2021北京重点校初二(上)期中数学汇编：三角形全等的判定.docx

2021北京重点校初二（上）期中数学汇编
三角形全等的判定2
一、单选题
1．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为秒，当的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．

A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
2．（2021·北京八中八年级期中）下列命题中正确的有（ ）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；
④等底等高的两个三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·北京八十中八年级期中）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的面积S是（ ）

A．50 B．62 C．65 D．68
4．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ）

A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
5．（2021·北京师大附中八年级期中）下列判断中错误的是( )
A．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
B．有一边相等的两个等边三角形全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
6．（2021·北京八中八年级期中）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）

A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
二、填空题
7．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上.若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段______________即可．

8．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，已知AC与BD交于点E，且AB=CD，请你再添加一个边或角的条件使△ABC≌△DCB，添加的条件是：________．（添加一个即可）

9．（2021·北京八中八年级期中）如图，点，，，在的边上，，且，且，于点，于点，，，，，，图中阴影部分的面积为__．

10．（2021·北京八十中八年级期中）如图，，欲使，只需添加一个条件__________，若，，可利用__________判定方法证明．

11．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是_______．（请从“、、、、”中选择一个填入）．

12．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，BE与CD交于点A，且．请添加一个条件使得，这个条件是：_________（写出一个即可）

三、解答题
13．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上．

（1）如图①，若点的横坐标为-3，点的坐标为______；
（2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作垂直轴于点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
14．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．

15．（2021·北京八中八年级期中）如图，在中，已知，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点.

（1）求证：≌；
（2）设与相交于点，若点是的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论.
16．（2021·北京·101中学八年级期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.
已知：∠O，
求作：一个角，使它等于∠O.
作法：如图：

①在∠O的两边上分别任取一点A，B；
②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为
圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
③连结AC,BC ，所以∠C即为所求作的角.
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连结AB，
∵OA=AC，OB= ， ，
∴≌（ ）（填推理依据）．
∴∠C=∠O．
17．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．

18．（2021·北京四中八年级期中）如图，已知AB=AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED=AE.求证：BD=CD.

19．（2021·北京八中八年级期中）如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．

20．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：DE＝DF．

21．（2021·北京八中八年级期中）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：

老师倡议班上同学动手制作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？

同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：

“勾尺”的直角顶点为，“宽臂”的宽度，勾尺的一边为，且满足，，三点共线（所以．
小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，以下是他想到的两种二等分角的方法．
方法一：

简要步骤：
1．如图4，将勾尺边与已知角边重合，沿勾尺边画直线；
2．如图5，将勾尺边与已知角边重合，沿勾尺边画直线，
3．如图6，直线与交于点，作射线；射线即为的平分线．
（1）证明过程：
过点分别作于，于，
勾尺宽臂的宽度相同，
，
平分　　．
方法二：

简要步骤：
1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点落在边上，使勾尺的边经过点，同时让点落在边上；2．标记此时点所在位置，作射线．射线是的平分线．证明过程：　　；
（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．

22．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．

23．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在中，D是边的中点，于点E，于点F，且．

求证：平分．
24．（2021·北京八中八年级期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．

25．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试问：DE和DF相等吗？说明理由．

26．（2021·北京·101中学八年级期中）已知：如图，AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D．

参考答案
1．C
【分析】
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．
【详解】
解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16-2t=2，
解得t=7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．
2．B
【详解】
根据三角形全等的判定定理SSS，SAS，AS A，AAS，HL，可得出正确结论．
解：①三个内角对应相等的两个三角形全等不一定全等，错误；
②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；
④等底等高的两个三角形不一定全等，错误．
故选B．
3．A
【分析】
由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△AGB，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△CHD，GC=DH，CH=BG．故可求出FH的长，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【详解】
∵如图，AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90º，∠EAF+∠BAG=90º，∠ABG+∠BAG=90º⇒∠EAF=∠ABG，
∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△AGB，
∴AF=BG，AG=EF.
同理证得△BGC≌△CHD得GC=DH，CH=BG.
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S= (6+4)×16−3×4−6×3=50.
故选A.

【点睛】
此题考查全等三角形的性质与判定，解题关键在于证明△EFA≌△AGB和△BGC≌△CHD.
4．B
【详解】
试题分析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．
故选B．
考点：全等三角形的判定．
5．C
【详解】
试题分析：对于三角形全等的判定，已知两边和一角的情况，这个角必须是两边的夹角.
考点：三角形全等的判定.
6．D
【详解】
解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．
7．DE
【分析】
由对顶角相等，两个直角相等及BD=CD，可以判断两个三角形全等；所以AB=DE.
【详解】
根据题意可知∠B=∠D=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC
∴AB=DE
即只需要测量出线段DE即可.
故答案为：DE
【点睛】
解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．
8．AC=DB
【分析】
本题已知条件是一条公共边BC=BC和AB=CD，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出SSS、SAS，所以添加的条件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等．
【详解】
添加AC=DB或∠ABC=∠DCB或△AOB≌△DOC后可分别根据SAS、SSS、SSS判定△ABC≌△DCB．
故答案为：AC=DB或∠ABC=∠DCB或△AOB≌△DOC．（添加一个即可）
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．50
【分析】
易证△AEO≌△BAH，△BCH≌△CDF即可求得AO＝BH，AH＝EO，CH＝DF，BH＝CF，即可求得梯形DEOF的面积和△AEO，△ABH，△CBH，△CDF的面积，即可解题．
【详解】
解：∵∠EAO+∠BAH＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAH＝∠AEO，
在△AEO和△BAH中，
，
∴△AEO≌△BAH（AAS），
同理△BCH≌△CDF（AAS），
∴AO＝BH＝3，AH＝EO＝6，CH＝DF＝4，BH＝CF＝3，
∴梯形DEOF的面积（EO+DF）•FO＝80，
S△AEO＝S△ABHAO•OE＝9，
S△BCH＝S△CDFCH•BH＝6，
∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEO≌△BAH，△BCH≌△CDF是解题的关键．
10． AB＝DC（答案不唯一） HL
【分析】
添加一个条件AB＝DC可以利用SSS定理证明△ABC≌△DCB；由已知条件利用HL可证明△ABC≌△DCB．
【详解】
解：添加一个条件AB＝DC；
在△ABC≌△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
∵，，
又BC=CB
故可用HL判定△ABC≌△DCB．
故答案为： AB＝DC（答案不唯一）；HL．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．．
【分析】
根据题意得到和均为直角三角形，再由判断三角形全等，即可得出答案．
【详解】
由题意可得
∴和均为直角三角形
在和中

∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
12．（答案不唯一）
【分析】
根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定．
【详解】
，
当时，依据ASA可得，，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
13．（1）；（2）；理由见详解；（3）与的面积比不变；比值为
【分析】
（1）过点C作轴于点，通过证明可得，进而即可求得点B的坐标；
（2）延长AB与CD交于点N，先通过证明可得，再通过证明可得，进而即可得证；
（3）过点C作轴于点，先通过证明可得，再通过证明可得，进而得到，即可得证，则．
【详解】
（1）如下图，过点C作轴于点
∵轴
∴
∵
∴
∴
在与中

∴
∴
∵点的横坐标为
∴
∴点的坐标为；

（2）
证明：如下图，延长AB与CD交于点N
∵
∴
∵轴
∴
∵
∴
在与中

∴
∴
∵轴平分
∴
又∵轴
∴
在与中

∴
∴
∴；

（3）与的面积比不变；比值为
如下图，过点C作轴于点
∵轴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
在与中

∴
∴，
∵
∴
又∵轴，
∴
在与中

∴
∴
∵

∴
∴
∴．

【点睛】
本题主要考查了三角形全等的综合应用，熟练掌握相关三角形全等的构造及全等的证明是解决本题的关键．
14．证明见解析.
【分析】
要证明∠B=∠ANM，只要证明△BAD≌△NAM即可，根据∠BAC=∠DAM，可以得到∠BAD=∠NAM，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM，本题得以解决．
【详解】
证明：∵∠BAC=∠DAM，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAM=∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD=∠NAM．
在△BAD和△NAM中，∵AB=AN，∠BAD=∠NAM，AD=AM，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B=∠ANM．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，根据题目条件选择适当的判定定理是关键.
15．（1）见解析；（2），见解析.
【分析】
（1）根据两角及夹边相等的两个三角形全等即可证明．
（2）结论：NE−ME＝CM，作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN，证明△DEF≌△CEM，推出，由此即可证明．
【详解】
解：（1）证明：∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∴≌；
（2）结论：
证明：由（1）≌可得．
作于点，又，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，，
∴.

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
16．（1）见解析；（2）BC，AB= AB，边边边
【分析】
（1）根据描述利用尺规作出图形；
（2）根据作图可得AO=AC，BO=BC,AB=AB，再利用SSS判定△AOB≌△ACB即可得出∠O=∠C．
【详解】
解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）BC，AB= AB，边边边
【点睛】
此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握三角形全等的判定方法．
17．见解析
【分析】
要直接证明∠DEA＝∠C，没有全等三角形也没有等腰三角形，不好证明，所以添加辅助线，过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，可证△ADF≌△ABC，从而利用全等三角形的性质DF＝BC，从而有DE＝DF，进而通过等量代换可得∠C＝∠DEA
【详解】
证明：过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，

∴∠C＝∠F．
∵点A是BD的中点，
∴AD＝AB．
在△ADF和△ABC中，
∴△ADF≌△ABC（AAS）
∴DF＝BC，
∵DE＝BC，
∴DE＝DF．
∴∠F＝∠DEA．
又∵∠C＝∠F，
∴∠C＝∠DEA．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
18．见解析.
【分析】
根据平行线性质得∠EDA=∠DAC，由ED=AE，得∠EAD=∠EDA．证△ADB≌△ADC（SAS）可得.
【详解】
证明：∵ED∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵ED=AE，
∴∠EAD=∠EDA．
∴∠EAD=∠DAC．
在△ADB和△ADC中，

∴△ADB≌△ADC（SAS）．
∴BD=CD．
【点睛】
考核知识点：全等三角形判定，等腰三角形性质.判定三角形全等是关键.
19．详见解析.
【分析】
可先利用“AAS”证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形对应边相等可证EB=EC，然后利用等腰三角形“三线合一”可证∠BEF=∠CEF.
【详解】
证明：在△AEB和△DEC中，
∠A=∠D，
∠AEB=∠DEC，
AB=DC.
∴△AEB≌△DEC（AAS）
∴EB=EC.
∵F是BC中点，
∴∠BEF=∠CEF.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质.熟练掌握相关定理，并能灵活运用是解决此题的关键.
20．见解析．
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，运用AAS证明△DEB≌△DFC即可．
【详解】
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠B=∠C，DB=DC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．
21．方法一：（1）到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；方法二：证明见解析；（2）见解析
【分析】
（1）方法一，利用角平分线的判定定理证明即可．
方法二：利用线段的垂直平分线的性质证明BR＝BP，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
（2）如图9中，利用“勾尺”分别在BC，BA上截取BM＝BN＝OP，BH＝BG＝PR，连接NH，GM交于点O，作射线BO，则BO平分∠ABC．利用全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】
解：（1）方法一：如图6中，过点分别作于，于，

勾尺宽臂的宽度相同，
，
平分（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）．
故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．
方法二：如图8中，

，，
，
，
平分．
（2）如图9中，利用“勾尺”分别在，上截取，，连接，交于点，作射线，则平分．

，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
22．答案见详解．
【分析】
由BE=CF可得BC=EF，然后再利用SAS证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】
证明：
∵BE=CF，
∴BE+EC=FC+EC，
即BC=EF．            
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23．见解析
【分析】
由于D是BC的中点，那么BD＝CD，而BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．
【详解】
证明：∵，D是的中点，
∴．
在和中，
∴，
∴．
又∵，
∴平分．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF．
24．见解析
【分析】
根据∠BAE∠DAC，可推出∠BAC∠DAE，解题已知可证△BAC≌△DAE即可得出答案．
【详解】
∵∠BAE∠DAC，
∴∠BAE＋∠EAC∠DAC＋∠EAC，
即：∠BAC∠DAE．
在△BAC和△DAE中，

∴△BAC≌△DAE．
∴∠C∠E．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△BAC≌△DAE是解题关键．
25．相等，理由见解析
【分析】
连接AD，证明ACD≌△ABD，可得，进而根据角平分线的性质即可证明DE和DF相等．
【详解】
连接AD，如图，

在△ACD和△ABD中，
，
∴ACD≌△ABD（SSS），

即
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE＝DF．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
26．见解析
【分析】
根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB．
在△ABC和△ABD中，
∵，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠C=∠D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

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