2022年杭州市中考数学模拟试题(2)(解析版).doc

2022年杭州市中考数学模拟试题（2）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣32的结果等于（　　）
A．9 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣6
【答案】B
【解析】原式＝﹣3×3＝﹣9，
故选：B．
2．（3分）我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（　　）
A．53006×10人 B．5.3006×105人
C．53×104人 D．0.53×106人
【答案】B
【解析】∵530060是6位数，
∴10的指数应是5，
故选：B．
3．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴＝，
∴＝，
故选：D．

4．（3分）下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．2与（﹣）2 D．|﹣|与
【答案】A
【解析】A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；
B、是同一个数，故B错误；
C、是同一个数，故C错误；
D、是同一个数，故D错误；
故选：A．
5．（3分）下列等式变形错误的是（　　）
A．若a＝b，则
B．若a＝b，则3a＝3b
C．若a＝b，则ax＝bx
D．若a＝b，则
【答案】D
【解析】根据等式的性质可知：
A．若a＝b，则＝．正确；
B．若a＝b，则3a＝3b，正确；
C．若a＝b，则ax＝bx，正确；
D．若a＝b，则＝（m≠0），所以原式错误．
故选：D．
6．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（　　）
A．x﹣3＞y﹣3 B． C．﹣2x＜﹣2y D．3﹣x＞3﹣y
【答案】D
【解析】若x＞y，
则有x﹣3＞y﹣3；3﹣x＜3﹣y；﹣2x＜﹣2y；＞，
所以错误的是3﹣x＞3﹣y．
故选：D．
7．（3分）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）

A．（62﹣x）（42﹣x）＝2400 B．（62﹣x）（42﹣x）+x2＝2400
C．62×42﹣62x﹣42x＝2400 D．62x+42x＝2400
【答案】A
【解析】设道路的宽为x米，根据题意得（62﹣x）（42﹣x）＝2400．
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．把△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S1，S2，S3，则表面积最大的是（　　）

A．S1 B．S2 C．S3 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5．
△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为BC＝4，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即S1＝π×42+π×4×5＝36π；
△ABC绕直线BC旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为AB＝3，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即S2＝π×32+π×3×5＝24π；
△ABC绕直线AC旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为两个扇形表面积之和，即S3＝π××3+π××4＝．
∴S1＞S2＞S3．
故选：A．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②当x＝1时，函数有最大值．③当x＝﹣1或x＝3时，函数y的值都等于0．④4a+2b+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据函数图象，我们可以得到以下信息：a＜0，c＞0，对称轴x＝1，b＞0，与x轴交于（﹣1，0）（3，0）两点．
①abc＜0，正确；
②当x＝1时，函数有最大值，正确；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数y的值都等于0，正确；
④当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，错误；
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）

A．10 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【解析】∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是________．

【答案】14岁．
【解析】人数共有6+10+14+10＝40人，
中位数为第20人和第21人，
为14岁，
中位数为14岁．
12．（4分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于E、F，且PA＝4cm，则△PEF的周长为________cm．

【答案】8．
【解析】∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，
∵直线EF与⊙O相切于点C，
∴EA＝EC，FC＝FB，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+CF+PF＝PE+EA+FB+PF＝PA+PB＝2PA＝2×4＝8（cm）．
13．（4分）为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是________．
【答案】．
【解析】内科3位骨干医师分别即为甲、乙、丙，
画树状图如图：

共有6个等可能的结果，甲一定会被抽调到防控小组的结果有4个，
∴甲一定会被抽调到防控小组的概率＝＝；
14．（4分）若|m|＝m+1，则（4m+1）2019＝________．
【答案】﹣1．
【解析】当m≥0时，m＝m+1不成立；
当m＜0时，﹣m＝m+1，即m＝﹣，
∴（4m+1）2019＝（﹣1）2019＝﹣1，
15．（4分）如图，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，点D为动点，连接BD、CD，∠BDC始终保持为90°，线段AC、BD相交于点E，则的最大值为________．

【答案】．
【解析】∵∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝＝13，
设AE＝x，则CE＝12﹣x，
∴BE＝＝＝，
∵∠BDC＝∠A＝90°，∠CED＝∠BEA，
∴△CED∽△BEA，
∴＝，即＝，
∴DE＝，
∴＝，令＝k，
∴k（x2+25）＝x（12﹣x），
整理，得：（k+1）x2﹣12x+25k＝0，
∵△＝（﹣12）2﹣4×（k+1）×25k≥0，
∴25k2+25k﹣36≤0，
令25k2+25k﹣36＝0，
解得：k1＝，k2＝﹣，
根据二次函数z＝25k2+25k﹣36的性质可知：当z≤0时，﹣≤k≤，
∴的最大值为．
另解：如图：∵∠BDC始终保持为90°，线段AC、BD相交于点E，
∴点D在以BC为直径的圆的劣弧上运动，
过点D作DF⊥AC于F，
∴∠DFE＝∠BAC＝90°，
∵∠DEF＝∠BEA，
∴△DEF∽△BEA，
∴＝＝，
∴当DF最大时，的值最大，
当D运动到劣弧的中点D′处时，DF最大，连接OD′交AC于F′，则OD′⊥AC，且F′为AC的中点，
∴OF′＝AB＝，
∴D′F′＝OD′﹣OF′＝﹣＝4，
∴＝＝，
∴的最大值为．

16．（4分）某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是________（用m的代数式表示）．
【答案】．
【解析】共有2个空座位，那么一共可以坐（m+2）人，
∴租用大客车的辆数是 ，
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的家庭收入情况、他从中随机调查了40户居民家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图：
分组
频数
百分比
600≤x＜800
2
5%
800≤x＜1000
6
15%
1000≤x＜1200
　_　
45%
　_　
9
22.5%
　_　
_　
　_　
1600≤x＜1800
2
　_　
合计
40
100%
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请你估计该居民小区家庭属于中等收入（不低于1000不足1600元）的大约有多少户？

【答案】见解析
【解析】（1）根据题意可得出分布是：1200≤x＜1400，1400≤x＜1600；
1000≤x＜1200中百分比占45%，所以40×0.45＝18人；
1600≤x＜1800中人数有2人，故占＝0.05，故百分比为5%．
故剩下1400≤x＜1600中人数有3，占7.5%．
（2）
（3）不低于1000而不足1600的占75%，故450×0.75＝337.5≈338户．
答：居民小区家庭属于中等收入的大约有338户．
18．（8分）阅读理解题：
【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数y＝x﹣1，它的相关函数为y＝．
（1）已知点A（﹣2，5）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知一次函数y＝﹣2x+3．
①若点B（t，﹣4）在这个函数的相关函数的图象上，求t的值；
②当﹣1≤x≤2时，求函数y＝﹣2x+3的相关函数的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）函数y＝ax﹣3的相关函数是，
∵﹣2＜0，
∴2a+3＝5，
∴a＝1；
（2）y＝﹣2x+3的相关函数是，
①当t＜0时，2t﹣3＝﹣4，解得t＝﹣0.5；
当t≥0时，﹣2t+3＝﹣4，解得t＝3.5；
∴t＝﹣0.5或3.5；
②当﹣1≤x＜0时，y＝2x﹣3随着x的增大而增大，
∴﹣5≤y＜﹣3；
当0≤x≤2时，y＝﹣2x+3随着x的增大而减小，
∴﹣1≤y≤3；
∴最小值为﹣5，最大值为3．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且DC＝DE．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝5，AE＝1，DE＝3，求BC的长．

【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DC＝DE，
∴∠DEC＝∠C，
∴∠DEC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵AB＝AC＝5，AE＝1，
∴CE＝AC﹣AE＝4，
∵△ABC∽△DEC，
∴，
即＝．
解得：BC＝．
20．（10分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度，用6小时到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机必须在4个小时之内回到甲地，则返程时的速度不可能低于多少？
【答案】见解析
【解析】（1）由题意可得：两地路程有：80×6＝480（km），
故汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系为：v＝；

（2）由题意可得：4v≥480，
解得：v≥120．
答：返程时的速度不能低于120km/h．
21．（10分）如图，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上（提示：正方形四条边相等，且四个内角为90°）
（1）若正方形ABCD、DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为　b﹣a　（直接写结果）．
（2）过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连接QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．

【答案】见解析
【解析】（1）∵∠DPC+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PEF＝90°，
∴∠DPC＝∠PEF，∠DCP＝∠PFE＝90°，DP＝PE，
故△DCP≌△PFE（AAS），
∴EF＝CP，
而CP＝＝＝EF，
正方形EFGH的面积＝EF2＝b﹣a，
故答案为：b﹣a；

（2）∠DQE的大小不会发生变化，理由如下，
∵DC⊥BC，PQ⊥BC，EF⊥BC，
∴DC∥QP，QP∥EF，∴∠CDQ＝∠PQD，
∵DQ平分∠CDP，
∴∠CDQ＝∠QDP＝∠PQD，
∴PD＝PQ，
在正方形DPEM中，DP＝PE，
∴PQ＝PE，
∴∠PQE＝∠PEQ，
∵PQ∥EF，
∴∠PQE＝∠FEQ，
∴，
∵，
∵∠CDP+∠CPD＝90°，∠CPD+∠EPF＝90°，
∴∠CDP＝∠EPF，
∴∠CDP+∠PEF＝90°，
∵，
∴，
∴∠DQE的大小不会发生变化．
22．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标恰好是横坐标倍，
那么我们就把这个点定义为“萌点”．
（1）若点A、B、C、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，）、（1，0）、（0，），则四边形ABCD四条边上的“萌点”坐标是________．
（2）若一次函数y＝kx+2k﹣1的图象上有一个“萌点”的横坐标是﹣3，求k值；
（3）若二次函数y＝+k的图象上没有“萌点”，求k的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）设yAB＝k1x+b1，
将点（﹣1，0）、（0，）代入，
得到yAB＝x，
设yCB＝k2x+b2，
将点（0，）、（1，0）代入，
得到yCB＝x，
设yCD＝k3x+b3，
将点（1，0）、（0，）代入，
得到yCD＝x+，
设yAD＝k4x+b4，
将点（﹣1，0）（0，）代入，
yAD＝x+，
∵点的纵坐标恰好是横坐标倍是“萌点”，
∴设点（m，m）是“萌点”，
①点（m，m）在yAB＝x上，m＝﹣，
②点（m，m）在yCB＝x上，m不存在，
③点（m，m）在yCD＝x+上，m＝，
④点（m，m）在yAD＝x+上，m不存在，
综上，四边形ABCD四条边上的“萌点”坐标是（﹣，﹣）和（，）．
故答案是（﹣，﹣）和（，）．
（2）∵一次函数y＝kx+2k﹣1的图象上有一个“萌点”的横坐标是﹣3，
∴该“萌点”是（﹣3，﹣3），
∴﹣3＝﹣3k+2k﹣1，
∴k＝3﹣1，
（3）设点（n，n）是二次函数y＝+k的图象上任意一点，
∴n＝+k，
∴﹣n+k＝0，
∵点（n，n）不是二次函数y＝+k的“萌点”，
∴△＝（）2﹣4×k＜0，
∴k＞．
23．（12分）（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝________．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________．
【答案】见解析
【解析】（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，

（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．