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微专题46　利用数列前n项和与通项探究递推关系

　　　 在数学模拟考试和高考题中，利用数列{an}的前n项和为Sn与通项an的关系求解数列的通项公式an＝f(n)或者其他类似问题是常考题型和热点问题，解决这类题目的主要方法是对Sn与an的关系式递推(可前推也可以后推)后，两式相减，消去和Sn，得到相邻两项(或者是相邻三项)关系后求解，有时也将an表示成Sn－Sn－1(n≥2，n∈N*)后，消去项an后求解.

例题：(2018·常州一模改编)已知各项均为正数的无穷数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝a(其中a为常数)，nSn＋1＝(n＋1)Sn＋n(n＋1)(n∈N*)．
证明：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式．

变式1(2018·苏北四市一模改编)已知数列{an}，其前n项和为Sn，满足a1＝2，Sn＝λnan＋μan－1，
其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R.
(1)若λ＝0，μ＝4，bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)若a2＝3，且λ＋μ＝，求证：数列{an}是等差数列．

变式2设数列{an}的前n项和为Sn已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.求数列{an}的通项公式．

串讲1设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2－an，n＝1，2，3，….
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，且bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式．

串讲2已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＝－＋－…＋(－1)n＋1，求数列{bn}的通项公式．

　(2018·苏州1模改编)已知各项是正数的数列{an}的前n项和为Sn.若Sn＋Sn－1＝(n∈N*，n≥2)，且a1＝2.求数列{an}的通项公式；

　(2018·南通密卷)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an>0，Sn＝(an＋p)2(n∈N*，p∈R)．
若a1，a2，a3成等差数列，求数列{an}的通项公式．
答案：an＝.
解析：设等差数列a1，a2，a3的公差为d.因为Sn＝(an＋p)2(n∈N*，p∈R)，所以a1＝(a1＋p)2，①
a1＋a2＝(a2＋p)2，②；a1＋a2＋a3＝(a3＋p)2.③2分
②－①，得a2＝(a2＋p)2－(a1＋p)2，即a2＝d(a1＋a2＋2p)，④
③－②，得a3＝(a3＋p)2－(a2＋p)2，即a3＝d(a2＋a3＋2p)，⑤
⑤－④，得a3－a2＝d[(a2＋a3＋2p)－(a1＋a2＋2p)]，即d＝2d2.5分
若d＝0，则a2＝a3＝0，与an>0矛盾，故d＝.6分
代入④得a1＋＝，于是p＝.因为Sn＝(n∈N*)，
所以Sn＋1＝，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝－，
即－an＋1－＝0，整理得－＝0，9分
于是(an＋1＋an)＝0.10分
因为an>0，所以an＋1－an－＝0，即an＋1－an＝.因为a1＝，所以a1＝.13分
所以数列{an}是首项为，公差为的等差数列．
因此，an＝＋(n－1)＝(n∈N*).14分