0，得c=5．
又∵52=32+42，即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
10 / 10