绝对值及有理数的大小比较(基础)知识讲解.doc

绝对值及有理数的大小比较（基础）
责编:杜少波
【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值的概念，知道|a|的绝对值的含义；
2．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较有理数的大小；
3．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
【要点梳理】
要点一、绝对值
1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．

【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
解：方法1：因为到原点距离是个单位长度，所以．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，所以．
方法2：因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0．3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0
因为，所以
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．
2．已知一个数的绝对值等于2009，则这个数是________．
【思路点拨】若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.
【答案】2009或-2009.
【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．
举一反三：
【变式1】（2015•镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是　　．
【答案】±4.
【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题3】
【变式2】如果｜x｜＝2，那么x＝_____ _ ； 如果｜－x｜＝2，那么x＝______．
如果｜x－2｜＝1，那么x＝ ； 如果｜x｜＞3，那么x的范围是 ．
【答案】；；1或3；或.
类型二、绝对值非负性的应用
3.（2015•乐山期末）若|x﹣2|与|y+3|互为相反数，则x+y=　　．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜x﹣2｜≥0，｜y+3｜≥0，而它们的和为0．所以｜x﹣2｜＝0，|y+3|＝0．由此算出结果． 　　
【答案】-1.
【解析】∵|x﹣2|与|y+3|互为相反数，
∴|x﹣2|+|y+3|=0，
∴x﹣2=0，y+3=0，
解得x=2，y=﹣3，
∴x+y=2+（﹣3）=﹣1．
故答案为：﹣1．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．

类型三、有理数的大小比较
4．（2016春•上海校级月考）比较大小：　 　﹣（﹣1.8）（填“＞”、“＜”或“=”）．
【思路点拨】先化简，再比较大小，即可解答．
【答案】＜．
【解析】解：|﹣1|=1=1.75，﹣（﹣1.8）=1.8，
∵1.75＜1.8，
∴|﹣1|＜﹣（﹣1.8），
故答案为：＜．
【总结升华】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复号的化简方法．

举一反三：
【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题2】
【变式】比大小：
______ ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；
______－1.384； －π______－3.14．
【答案】＞；=；＞；＞；＜.