2019北京二中初三(下)第二次月考数学(教师版).docx

2019北京二中初三（下）第二次月考
数 学
一．选择题
1. 已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）
A. B. C. D. 4x=3y
2. 下列交通标志是中心对称图形的为（　　）
A. B. C. D.
3. 二次函数的对称轴是
A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴
4. 在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（　　）
A. B. C. D. 3
5. 点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是( )
A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ±2
6. 如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在

A. 点上 B. 点上 C. 点上 D. 点上
7. A，B是⊙O上的两点，OA＝1，的长是 ，则∠AOB的度数是（　　）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
8. 如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（ ）

A. B. C. D.
二．填空题
9. 写出一个经过点(1，﹣2)的函数的表达式，所写的函数的表达式为_____．
10. 如图，在平面直角坐标系中，△DEF是由△ABC旋转得到的，则旋转的角度是_____°.

11. 如图，已知AB是⊙O直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.

12. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．

13. 如图，将一副三角板中含有30°角的三角板的直角顶点落在等腰直角三角形的斜边的中点D处，并绕点D旋转，两直角三角板的两直角边分别交于点E，F，下列结论：①DE=DF；②S四边形AEDF=S△BED+S△CFD；③S△ABC=EF2；④EF2=BE2+CF2，其中正确的序号是_____．

14. 一名身高为1.6m的同学的影长为1.2m，同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是_____m．
15. 在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则估计口袋中白球大约有_____个．
三．解答题
16. 如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．

（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
17. 计算：sin45°﹣|﹣3|+（2018﹣）0+（）﹣1
18. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．
求证：(1)△ADF∽△EDB；
(2)CD2＝DE•DF．

19. 在直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0)．
(1)请在图中画出△ABC的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形△A′B′C′(要求与△ABC同在P点一侧)；
(2)请直接写出点B′及点C′的坐标；
(3)求线段BC对应线段B′C′所在直线的解析式．

20. 如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度，拱形的半径R＝30m，则拱形的弧长为______．

21. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．

22. 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标．

23. 如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．

24. 如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D．

（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由．
25. 如果一个函数的图象关于y轴对称，我们就称这个函数为偶函数．
（1）按照上述定义判断下列函数中，_____是偶函数．
．y＝3x ．y＝x+1 ．y= ．y＝x2
（2）若二次函数y＝x2+bx﹣4是偶函数，该函数图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，求△ABP的面积．
26. 抛物线y＝﹣x2与直线y＝kx﹣2k+3交于A，B两点，若∠AOB＝90°，求k值．

27. 已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．

28. 已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE＝OE；
（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．

参考答案
一．选择题
1. 已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）
A. B. C. D. 4x=3y
【答案】B
【详解】【分析】根据比例的基本性质逐项进行求解即可.
【详解】A，∵，∴，此选项正确，不合题意；B，∵，∴=–，此选项错误，符合题意；C，∵，∴，此选项正确，不合题意；D，∵，∴4x=3y，此选项正确，不合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握和应用比例的性质是解题的关键.
2. 下列交通标志是中心对称图形的为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选C．
【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
3. 二次函数的对称轴是
A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴
【答案】C
【分析】根据顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，找出h即可得出答案．
【详解】解：二次函数y=x2的对称轴为y轴．
故选:C ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k）．
4. 在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（　　）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【分析】根据勾股定理和三角函数即可解答.
【详解】解：已知在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，
设a=x,则c=3x,b==2x.
即tanA==.
故选B.
【点睛】本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.
5. 点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是( )
A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ±2
【答案】D
【分析】根据点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:,然后解方程即可求解.
【详解】因为点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:
,
,
解得:,
故选D.
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.
6. 如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在

A. 点上 B. 点上 C. 点上 D. 点上
【答案】B
【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断．
【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC，
又BA=2，AC=2，
∴BA：AC=1：，
∴BP：PD=1：或BP：PD=：1，
只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2．
故选B．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键
7. A，B是⊙O上的两点，OA＝1，的长是 ，则∠AOB的度数是（　　）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
【答案】B
【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．
【详解】∵OA=1,的长是π，
∴nπ×=π，
解得：n=60°，
∴∠AOB=60°.
故答案选：B.
【点睛】本题考查的知识点是弧长的计算，解题的关键是熟练的掌握弧长的计算.
8. 如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【详解】分析：根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．
详解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，
则△PBQ的面积S=PB•BQ=（3-t）×2t=-t2+3t，
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故选C．
点睛：此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．
二．填空题
9. 写出一个经过点(1，﹣2)的函数的表达式，所写的函数的表达式为_____．
【答案】
【分析】根据一次函数的形式或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合（1，﹣2）的解析式即可得出答案．
【详解】将点（1，﹣2）反比例函数得：
解得k=-2，
∴反比例函数的表达式为：
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是求函数解析式，比较简单，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式.
10. 如图，在平面直角坐标系中，△DEF是由△ABC旋转得到的，则旋转的角度是_____°.

【答案】90.
【分析】根据网格结构，先找出对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心，那么一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角．
【详解】由图可知，A与D、B与E分别是对应点，
作出线段AD、BE的垂直平分线，得到旋转中心P的坐标为（﹣1，0），
则∠BPE=90°．
故答案为90．

【点睛】本题考查了图形的旋转变化，找出旋转中心P的坐标为（﹣1，0）是解答本题的关键.
11. 如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.

【答案】1
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，从而得出结论．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴BC=AB=，
故答案为1．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
12. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．

【答案】（－1，－2）
【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．
【详解】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：

在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD═DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2），
【点睛】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
13. 如图，将一副三角板中含有30°角的三角板的直角顶点落在等腰直角三角形的斜边的中点D处，并绕点D旋转，两直角三角板的两直角边分别交于点E，F，下列结论：①DE=DF；②S四边形AEDF=S△BED+S△CFD；③S△ABC=EF2；④EF2=BE2+CF2，其中正确的序号是_____．

【答案】①②④．
【分析】连接AD，如图，由已知条件利用ASA推导证明△DBE≌△DAF，根据全等三角形的性质可得DE=DF，由此可判断①；同①一样的道理可证明△DCF≌△DAE，由此可判断②；由S△ABC=•AD•BC=•AD•2AD=AD2，确定出只有当DE⊥AB时，四边形AEDF为矩形，此时AD=EF，由此可以判断③；在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2，再根据△DBE≌△DAF，△DCF≌△DAE，即可得到EF2=BE2+CF2，由此可判断④.
【详解】连接AD，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠B=∠C=45°，
∵点D为等腰直角△ABC的斜边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=AD，AD平分∠BAC，
∴∠2+∠3=90°，∠1=45°，
∵∠EDF=90°，即∠4+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
在△DBE和△DAF中
，
∴△DBE≌△DAF（ASA），
∴DE=DF，所以①正确；
同理可得△DCF≌△DAE，
∴S四边形AEDF=S△BED+S△CFD，所以②正确；
∵S△ABC=•AD•BC=•AD•2AD=AD2，
而只有当DE⊥AB时，四边形AEDF为矩形，此时AD=EF，
∴S△ABC不一定等于EF2，所以③错误；
在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2，
∵△DBE≌△DAF，△DCF≌△DAE，
∴BE=AF，CF=AE，
∴EF2=BE2+CF2，所以④正确，
故答案为：①②④．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和运用相关的性质与定理是解题的关键.
14. 一名身高为1.6m的同学的影长为1.2m，同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是_____m．
【答案】12
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可．
【详解】∵同一时刻物高与影长成正比例．
设旗杆的高是xm．
∴1.6:1.2＝x:9
∴x＝12．
即旗杆的高是12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，比较简单，需要熟练掌握相似三角形的性质与判定.
15. 在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则估计口袋中白球大约有_____个．
【答案】15
【分析】摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴，
解得：x=15，经检验，符合题意，
即白球的个数为15个，
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
三．解答题
16. 如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．

（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．

（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．

【点睛】本题考查作图—应用与设计作图．
17. 计算：sin45°﹣|﹣3|+（2018﹣）0+（）﹣1
【答案】1
【分析】先根据特殊角的三角函数值，绝对值的运算，零次幂和负整数指数幂分别对几项进行化简，再进行加减运算即可.
【详解】原式＝
＝1﹣3+1+2
＝1．
【点睛】本题考查特殊角的锐角函数值、绝对值的运算、零次幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.+
18. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．
求证：(1)△ADF∽△EDB；
(2)CD2＝DE•DF．

【答案】(1)见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意可得∠B+∠A=90°，∠A+∠F=90°，则∠B=∠F，从而得出△ADF∽△EDB；
（2）由（1）得∠B=∠F，再CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，得出CD=DB，根据等边对等角得∠DCE=∠F，则可证明△CDE∽△FDC，从而得，化为乘积式即可CD2=DF•DE．
【详解】证明：（1）在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°
∵DF⊥AB∴∠BDE=∠ADF=90°∴∠A+∠F=90°，
∴∠B=∠F，
∴△ADF∽△EDB；
（2）由（1）可知△ADF∽△EDB∴∠B=∠F，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线∴CD=AD=DB，∴∠DCE=∠B，∴∠DCE=∠F，
∴△CDE∽△FDC，∴=，
∴CD2=DF•DE．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
19. 在直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0)．
(1)请在图中画出△ABC的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形△A′B′C′(要求与△ABC同在P点一侧)；
(2)请直接写出点B′及点C′的坐标；
(3)求线段BC的对应线段B′C′所在直线的解析式．

【答案】(1)见解析；(2)B′(0，6)，C′(3，0)；(3)y＝﹣2x+6．
【分析】（1）根据画位似图形的一般步骤和相似比找出图形；
（2）根据相似比和相似三角形的性质求出点B′及点C′的坐标；
（3）运用待定系数法求出一次函数解析式．
【详解】解：(1)如图△A′B′C′即为所求；
(2)∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1：3，
∴B′(0，6)，C′(3，0)；
(3)设B′C′所在直线的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴B′C′所在直线的解析式y＝﹣2x+6．

【点睛】本题考查的知识点是作图-图形变换，解题关键是注意画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20. 如图所示，有一圆弧形桥拱，拱跨度，拱形的半径R＝30m，则拱形的弧长为______．

【答案】20πm
【分析】要求弧长，只要求出圆心角即可根据弧长公式计算．
【详解】如图，过点O作OC⊥AB于点C，
则AC=BC=AB=15，
在直角△AOC中，OA=30m，AC=15m，
∴sin∠AOC=，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴弧长l==20π（m），
故答案为20πm．

【点睛】本题考查了弧长的计算、垂径定理、解直角三角形等，正确记忆弧长公式，正确利用垂径定理求出圆心角，是解题的关键．
21. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．

【答案】学校旗杆的高度为10米．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比，因而作DE⊥AB于点E，则AE与DE的比值，即同一时刻物高与影长的比值，即可求解．
【详解】作DE⊥AB于点E．
根据题意得：，
，
解得：AE=8米．
则AB=AE+BE=8+2=10（米）．

答：学校旗杆的高度为10米．
【点睛】同一时刻物高与影长成正比，是在相似部分经常出现的问题，直角梯形的问题可以通过作高线转化为三角形的问题求解．
22. 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标．

【答案】（1）y=，y=x+6；（2）；（3）（，2）或（，2）．
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分情形分别讨论求解即可解决问题；
【详解】解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y=的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y=图象上，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y=-x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，

∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y=x，
∴G（，1），A（ ，4），
∴AG=4-1=3，
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=×3×3=．
（3）①当∠AOE=90°时，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线OE解析式为y=x，
当y=2时，x=-，
∴E（-，2）；
②当∠OAE=90°时，可得直线AE的解析式为y=-x+，
当y=2时，x=，
∴E（，2）．
综上所述，满足条件的E的坐标为（-，2）或（，2）．
【点睛】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
23. 如图是一副扑克牌中三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．

【答案】
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为2，
所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
24. 如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D．

（1）如果BE=15，CE=9，求EF长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由．
【答案】（1） （2）证明见解析（3）F在直径BC下方的圆弧上，且
【分析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；
（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF；
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得，又由AB=BC，即可证得CD=CE；
（3）由CE=CD，可得BC= CD=CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且.
【详解】（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．
∴∠BCE=90°，
又∵BC为直径，
∴∠BFC=∠CFE=90°，
∵∠FEC=∠CEB，
∴△CEF∽△BEC，
∴，
∵BE=15，CE=9，
即：，
解得：EF= ；
（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠FCD，
同理：∠AFB=∠CFD，
∴△CDF∽△BAF；
②∵△CDF∽△BAF，
∴，
又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△BCF，
∴，
∴，
又∵AB=BC，
∴CE=CD；
（3）解：∵CE=CD，
∴BC=CD=CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE=，
∴∠CBE=30°，
故 为60°，
∴F在直径BC下方的圆弧上，且．

【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
25. 如果一个函数的图象关于y轴对称，我们就称这个函数为偶函数．
（1）按照上述定义判断下列函数中，_____是偶函数．
．y＝3x ．y＝x+1 ．y= ．y＝x2
（2）若二次函数y＝x2+bx﹣4是偶函数，该函数图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，求△ABP的面积．
【答案】（1）D；（2）8.
【分析】（1）根据对称性进行判断；
（2）根据偶函数的定义，知二次函数的对称轴是y轴，则其中的b＝0，从而进一步求得点A、B、P的坐标，根据三角形的面积公式即可求出该三角形的面积．
【详解】解：（1）A、y＝3x是经过一、三象限的直线，其对称轴不是y轴，则不是偶函数；
B、y＝x+1是经过一、二、三象限的直线，其对称轴不是y轴，则不是偶函数；
C、是在一、三象限的双曲线，其对称轴不是y轴，则不是偶函数；
D、y＝x2是关于y轴对称的抛物线，则是偶函数．
故答案为D．
（2）∵二次函数y＝x2+bx﹣4是偶函数，
∴其对称轴是y轴，则b＝0．
即二次函数y＝x2﹣4．
则A（﹣2，0），B（2，0），P（0，﹣4），
则△ABP的面积＝×4×4＝8．
【点睛】此题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，能够根据新定义进行分析求解．
26. 抛物线y＝﹣x2与直线y＝kx﹣2k+3交于A，B两点，若∠AOB＝90°，求k的值．

【答案】
【分析】将y＝kx﹣2k+3代入y＝x2，得x2﹣kx+2k﹣3＝0，根据二次函数图象上点的坐标特征以及根与系数的关系得出y1＝x12，y2＝x22，x1•x2＝4k﹣6，那么y1•y2＝k2﹣3k+，当∠AOB＝90°时，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，证明△AOM∽△OBN，根据相似三角形对应边成比例得出y1•y2＝﹣x1•x2，依此列出关于k的方程，求出k的值即可．
【详解】解：将y＝kx﹣2k+3代入y＝x2，得x2﹣kx+2k﹣3＝0，
设抛物线y＝﹣x2与直线y＝kx﹣2k+3交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴y1＝x12，y2＝x22，x1•x2＝4k﹣6，
∴y1•y2＝（x12）•（x22）＝（x1•x2）2＝（4k﹣6）2＝4k2﹣6k+9
当∠AOB＝90°时，如图：
，
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．
在△AOM与△OBN中，
，
∴△AOM∽△OBN，
∴，即，
∴y1•y2＝﹣x1•x2，
∴4k2﹣6k+9＝﹣4k+6，
∵k＞0，
∴k＝，
【点睛】本题考查的是二次函数的综合，难度较高，需要熟练掌握一元一次方程、二次函数以及相似三角形的相关性质.
27. 已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）5.
【分析】（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；
（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可 .直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB=QC；
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠PQC=150°﹣60°=90°，
∵PB=QC，
∴QC=4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC==5．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理 .证明△BAP≌△CAQ是解（1）的关键，证明∠PQC=90°是解（2）的关键 .
28. 已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE＝OE；
（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）先判断出∠2+∠3＝90°，再判断出∠1＝∠2即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，根据平行线的性质得到∠4＝∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO＝∠CDO＝90°，于是得到结论；
（3）先判断出△ABO≌△CDE得出AB＝CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD＝AD即可．
详解】（1）如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°，
∵DE＝EC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠COD，
∴DE＝OE；
（2）∵OD＝OE，
∴OD＝DE＝OE，
∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，
∴∠BOC＝∠DOC＝60°，
在△CDO与△CBO中，，
∴△CDO≌△CBO（SAS），
∴∠CBO＝∠CDO＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，
∴OA＝OB＝DE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，
∴△ABO≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAE＝∠DOE＝30°，
∴∠1＝∠DAE，
∴CD＝AD，
∴▱ABCD是菱形．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，判断出△ABO≌△CDE是解本题的关键．

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